Números Complejos. Presentación 1 Precalculus Sec. 1.5

Transcripción

1 Números Complejos Presentación 1 Precalculus Sec. 1.5

2 Tipos de números reales Enteros positivos o números naturales: Enteros no-negativos: 1,, 3, 4,... Enteros 0, 1,, 3, 4,......, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4,...

3 Tipos de números reales (con t) Un número racional es un número real que se puede expresar de la forma a/ b, donde a y b son enteros and b 0. La representación decimal de números racionales 5 decimal finito, por ejemplo 1.5, 4 = decimal infinito y periódico, por ejemplo =

4 Tipos de números reales (cont d) Números Reales que NO son racionales son irracionales. Ejemplos: π, la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro es apróximadamente , es apróximadamente Los irracionales siempre tienen representaciones decimales infinitas y noperiódicas.

5 Conjuntos núméricos en Álgebra Si una línea conecta dos rectángulos, el conjunto del rectángulo superior incluye al conjunto del rectángulo inferior.

6 La unidad Imaginaria La unidad imaginaria, denotada i, tiene las propiedades: i es la raiz cuadrada de -1, esto es, i = -1. i NO es un número real. Es una nueva entidad matemática que nos permite definir el conjunto C de los números complejos.

7 Los números complejos Terminología Definición Ejemplos Número complejo Número imaginario Número imaginario puro Igualdad a + bi, donde a y b son números reales, i = -1 a + bi, donde b 0 son números reales, i = -1 bi, donde b 0 a + bi = c + di si y solo si a = c y b = d 3, + i, -5i 3 + i, 9i -4i, 3i, i x + yi = 3 + 4i si y solo si x = 3 y y=4

8 Parte real e imaginaria Para un número complejo a + bi, llamamos a la parte real y b la parte imaginaria. Ejemplo: Encontrar los valores de x y y, donde x y y son números reales para Igualamos la parte real de ambos números x 4 = 8 x = 1 x = 6 Luego la parte imaginaria: 9 = 3y y = 3

9 Suma y multiplicación Expresar en la forma a + bi, donde a y b son números reales. Solución:

10 Ejemplos Adicionales Expresar en la forma a + bi, donde a y b son números reales.

11 Ejemplos Adicionales Primeramente estudiaremos potencias consecutivos de i. y luego el ciclo se repite.

12 Conjugados Si z = a + bi es un número complejo, entonces su conjugado, denotado,, es a bi. Sigue que el conjugado de a bi es a + bi Hallar el conjugado de cada número complejo: 9 + i -5 7i 6 +10i 4i

13 Propiedades de Conjugados

14 División de Numeros Complejos La división de números complejos implica utilizar la multiplicación por el conjugado del denominador para eliminar la parte imaginaria del denominador. Expresar en la forma a + bi, donde a y b son reales.

15 Ejemplo (continuación)

16 Simplificar las raíces de números negativos

17 Raíces de números negativos Ejemplos: a) 4 = 4 i = i b) 169 = 169 i = 13i c) 18 = 18 i = 3 i

18 Precaución La fórmula a b = aa es válida para números reales positivos, pero NO es válida cuando a y b son ambos negativos: Si sólo uno de los números,a ó b, es negativo, entonces a b = aa.

19 Operaciones con raíces de números negativos Expresar en la forma a + bi, donde a y b son números reales

20 Soluciones Complejas Si r es un número real positivo, entonces la ecuación x = r tiene dos soluciones en los números complejos, x = ± ri, donde x = r se llama la raiz principal. Hallar las soluciones de: x = 4 x = ± 4 x = ± 4 i x + 4 = 0 x = ± 4 6 i x = ± 6 i x = 6 i y x = 6 i

21 Soluciones complejas Ejemplo: Resuelva la ecuación x x =-6. Nota que: x x + 6 = 0 (Ecuación cuadrática) Como no factoriza, utilizamos la fórmula cuadrática. Para ax + bx + c = x = 0 las soluciones son b ± b 4ac a En este caso, a = 1, b = - y c = 6. Entonces, x = ( ) ( ) 4 ( 1)( 6) 1 ( ) ±

22 x = ( ) ( ) 4 ( 1)( 6) 1 ( ) ± x x ( )( ) ± = ± = ± i = 10 = 1± 5i ± = 100 ± i = 100 El conjunto solución de la ecuación es {1+5i, 1-5i}.

23 Ejemplo Halle el conjunto solución de la ecuación 3 x + 3x + 4x = 0 Es una ecuación polinomial de grado mayor que que factoriza. ( x ) x x = 0 Utilizando la propiedad de producto cero, x = 0 x + 3x+ 4 = 0

24 Ejemplo continuación Como x + x+ = fórmula cuadrática. x = x ± = 3 7 no factoriza, utilizamos la ± = 3 7 i ( 3) ( 3) 41 ( )( 4) 1 ( ) b ± b 4ac ± x = a ± x = = ± i El conjunto solución de la ecuación es i, i, 0

25 Ejemplo Halle el conjunto solución de la ecuación 3 8x 1x + x 3 = 0 Es una ecuación polinómica de grado 3 que factoriza por agrupamiento. ( )( x x ) = 0

26 Ejemplo - continuación Utilizando la propiedad de producto cero, ( )( x x ) = 0 x 3= 0 4x + 1= 0 x = 3 4x = 1 x = 3 x = 1 4

27 Cont. ejemplo x = 1 4 x =± 1 4 x = ± 1 i 4 x = ± 1 i 3 1 1, i, i Por lo tanto, el conjunto solución es.