2.3 Filtros. 2 Electrónica Analógica TEMA II. Electrónica Analógica. Transformada de Laplace. Transformada de Laplace. Transformada inversa

Transcripción

1 TEMA II Electrónica Analógica 2.3 Filtros -Transformada de Laplace. -Teoremas valor inicial y valor final. -Resistencia, condensador, inductor. -Función de transferencia -Diagramas de Bode -Filtros pasivos. -Filtros activos. Electrónica II Electrónica Analógica Transformada de Laplace 2.1 Amplificadores Operacionales. 2.2 Aplicaciones de los Amplificadores Operacionales. 2.3 Filtros. 2.4 Transistores. 1 2 Transformada de Laplace Factores lineales en el denominador Método Fracciones parciales Transformada inversa Factores lineales en el denominador 3 4

2 Factores lineales repetidos en el denominador Ejemplos Factores cuadráticos Ejemplos 5 6 Valor Inicial Teoremas Resistencia Resistencia, R Dominio del tiempo v(t) = R i(t) Laplace V(s) = R I(s) Valor Final Teoremas Dominio del tiempo Laplace Condensador dv(t) i(t) = C dt I(s) = s C V(s) C v(0) Interpretación: un condensador cargado(un condensador con condiciones iniciales no nulas) es equivalente a un condensador no cargado en el instante incial en paralelo con una fuente impulsiva de corriente de valor C v(0) 7 8

3 Condensador Reexpresando la anterior ecuación I(s) v(0) V(s) = sc s Interpretación: un condensador cargado(un condensador con condiciones iniciales no nulas) es equivalente a un condensador no cargado en el instante incial en serie con unafuentede voltajeescalónv(0) Dominio del tiempo Laplace Inductor di(t) v(t) = L dt V(s) = s L I(s) L i(0) Interpretación: un inductor con condiciones iniciales no nulas es equivalente a un inductor con condiciones iniciales nulas en serie con una fuente impulsiva de voltaje de valor L i(0) Dominio del tiempo Condensador i C (t) v C (t) C Inductor Reexpresando la anterior ecuación V(s) i(0) I(s) = sl s V C (s) I C (s) 1/sC v(0) s Dominio de la frecuencia V C (s) I C (s) 1/sC Cv(0) Interpretación: un inductor con condiciones iniciales no nulas es equivalente a un inductor con condiciones iniciales nulas en paralelo con una fuente escalón de corriente de valor i(0) 9 10 Inductor Laplace Metodología Dominio del tiempo v L (t) i L (0) L Si el circuito es lineal: Transformación de las fuentes de excitación Transformación de las impedancias I L (s) I L (s) sl V L (s) V L (s) Li(0) Dominio de la frecuencia sl i(0) s Encontrar la expresión de la salida (hallar la función de transferencia) en el dominio de S Para encontrar los valores iniciales/ finales aplicar el teorema del valor inicial/ final Mediante la transformada inversa de Laplace encontrar la respuesta del circuito en el dominio del tiempo Función de Transferencia Circuito RC e(t) Laplace Ecuación diferencial R dv e(t) = RC v(t) C v(t) dt v(0) = 0 La función de transferencia (H(s)) se define como la razón (en el dominio s) de la salida (respuesta del sistema) a la entrada (fuente). Condiciones iniciales igual a cero. Si el circuito tiene más de una fuente superposición El módulo y la fase de una función de transferencia H(jw) varían con la frecuencia de la entrada sinusoidal. Representación gráfica de dicha variación (DIAGRAMAS DE BODE) Comportamiento selectivo en frecuencias (FILTROS). Laplace E (s) = RCsV(s) V(s) = V(s)[1 RCs] E ( s) V ( s) = 1 RCs

4 RLC - serie Ejemplo impedancia Condiciones iniciales KVL V(S) I(S)R I(S) LS LiL(0) I(S)/CS vc(0)/s = 0 V(S) LiL(0) vc(0)/s = I(S)R I(S)/CS I(S) LS V(S) LiL(0) vc(0)/s = I(S)[R 1/CS LS]=I(S)Z(S) 1 Z( s) = R Ls Cs RLC - paralelo Ejemplo equivalente Thevenin I(S) V(S)/R V(S)/LS il(0)/s V(S)CS Cvc(0) = 0 I(S) il(0)/s Cvc(0) = V(S)/R V(S)/LS V(S)CS : I(S) il(0)/s Cvc(0) = V(S)[1/R 1/LS CS] = V(S)Y(S) 1 1 Y ( s) = Cs R Ls Ejemplo equivalente Thevenin Ejemplo Divisor de tensión 1 2s 2 2s (1s1) Ejemplo Ejemplo Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia 7t) Condiciones iniciales nulas respuesta a la entrada escalón 15 16

5 Diagramas de Bode Contribución de una constante El diagrama de Bode es una forma muy útil de representar la ganancia y la fase de la respuesta de un sistema en función de la frecuencia de la señal de entrada. Normalmente se le llama comportamiento del sistema en el dominio de la frecuencia. Contribuciones de constantes, polos y ceros de distinta naturaleza. Diagrama de Bode de H(jw) Contribuciones de un cero H(jw) en decibelios Escala logarítmica φ H(jw) en grados Cómo se construye el diagrama de Bode de cualquier función de red? Contribuciones de un polo Contribuciones de un polo real Contribuciones de un cero real Contribuciones de un ceros complejos conjugados 19 20

6 Contribuciones de polos complejos conjugados Diagramas de Bode Ejemplo Frecuencia (rad/s) Frecuencia (rad/s) Resumen de contribuciones Ejemplo 1 Polo real Ejemplo 2 Ejemplo 4 Polo real Polo real Cero real -20 db/década Polo real -10 Polo real -1, doble Cero origen -40 db/década Ejemplo 3 Ejemplo 5-20 db/década -40 db/década 40 db/década Bode asintótico Polo Origen Polo origen, doble Polo real Polo real -100 Cero real Pico resonancia Cero complejo -20 db/década -40 db/década 23 24

7 Filtros Filtros pasa baja Filtro pasa baja: Son aquellos que introducen muy poca atenuación a las frecuencias que son menores que una determinada, llamada frecuencia de corte. Las frecuencias que son mayores que la de corte son atenuadas fuertemente. Filtro pasa alta: Este tipo de filtro atenúa levemente las frecuencias que son mayores que la frecuencia de corte e introducen mucha atenuación a las que son menores que dicha frecuencia. Filtro pasa banda: En este filtro existen dos frecuencias de corte, una inferior y otra superior. Este filtro sólo atenúa grandemente las señales cuya frecuencia sea menor que la frecuencia de corte inferior o aquellas de frecuencia superior a la frecuencia de corte superior. por tanto, sólo permiten el paso de un rango o banda de frecuencias sin atenuar. Filtro elimina banda: Este filtro elimina en su salida todas las señales que tengan una frecuencia comprendida entre una frecuencia de corte inferior y otra de corte superior. Por tanto, estos filtros eliminan una banda completa de frecuencias de las introducidas en su entrada. Filtros Filtros pasa alta Un filtro es un elemento que discrimina una determinada frecuencia o gama de frecuencias de una señal eléctrica que pasa a través de él, pudiendo modificar tanto su amplitud como su fase. Octava: Dos frecuencias están separadas una octava si una de ellas es de valor doble que la otra. Década: Dos frecuencias están separadas una década si una de ellas es de valor diez veces mayor que la otra. Frecuencia de corte: Es la frecuencia para la que la ganancia en tensión del filtro cae de 1 a 0.707(1/ raíz de dos) La ganancia del filtro se reduce en 3dB de la máxima Banda de paso: Es el rango de frecuencias que el filtro deja pasar desde la entrada hasta su salida con una atenuación máxima de 3dB. Toda frecuencia que sufra una atenuación mayor quedaría fuera de la banda pasante o de paso. Banda atenuada: Es el rango de frecuencias que el filtro atenúa más de 3dB Filtros pasa banda Filtros R e(t) C v(t) En el dominio de la frecuencia el circuito es equivalente a un divisor de tensión con dos impedancias. El valor del voltaje de salida dependerá del valor de la reactancia capacitiva y esta a su vez de la frecuencia de la señal de entrada A frecuencia altas, la reactancia será baja y la mayoría de la caída de tensión se producirá en la resistencia A frecuencia bajas, la reactancia será alta y la mayoría de la caída de tensión se producirá en el condensador El circuito discrimina la frecuencia de la señal de entrada 55 Filtros Orden del filtro: Filtro de primer orden: atenúa 6dB/octava (20dB/década) fuera de la banda de paso. Filtro de segundo orden: atenúa 12dB/octava (40dB/década) fuera de la banda de paso. Filtro de tercer orden: atenúa 18dB/octava (60dB/década) fuera de la banda de paso.... Filtro de orden n: atenúa (6n)dB/octava (20ndB/década) fuera de la banda de paso. e(t) R E ( s) V ( s) = 1 RCs C v(t) Ecuación diferencial dv e(t) = RC v(t) dt v(0) = 0 Laplace: E (s) = RCsV(s) V(s) = V(s)[1 RCs] 1 H ( s) = 1 s = jω RCs Magnitud de la función de transferencia

8 Magnitud de la función de transferencia: Si tomamos como salida la caída de tensión entre los terminales de la resistencia La magnitud de la función de transferencia 57 Frecuencia de corte Frecuencia de corte Las señales de frecuencia superior a la frecuencia de corte sufren una atenuación superior a 3dB Por ello se dice que este circuito es un filtro que solo deja pasar las frecuencias inferiores a la frecuencia de corte Las señales de frecuencia inferior a la frecuencia de corte sufren una atenuación superior a 3dB Por ello se dice que este circuito es un filtro que solo deja pasar las frecuencias superiores a la frecuencia de corte Filtros Activos -Transformada de Laplace. -Teoremas valor inicial y valor final. -Resistencia, condensador, inductor. -Función de transferencia -Diagramas de Bode -Filtros pasivos. -Filtros Activos, 31