Tema 2. Descripción externa de sistemas

Transcripción

1 de Sitema y Automática Tema. Decripción externa de itema Automática º Curo del Grado en Ingeniería en Tecnología Indutrial

2 de Sitema y Automática Contenido Tema.- Decripción externa de itema:.1. Introducción. Sitema lineale... Tranformada de Laplace..3. Matriz Función de tranferencia..4. Diagrama de bloque:.4.1 Función de tranferencia en bucle abierto y cerrado..4. Reducción de diagrama de bloque.

4 de Sitema y Automática Introducción Decripción externa de un itema continuo: Se baa en una función F que relaciona de forma explícita la entrada y alida del itema. tipo?? u 1 u k Sitema dinámico y 1 y j u [ u t u t u 1 k t ] y [ y t y t y 1 j t ] Para el cao de lo itema continuo e tiene una ecuación diferencial: F y n t,..., y t, y t, u m t,..., u t, u t 0 A eta relación F e le denomina modelo matemático del itema dinámico.

5 de Sitema y Automática Introducción Modelo matemático de itema: La dinámica de mucho itema, ya ean mecánico, eléctrico, térmico, económico, biológico, etc., e decribe en término de eta decripción externa, la cual e obtiene a partir de leye fíica que gobiernan el itema. Amortiguador coche M x Dx x F En general, cuando e aborda un problema nuevo, e conveniente dearrollar primero un modelo implificado para obtener una idea general de la olución. A continuación e dearrolla un modelo matemático má completo. Tema 3 Modelado

6 de Sitema y Automática Introducción Sitema lineale: Generalmente, la decripción externa F de un itema dinámico e no-lineal. Un itema e denomina lineal i e aplicable el principio de uperpoición. La repueta yt producida por la aplicación imultánea de do funcione de entrada u 1 t y u t e la uma de la repueta producida por la aplicación individual de amba funcione. u 1 t u t Sitema Lineal yt u 1 t 0 Sitema Lineal y 1 t yt = y 1 t + y t 0 u t Sitema Lineal y t

7 de Sitema y Automática Introducción Sitema lineale: Generalmente, la decripción externa F de un itema dinámico e no-lineal. Un itema e denomina lineal i e aplicable el principio de uperpoición. La repueta yt producida por la aplicación imultánea de do funcione de entrada u 1 t y u t e la uma de la repueta producida por la aplicación individual de amba funcione. Ejemplo: M x Dx x F Sitema lineal M x D x x x F Sitema no lineal La mayor parte de la relacione que definen a un itema dinámico on no-lineale, y e má, lo itema lineale on una particularización de lo itema no lineale en rango limitado de operación.

8 Introducción Linealización de itema: La técnica de linealización conite en dearrollar forma linealizada de lo itema no-lineale originale en torno a un punto de operación nominal mediante técnica de aproximación. Departamento de Ingeniería de Sitema y Automática La forma linealizada obtenida erá válida ólo para pequeña variacione en torno al punto de operación nominal.

9 de Sitema y Automática Introducción Sitema continuo lineale: Una itema continuo e lineal i u decripción externa F viene dada por una ecuación diferencial combinación lineal de variable independiente. a y a y a y a y b u b u b u n n1 m n n1 1 0 m 1 0 donde lo coeficiente on contante o on funcione ólo de la variable independiente t: Sitema lineale invariante con el tiempo de coeficiente a i y b j contante. Sitema lineale variante con el tiempo de coeficiente a i y b j que on funcione del tiempo.

11 de Sitema y Automática Tranformada de Laplace Definición: E una herramienta matemática que permite tranformar mucha funcione uuale e.g. de tipo enoidal, exponencial, etc. y ecuacione diferenciale lineale en ecuacione algebraica en el dominio de la variable compleja. Variable compleja: jw plano- = + jw parte real w parte imaginaria jw 1 1 1

12 Tranformada de Laplace Definición: La tranformada de Laplace de una función ft e define como: L t f t e dt, jw f t F 0 paando del dominio temporal al dominio complejo, iendo Departamento de Ingeniería de Sitema y Automática f t F el par función-tranformada. La tranformada de Laplace exite i la integral que la define converge, eto e: lim t f t e t 0

13 de Sitema y Automática Tranformada de Laplace Tranformada de Laplace de funcione encilla Delta de Dirac

14 de Sitema y Automática Tranformada de Laplace Tranformada de Laplace de funcione encilla A 1. Ecalón: Au t ó A1 t A=1 Ecalón unitario

15 de Sitema y Automática Tranformada de Laplace Tranformada de Laplace de funcione encilla. Exponencial: Amortiguación

16 Tranformada de Laplace Tranformada de Laplace de funcione encilla 3. Rampa: Departamento de Ingeniería de Sitema y Automática A=1 Rampa unitaria y la L de la parábola??

17 Tranformada de Laplace Tranformada de Laplace de funcione encilla 3. Senoidal: Departamento de Ingeniería de Sitema y Automática

18 de Sitema y Automática Tranformada de Laplace Tranformada de Laplace tabla: Etán en el formulario!

19 Tranformada de Laplace Propiedade de la Tranformada de Laplace: 1. Linealidad:. Deplazamiento: L a f t a f t a F a F L T f t T u t T e F retrao i T>0 ó adelanto i T<0 Departamento de Ingeniería de Sitema y Automática 3. Amortiguación: 4. Derivación: en u cao má general: at L e f t F a L f ' t F f 0 n n n n n L f t F 1 f f ' f Si condicione iniciale nula

20 Tranformada de Laplace Propiedade de la Tranformada de Laplace: 5. Integración: t F L f t dt 1 0 f t dt Departamento de Ingeniería de Sitema y Automática 6. Multiplicación por potencia de t: n n n L{ t f t} 1 F 7. Producto: L { f1 t f t} F1 F OJO 8. Teorema del Valor Final: f lim t f t lim F 0 Derivada n-éima

21 de Sitema y Automática Tranformada de Laplace Propiedade de la Tranformada de Laplace tabla: Etán en el formulario!

22 Tranformada de Laplace Tranformada Invera de Laplace: Departamento de Ingeniería de Sitema y Automática La tranformada invera de Laplace recupera la función temporal yt a partir de u tranformada Y. Matemáticamente: L 1 { Y } j Y e 0 j En la práctica, la tranformada invera e calcula aprovechando el conocimiento de la tranformada directa decrita en la tabla de tranformada, en lugar de utilizar la expreión anterior, mucho má compleja. t y t, d 0, t t 0

23 de Sitema y Automática Tranformada de Laplace Tranformada Invera de Laplace: En la mayoría de la ocaione nuetro objetivo conitirá en hallar la tranformada invera de una función racional de la forma: N Y D con gradon < gradod. Función racional propia El cálculo de la tranformada invera e realizará decomponiendo Y en fraccione imple. Para ello e calculan la raíce del denominador D = 0. raíce D polo Ecuación caracterítica La reolución de la ecuación caracterítica da como reultado un conjunto de raíce -p 1, -p,, -p n, en general compleja, con grado de multiplicidad r 1, r,, r n.

24 de Sitema y Automática Tranformada Invera de Laplace: La decompoición en fraccione e hará de la forma: El cálculo de lo coeficiente ij e hará por igualación o mediante el método de lo reiduo, tal que: 1. para raíce con grado de multiplicidad 1 imple:. para raíce con grado de multiplicidad r j repetida: Tranformada de Laplace n n r n nr n n n n r r r r p p p p p p p p p D N Y n j p Y p j j j, 1,, n j r i Y p d d i j p r j i i i r j j j j, 1,,1, 1!

25 de Sitema y Automática Tranformada de Laplace Tranformada Invera de Laplace: Una vez determinada la ij e procederá a calcular yt utilizando la relacione f t F expueta en la tabla de tranformada de Laplace aplicada a la fraccione imple obtenida de la decompoición, tal que: 1. para raíce reale imple: 1 p. para raíce reale múltiple: j n! p j e p t j 1 t n p jt t e 1 t n1 Ecalón unitario 3. para raíce compleja imple p a j : j j w j w j a jt e enw t 1 t j a w j j a j a jt e cow t 1 t j a w j j

26 de Sitema y Automática Tranformada de Laplace Tranformada Invera de Laplace: Ejemplo: Y 1 4 Y Y p, j 1, j j, p j n Y 1 4 L1 y t 3 e t 5 e 4t 1 t

27 de Sitema y Automática Tranformada de Laplace Tranformada Invera de Laplace: Ejemplo: Y Y Raíz multip. > 1 j-éima j r j i 1 d i 1! d 1 rj i1 p j Y p i rj,,1 j 1, i1 j, n 1 d ! d i i ! 1 3 3

28 de Sitema y Automática Tranformada de Laplace Tranformada Invera de Laplace: Ejemplo: Y Y Y p, j 1, j j, p j n Y L1 y t t 5 e t 5 18 e 3t 1 t

29 de Sitema y Automática Tranformada Invera de Laplace: Ejemplo: Tranformada de Laplace 5 3 Y j j Y ' 3 ' Y co at e t w in at e t w 3 ' 3 ' Im, Re donde: ' 3 ' w w w a a a 1 L 1 L Exite L -1 directa de eta expreión?? ' ' 3

30 de Sitema y Automática Tranformada de Laplace Tranformada Invera de Laplace: Ejemplo: Y p, j 1, j j, p j n ' Re j 1 j 1 j 1 j 1 j ' 3 1 j 3 Im j j 1 j 1 j Y 3 5 L1 t t e cot 0.3e int 1 y t t

31 de Sitema y Automática Tranformada de Laplace Reolución de Ecuación Diferencial Lineal: 1. Se toma la tranformada de Laplace de cada término de la ecuación diferencial y e convierte la ecuación diferencial en una ecuación algebraica en.. Se obtiene la expreión para la tranformada de Laplace de la variable dependiente reordenando la ecuación algebraica. 3. La olución en el tiempo de la ecuación diferencial e obtiene encontrando la tranformada invera de Laplace de la variable dependiente.

32 de Sitema y Automática Tranformada de Laplace Reolución de Ecuación Diferencial Lineal: Ejemplo: Entonce por el teorema de la derivada: Depejamo X Se calcula ahora la tranformada invera de Laplace

34 de Sitema y Automática Matriz Función de tranferencia Función de tranferencia: La función de tranferencia de un itema lineal e invariante en el tiempo G etá definida como la relación entre la tranformada de Laplace de la alida Y y la tranformada de la entrada U, bajo la upoición de condicione iniciale nula, tal que: G Y U cond. inic. 0 U G Y Para el itema n n1 m a y a y a y' a y b u b u' b u n n1 1 0 m 1 0 tomando tranformada de Laplace en ambo miembro Y G U a n n bm a m n1 b1 b0 n1 a a 1 0

35 de Sitema y Automática Matriz Función de tranferencia Función de tranferencia cont.: 1. La función de tranferencia de un itema e un modelo matemático porque e un método operacional para exprear la ecuación diferencial que relaciona la variable de alida con la variable de entrada.. La función de tranferencia e una propiedad de un itema, independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función de excitación. 3. La función de tranferencia incluye la unidade necearia para relacionar la entrada con la alida, pero no proporciona información acerca de la etructura fíica del itema. Sitema análogo: itema fíicamente diferente con funcione de tranferencia idéntica.

36 de Sitema y Automática Matriz Función de tranferencia Función de tranferencia cont.: 4. A partir de la función de tranferencia de un itema, e puede etudiar la repueta para diferente tipo de entrada. 5. La función de tranferencia de un itema puede etablecere experimentalmente introduciendo entrada conocida y etudiando la alida del itema. Identificación Tema 4 6. Analizando la repueta impulo ut = dt Y G U G t 1 L d la tranformada invera de Laplace de G e la repueta al impulo unitario: 1 1 L Y L G g t

37 de Sitema y Automática Matriz Función de tranferencia Función de tranferencia cont.: 7. A la potencia má alta del denominador de G polinomio caracterítico e le denomina orden del itema. 8. A la raíce de la ecuación caracterítica e le denomina polo del itema, mientra que a la raíce del numerador e le llama cero del itema. G 3 1 j 1 j 6

38 de Sitema y Automática Matriz Función de tranferencia Matriz de tranferencia: Si un itema tiene varia entrada y/o varia alida exite una matriz de tranferencia cuyo elemento G ij relacionan cada alida Y i con cada entrada U j, cuando la demá entrada on nula: u 1 u m Sitema MIMO y 1 y n G Y i ij m U j cond. inic. 0; U 0, k j k??? i 1,, n y j 1,,

39 de Sitema y Automática Matriz Función de tranferencia Matriz de tranferencia cont.: La funcione de alida Y={Y 1, Y,., Y n } erán funcione de la entrada U={U 1, U,., U m }: y en forma matricial: Y=G U U G U G U G Y m m 1 1 U G U G U G Y m m 1 1 U G U G U G Y m nm n n n

41 de Sitema y Automática Diagrama de bloque Diagrama de bloque: Un itema de control puede tener vario componente. Para motrar la funcione que lleva a cabo cada componente e ua, por lo general, una repreentación denominada diagrama de bloque. El diagrama de bloque de un itema e una repreentación gráfica de la funcione que lleva a cabo cada componente y el flujo de eñale entre ello. A diferencia de una repreentación matemática puramente abtracta, un diagrama de bloque tiene la ventaja de indicar en forma má realita el flujo de la eñale del itema real.

42 de Sitema y Automática Diagrama de bloque Elemento: En un diagrama de bloque e enlazan la ditinta variable del itema, mediante bloque funcionale. El bloque funcional o implemente bloque e un ímbolo para repreentar la operación matemática que obre la eñal de entrada hace un bloque para producir una alida. X xt G Y yt gt

43 de Sitema y Automática Diagrama de bloque Elemento: Otro elemento importante en un diagrama de bloque on: Punto uma o reta: X X X Punto de bifurcación o reparto: X. X X

44 de Sitema y Automática Diagrama de bloque Función de tranferencia en bucle abierto: de cadena directa:

45 de Sitema y Automática Diagrama de bloque Función de tranferencia y i la realimentación e poitiva?? en bucle cerrado: F =

46 de Sitema y Automática Diagrama de bloque Función de tranferencia Superpoición!!!! en bucle cerrado con perturbación:

47 de Sitema y Automática Diagrama de bloque Para obtener el diagrama de bloque de un itema 1. Se ecriben la ecuacione que decriben el comportamiento dinámico de cada componente.. Se toman la tranformada de Laplace de eta ecuacione, uponiendo que la condicione iniciale on cero, y 3. Se repreenta individualmente en forma de bloque cada ecuación tranformada por el método de Laplace. 4. Por último, e integran lo elemento en un diagrama de bloque completo.

48 Diagrama de bloque Ejemplo: Departamento de Ingeniería de Sitema y Automática

49 de Sitema y Automática Diagrama de bloque Ejemplo:

50 de Sitema y Automática Diagrama de bloque Ejemplo: Diagrama de bloque del itema de nivel de líquido E importante eñalar que lo bloque pueden conectare en erie, ólo i la entrada de un bloque no e ve afectada por el bloque anterior. Si hay efecto de carga entre lo componente, e neceario combinarlo en un bloque único.

51 Diagrama de bloque Reducción de diagrama de bloque: Simplificar o reducir el diagrama original, hata quedar un olo bloque equivalente. Departamento de Ingeniería de Sitema y Automática

52 de Sitema y Automática Diagrama de bloque Reducción de diagrama de bloque:

53 de Sitema y Automática Diagrama de bloque Reducción de diagrama de bloque: