TRIANGULOS. Sus tres ángulos internos son iguales y miden 60 cada uno

Transcripción

1 LSIFIION LOS TRINGULOS. TRINGULOS Los triángulos se lsifin según sus ldos y sus ángulos.. lsifiión de los triángulos según sus ldos.. Triángulo equilátero. s el que tiene sus tres ldos igules Sus tres ángulos internos son igules y miden 60 d uno. Triángulo isóseles. s el que tiene dos ldos igules y uno desigul. l ángulo interno y son igules.. Triángulo esleno. s el que tiene sus tres ldos desigules. Los tres ángulos internos, y son diferentes.. lsifiión de los triángulos según sus ángulos.. Triángulo otusángulo. s el que tiene un ángulo otuso.(90 < < 180 ) ángulo otuso

2 . Triángulo utángulo. s el que tiene sus tres ángulos gudos(,, < 90 ) ángulos gudos. Triángulo retángulo. s el que tiene un ángulo reto (90 ). Los ldos que formn el ángulo reto ( ) y que son los ldos ms ortos se les llm tetos y el ldo opuesto diho ángulo y que es el ldo más lrgo se le llm hipotenus. ángulo reto Nots importntes: L sum de los tres ángulos internos de ulquier tringulo, es igul 180 L sum de los tres ángulos externos de ulquier tringulo, es igul 360 los triángulos otusángulos y utángulos tmién se onoen omo triángulos oliuángulos.

3 2. iuj en d eld un tringulo que umpl on ls dos lsifiiones que se soliitn. TRINGULO QUILÁTRO ISÓSLS SLNO utángulo Retángulo Otusángulo

4 ONGRUNI TRIÁNGULOS os triángulos son ongruentes si tienen el mismo tmño y l mism form. os triángulos son ongruentes, idéntios o igules si l ponerlos uno sore otro (superpuestos) oiniden en todos sus puntos. l símolo de ongrueni es: Si dos triángulos son ongruentes, entones: ) Sus ldos homólogos miden lo mismo. ) Sus ángulos homólogos miden lo mismo. Ldos homólogos son quellos que se orresponden en los dos triángulos. Ángulos homólogos son quellos que se orresponden en los dos triángulos. Los siguientes triángulos son ongruentes ) 2 1 ) 2 1 Los triángulos y son ongruentes, porque tienen igules, tnto sus ldos omo sus ángulos, es deir, existe iguldd entre los tres pres de ldos y los tres pres de ángulos. xisten tres sos pr demostrr que dos triángulos son ongruentes. (ihos sos fueron expuestos por ulides) Teorem I: Ldo, Ldo, Ldo (L L L) os triángulos son ongruentes si sus tres ldos miden lo mismo F

5 Teorem II: Ángulo, Ldo, Ángulo ( L ) os triángulos son ongruentes si dos ldos y el ángulo omprendido de uno, son respetivmente ongruentes dos ldos y el ángulo omprendido del otro. F Teorem III: Ldo, Ángulo, Ldo (L L) os triángulos son ongruentes si dos ángulos y el ldo omprendido de uno, son respetivmente ongruentes dos ángulos y el ldo omprendido del otro. F emostrión de triángulos ongruentes JMPLO 1 n l siguiente figur //. etermin si los triángulos son ongruentes y enuentr los vlores de x y y Se onstruye un tl en l que se dn ls firmiones y ls justifiiones que nos lleven l demostrión que se pide. firmiones Justifiiones I.- I.- Proporiondo II.- II.- Proporiondo III.- III.- Por ser ldo omún los triángulos MON y PNO IV.- IV.- Por el teorem L L V.- y 55 VI.- x 49 V.- Los ángulos homólogos de triángulos ongruentes son igules VI.- n el triángulo OMN:

6 JMPLO 2. Si, y, demostrr que x x x 49 F firmiones Justifiiones 1.- I.- Los ldos y F son prlelos y es l ret sente, por lo tnto, los ángulos y son lternos internos. 2.- II.- Proporiondo 3.- III.- Los ldos y F son prlelos y es l ret sente, en onseueni los ángulos y son lternos internos. 4.- IV.- Por el teorem: L JMPLO 3. n l figur y iset l. emostrr que 1 2 firmiones Justifiiones 1.- I.- Proporiondo 2.- omo iset II.- Proporiondo y definiión de isetriz, formn los ángulos ongruentes y 3.- III.- L isetriz de un ángulo divide éste en dos ángulos ongruentes 4.- IV.- Ldo omún mos triángulos 5.- e puntos 1 y 3 V.- Por el teorem L L tenemos:

7 TRINGULOS SMJNTS - L semejnz es un tem de grn relevni en el estudio de los triángulos, es por ello que desde el primer momento el lumno dee interpretr de mner orret su relión y signifido dentro del ontexto donde se desrroll. Se die de dos figurs semejntes undo: - Oservmos dos mps de un pís esls distints. - L impresión de un fotogrfí tmños distintos. - Si en el zoológio se oserv un elefnte y se le he un tom fotográfi. - L interpretión de un plno rquitetónio y l onstruión físi del mismo. d uno de los ejemplos nteriores dejn en lro que es l semejnz entre dos uerpos, oss o figurs, de tl mner y por onsiguiente es fundmentl onoer su onepto. L semejnz se define omo l relión entre dos figurs geométris (triángulos) que tienen l mism form, unque distinto tmño., es deir que sus ángulos son respetivmente igules y sus ldos son proporionles. os figurs son semejntes tles omo P y P umplen ls siguientes reliones métris: Proporionlidd de segmentos. Iguldd de ángulos Relión entre ls áres Relión entre los volúmenes. Proporionlidd de segmentos. Si,, son puntos de F y,,, los orrespondientes puntos de F, entones se umple que: s deir, entre dos figurs semejntes, los pres de segmentos orrespondientes son proporionles. L rzón de proporionlidd, k, se llm rzón de semejnz. Por ejemplo, entre dos figurs semejntes uy rzón de semejnz es 2, d segmento de l primer es de longitud dole que el orrespondiente segmento de l segund. Iguldd de ángulos. Si,, son puntos de F y,,, los orrespondientes puntos de F, entones se umple que s deir, entre dos figurs semejntes, los ángulos orrespondientes son igules. st propiedd es l que onfiere l mism form ls figurs semejntes. Relión entre ls áres. Si ls figurs F y F son semejntes on rzón de semejnz k, l

8 rzón entre sus áres es k 2. s deir, el oiente entre ls áres de dos figurs semejntes es igul l udrdo de l rzón de semejnz. Relión entre los volúmenes. Si ls figurs F y F son semejntes on rzón de semejnz k, l rzón entre sus volúmenes es k 3. s deir, el oiente entre los volúmenes de dos figurs semejntes es igul l uo de l rzón de semejnz. os polígonos son semejntes si sus ldos son proporionles y sus ángulos respetivmente igules. Pr ser que dos triángulos son semejntes st ompror que se umple lgun de ls ondiiones siguientes, llmds riterios o sos de semejnz de triángulos: TORM ÀSIO L PROPORIOLI stlee que tod ret prlel uno de los ldos de un triángulo, determin un triángulo semejnte l ddo (ver l fig siguiente): SO1. Tienen dos pres de ángulos respetivmente igules. ángulo Si ángulo ángulo y ángulo Los triángulos y son semejntes. SO 2. Tienen un ángulo igul y proporionles los ldos que lo formn. proporionles y los Si el ldo y el ldo son

9 que: Ángulos y son igules se die Los triángulos y son semejntes. SO 3. Tienen los tres ldos proporionles. y son Si los ldos y ; y ; proporionles, por lo tnto: semejntes. Los triángulos y son Interpretdos los tres sos de l semejnz entre triángulos, podemos iniir l soluión de modelos gráfios pr que el lumno se vy relionndo on l prte proedimentl. jemplo 1.- e l siguiente figur geométri determinr el vlor de el ldo fltnte. Si 8 m, 12 m, 10 m respetivmente. lulr el vlor de Pr dr soluión estos modelos de semejnz de triángulos, es neesrio reordr dos oneptos ásios que son: - Rzón : s l relión que se present entre dos ntiddes en form de oiente - Proporión: Se define omo l iguldd de dos rzones.

10 Mtemátimente por produtos ruzdos y sustituyendo d uno de sus vlores orrespondientes se otiene: 8 10 sí otenemos: 8 ( x ) (4) (10) 4 X Finlmente: x 40 / 8 X 5 jemplo 2.- e l siguiente figur geométri determinr el vlor de el ldo fltnte X 12 L proporión qued omo: X Mtemátimente por produtos ruzdos se otiene: X 15 12

11 (35) (12) 15 x + ( 15 ) (12) x x x Por último despejndo x X 240 / 15 X 16 TIVI 1: UTO VLUION TIVI 2: MUSTR TUS PRNIZJS ) ) 12 X X 2X + 2 TIVI 3: MUSTR TUS PRNIZJS RSOLVINO PROLMS ONTXTO UTILIZNO PROPORIONS Y POSTULOS SMJNZ TRIÁNGULOS, HLLNO L VLOR X.

12 P-1.-Jun mide m de esttur, en un momento ddo proyet un somr sore el suelo de 68 m de lrgo. n ese preiso instnte un torre proyet un somr de 4.85 m. lul l ltur rel de l torre. P-2.- Un uerpo de 75 m de ltur, se olo 2.5 m de un fuente luminos en form horizontl., después está un pred que se enuentr 4.85 m del uerpo. e qué tmño se proyetrá es imgen en l pred. P-3.- Un esler de 15 m de longitud está rergd en un edifiio l ltur de un nunio; un plomd de 2 m de lrgo pende de l esler y to el piso un distni de 2.50 m de el pie de l esler. lulr l ltur l que se enuentr diho nunio. p-4.- Si es perpendiulr y perpendiulrmente, si mide 8m. mide 6 m, mide 12 m. lulr l nhur del río.

13 GLOSRIO Tringulo.- s un superfiie pln que tiene tres ldos, tres ángulos y por lo tnto tres vérties. ngulo.- s l ertur que se form undo dos rets se intersetn en un punto en omún. ngulo gudo.- s el que mide ms de 0 y menos de 90 ngulo reto.- s el que mide 90 ngulo otuso.- s el que mide ms de 90 pero menos de 180 SMJNZ: Se die de dos figurs geométris undo ests tienen l mism form y el mismo tmño, es Sus ángulos son homólogos y sus ldos son proporionles. PROPORIONLI: Se estlee undo en dos ntiddes vriles se present un relión de vriión, uál puede ser diret o invers. TORM: Se define un proposiión mtemáti que puede ser demostrd medinte proedimientos nlítios. RZÒN: Se define omo el oiente de dos ntiddes numéris. PROPORIÒN: Se present omo l iguldd de dos rzones. PROUTO RUZO: Se present en un proporión en form de euión, l uál puede ser resuelt por Medio de despejes, oteniendo sí el vlor de l inógnit. Refereni iliográfi. Geometrí y Trigonometrí. Ortiz mpos. Puliiones ulturl. Geometrí pln y del espio y Trigonometrí. r. J.. ldor. Puliiones ulturl. Geometrí y Trigonometrí. Ing. elrdo Guzmán Herrer. Puliiones ulturl. Geometrí y Trigonometrí. Smuel Fuenlrd. MGrw-Hill.