PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva 1, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 3, Ejercicio, Opción A Reserva 3, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 3 a) Halle los valores de a y b para que la gráfica de la función f ( ) a 3 5 b pase por el punto (1, 3) y tenga el punto de infleión en 1. b) Halle los intervalos de monotonía y los etremos relativos de la función definida por 3 g( ) 3 7 SOCIALES II JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Calculamos f ''( ). f a b f a f a 3 ( ) 3 5 '( ) ''( ) 6 6 Pasa por (1, 3) f (1) 3 a 3 5 b 3 a b 1 a 1; b P. I. en 1 f ''( 1) 0 6a 6 0 b) Calculamos la derivada de la función: g g y '( ) 3 6 ; '( ) (,0) (0, ) (, ) Signo g'( ) + + Función g( ) C D C Máimo (0,7) mínimo (,3)

3 Sea la función f definida por: f( ) 1 0 si 0 a) Estudie la continuidad y derivabilidad de f. b) Calcule la ecuación la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 1. SOCIALES II JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B si a) La función 1 derivable para 0 es continua y derivable para 0 ; la función es, también, continua y. Vamos a estudiar si la función f ( ) es continua y derivable en 0. lim 0 1 f (0) lim f ( ) 0 lim ( ) Continua en = si 0 Calculamos la función derivada: f '( ) ( 1) 1 si 0 y como: f f '(0 ) 1 f '(0 ) f '(0 ) No derivable en = 0 '(0 ) 1 Luego la función f() es continua en y derivable en 0 b) La recta tangente en 1 es y f (1) f '(1) ( 1) f (1) 1 1 f '( ) 1 f '(1) 3 Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y 3 ( 1) y 3 1

4 Sean las funciones f ( ) 4 6 y g( ). a) Determine, para cada una de ellas, los puntos de corte con los ejes, el vértice y la curvatura. Represéntelas gráficamente. b) Determine el valor de para el que se hace mínima la función h( ) f ( ) g( ) SOCIALES II RESERVA 1. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Para la función f ( ) 4 6 Puntos de corte con el eje X y No tiene solución, luego no corta al eje X. Puntos de corte con el eje Y 0 y 6 (0,6). b 4 Vértice v y vértice (, ) a Curvatura y ''( ) 0 Convea Para la función g( ) Puntos de corte con el eje X y 0 0 0; (0, 0) y (0, ). Puntos de corte con el eje Y 0 y 0 (0,0). b Vértice v 1 y 1 vértice (1,1) a Curvatura y ''( ) 0 Cóncava

5 b) Calculamos la función h f g ( ) ( ) ( ) h'( ) (, ) 3 (, ) Signo y' + Función D C 3 3 mínimo,

6 Calcule las derivadas de las siguientes funciones: a) f ( ) (5 ) b) g( ) ( ) L( ) 5 c) h( ) 3 e SOCIALES II RESERVA 1. EJERCICIO. OPCIÓN B a) b) c) 3 1 (1 3 ) 1 f '( ) 3 (5 ) 5 15 (5 ) g '( ) L( ) ( ) L( ) 1 5 '( ) 5 3 h L3 e

7 1 si 1 Consideremos la función: f( ) 1 si 1 a) Estudie su continuidad y derivabilidad. b) Determine la monotonía de f. c) Represente gráficamente esta función. SOCIALES II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A a) La función 1 es continua y derivable para 1; la función 1 es, también, continua y derivable para 1. Vamos a estudiar si la función f ( ) es continua y derivable en 1. Calculamos la función derivada: lim( 1) 0 1 f (1) lim f ( ) 0 Continua en = 1 lim( 1) si 1 f '( ) y como: 1 si 1 f '(1 ) f '(1 ) f '(1 ) No derivable en = 1 f '(1 ) 1 Luego la función f() es continua en y derivable en 1 b) f '( ) 0 0 (,0) (0,1) (1, ) c) Signo y' + + Función D C C

8 3 a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g ( ) en el punto de abscisa 1 = 1. b) Se considera la función f ( ) a b 4. Calcule los valores de los parámetros a y b para que f tenga un etremo relativo en el punto (1, 10). SOCIALES II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B a) La recta tangente en 1 es y g(1) g '(1) ( 1) 1 g(1) 3 ( 1) 1 (3 ) 5 g '( ) g '(1) ( 1) 4 Sustituyendo en la ecuación, tenemos, 1 5 y ( 1) 5 4 y b) Calculamos la derivada de f ( ) a b 4. f '( ) a b Pasa por (1,10) f (1) 10 a b 4 10 Etremo relativo en (1,10) f '(1) 0 a b 0 Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones sale: a 6 ; b 1

9 El beneficio esperado de una empresa, en millones de euros, en los próimos ocho años viene dado por la función B definida por: t 7t si 0 t 5 Bt () 10 si 5 t 8 donde t indica el tiempo transcurrido en años. a) Represente gráficamente la función B y eplique cómo es la evolución del beneficio esperado durante esos 8 años. b) Calcule cuándo el beneficio esperado es de 11 5 millones de euros. SOCIALES II RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Hacemos la representación gráfica de la función B Vemos que el beneficio aumenta en los 3 5 primeros años. Desde 3 5 a 5 años disminuye y entre 5 y 8 años se mantiene constante. b) Resolvemos la ecuación t t t t t t 7 11'5 7 11'5 0 '5 ; 4'5 Luego, vemos que el beneficio es de 11 5 millones de euros a los 5 años y a los 4 5 años.

10 3 Sea la función f ( ) 3 1 a) Determine la monotonía y los etremos relativos de f. b) Calcule su punto de infleión. c) Teniendo en cuenta los apartados anteriores, represéntela. SOCIALES II RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN B a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero. f '( ) ; (,0) (0, ) (, ) Signo y' + + Función C D C Máimo 0, 1 b) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero. f ''( ) mínimo, 5 El punto de infleión está en 1, 3 c) Hacemos la representación gráfica.

11 a) Dada la función f ( ) a ( 1) b, calcule a y b para que la gráfica de esta función pase por el punto de coordenadas (1, ) y tenga un etremo relativo en el punto de abscisa. 1 b) Calcule g ''() siendo g( ). SOCIALES II RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Calculamos la derivada de f ( ) a ( 1) b. Pasa por (1, ) f(1) b f '( ) a( 1) b Etremo relativo en f '() 0 a b 0 a 0 a 1 b) Calculamos la segunda derivada de 1 g'( ) 1 1 g ''( ) g ''() g( ) 1

12 a) De una función f se sabe que la gráfica de su función derivada, f, es la recta de ecuación y 4. Estudie razonadamente la monotonía de la función f, a la vista de la gráfica de la derivada. 4 4 b) Dada la función g ( ), calcule la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el 4 punto de abscisa = 0. SOCIALES II RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B a) Hacemos la representación gráfica de la función derivada. Vemos que f '( ) es positiva en el intervalo (,), luego en ese intervalo f ( ) será creciente. Vemos que f '( ) es negativa en el intervalo (, ), luego en ese intervalo f ( ) será decreciente. b) La recta tangente en 0 es y g(0) g '(0) ( 0) g(0) 1 4 ( 4) 1 (4 4) 0 5 g '( ) g '(0) ( 4) Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y 1 ( 0) 5 4y 4 0 4

13 a) La gráfica de la función derivada de una función f es la parábola de vértice (0, ) que corta al eje de abscisas en los puntos ( 3,0) y (3,0). A partir de dicha gráfica, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f. 3 b) Calcule los etremos relativos de la función g( ) 3. SOCIALES II SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Hacemos la representación gráfica de la función derivada. Vemos que f '( ) es positiva en el intervalo ( 3,3), luego en ese intervalo f ( ) será creciente. Vemos que f '( ) es negativa en el intervalo (, 3) (3, ), luego en ese intervalo f ( ) será decreciente. b) Calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero. g '( ) ; 1 (, 1) ( 1,1) (1, ) Signo g' + + Función C D C Máimo 1, mínimo 1,

14 3 Se considera la función f( ) a) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa 1. b) Estudie su monotonía. c) Calcule sus asíntotas. SOCIALES II SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B a) La recta tangente en 1 es y f (1) f '(1) ( 1) f (1) 1 1 ( ) ( 1) (3 ) f '( ) f '(1) 1 ( ) Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y 1 ( 1) y 1 0 b) Calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero. f 1 ( ) ( 1) (3 ) 1 '( ) 0 ( ) ( ) No tiene solución (,) (, ) Signo f ' + + Función C C Luego la función es creciente en su dominio. c) Verticales: La recta = a es una asíntota vertical si lim f ( ) lim f ( ) a Horizontales: La recta y = b es una asíntota horizontal si 3 lim f ( ) b lim 1 y 1 Oblicuas: No tiene.