Sesión Nº 02. Coordenadas polares

Transcripción

1 Sesión Nº 02 Coordenadas polares El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas que define la posición de un punto en función de los ángulos directores y de la distancia al origen de referencia. En la figura, se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia, punto O y la línea OL sobre la que se miden los ángulos, en las referencias a los puntos se indicando la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL. El punto (3, 60º), indica que está a una distancia de 3 unidades de O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL. El punto (4, 210º) está a una distancia de 4 unidades de O y un ángulo de 210º sobre OL. Este sistema se emplea en los casos en los que el conocimiento de los ángulos directores sea más práctico que las coordenadas cartesianas. Normalmente, eso sucede cuando la figura o curva a estudiar está definida más claramente por los ángulos sobre los ejes y la distancia al centro de coordenadas, como en las figuras de revolución, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc. Coordenadas polares en el plano

2 En el plano de ejes x y con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo θ del vector de posición sobre el eje x. Conversión de coordenadas rectangulares a polares Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x, y), se tiene que las coordenadas polares son: Sin embargo debemos recordar que la tangente inversa siempre nos dará un ángulo entre - /2 y /2, y que de la relación anterior obtendremos dos valores de r, uno negativo y otro positivo. Ejemplo: Hallar las coordenadas polares del punto A (-1, 1). Coordenadas rectangulares x = -1 y = y 1 r x y ( 1) (1) 2 tg 1 y x 1 a r c o t g ( 1) 3 4 T a m b ié n : r Conversión de coordenadas polares a rectangulares Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene: x r cos y r sen

3 Ejemplo: Convertir las coordenadas polares r 2 a rectangulares. 6 x r cos y r sen 3 1 x 2 cos 2( ) 3 y r sen 2 sen 2( ) Por tan to x 3 y 1 Coordenadas polares en el espacio Dado el espacio tridimensional, con centro de coordenadas O y ejes x y z, se puede definir un sistema de coordenadas polares, de modo que un punto del espacio M está definido por dos ángulos directores y la distancia al centro de coordenadas r, donde el primer ángulo es el que forma la proyección del vector r sobre el plano x-y con el eje x, y el segundo ángulo es el que forma el vector r con el plano x-y con el eje y. Conversión de coordenadas rectangulares a polares en el espacio Definido un punto M en el espacio por sus coordenadas rectangulares (x, y, z), se tiene que:

4 Conversión de coordenadas polares en el espacio a rectangulares Definido un punto en el espacio por sus ángulos directores y la distancia al centro de coordenadas r, se tiene: x r cos cos y r cos sen z r sen Ejemplos En el plano Una circunferencia se define en coordenadas polares: Una espiral se define, un caso particular es cuando el radio es proporcional al ángulo: Donde k es un valor real, da lugar a la Espiral de Arquímedes Otros ejemplos: Espiral logarítmica Espiral de Fermat En el espacio Las coordenadas polares en el espacio tienen especial interés cuando los ángulos determinan la función como, por ejemplo: Hélice (geometría) Véase también Coordenadas celestes Coordenadas esféricas Coordenadas geográficas

5 Espiral logarítmica Espiral logarítmica (grado 10 ). Corte de la concha de un nautilus donde se aprecian las cámaras formando aproximadamente una espiral logarítmica. Una borrasca sobre Islandia. El patrón que sigue es aproximadamente el de una espiral logarítmica. Una espiral logarítmica, espiral equiangular o espiral de crecimiento es una clase de curva espiral que aparece frecuentemente en la naturaleza. Fue descrita por primera vez por Descartes y posteriormente investigada por Jakob Bernoulli, quien la llamó Spira mirabilis, "la espiral maravillosa", y quiso una grabada en su lápida. Por desgracia, se grabó en su lugar una espiral de Arquímedes.

6 Espiral de Fermat La espiral de Fermat, denominada así en honor de Pierre de Fermat y también conocida como espiral parabólica, es una curva que responde a la siguiente ecuación: Es un caso particular de la espiral de Arquímedes. Coordenadas esféricas El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r, el ángulo polar o colatitud θ y el azimuth φ.

7 Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de 90º a -90º (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360ª (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π). Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado. Convención norteamericana Hablando en términos de coordenadas cartesianas, la convención usada por los matemáticos de Estados Unidos es: r (radio): es la distancia entre el punto P y el origen. φ (colatitud o ángulo polar ) de 0º a 180º es el ángulo entre el eje z y la línea que une el origen y el punto P, y θ (azimut o longitud) de 0º a 360º es el ángulo entre el eje X positivo y la línea que une el origen con la proyección del punto P en el plano XY. Ejercicios: 1. Dada la ecuación polar r (3-2 cos θ) = 2, obtener la ecuación cartesiana de la curva. SOLUCIÓN De la ecuación dada se tiene, después de multiplicar: 3 r - 2 r cos θ = 2 Aplicando las ecuaciones de cambio: x r r x y 2 2 cos. Sustituyendo queda: x y 2x x y 2x 2 Elevando al cuadrado ambos miembros y desarrollando: Simplificando y ordenando: x 9 y 4 x 8 x x 9y 8x 4 0 La ecuación representa a una elipse.

8 2. Obtener la ecuación polar de la curva cuya ecuación es 3x+4y +1 = 0 x r cos y r sen Se sabe que Sustituyendo en la ecuación dada, se tiene: 3( r cos ) 4( r sen ) 1 3r cos 4r sen 1 r(3cos 4 sen ) 1 y despejando r : r 1 3cos 4sen Trazado de una curva dada su ecuación polar. Para localizar puntos o para bosquejar las gráficas, se hace en papel coordenado polar, que se construye de la siguiente forma: A partir de un punto que es el polo, se trazan círculos concéntricos igualmente espaciados. Los puntos situados sobre el lado terminal del ángulo corresponden a valores positivos de las distancias y los puntos situados sobre la prolongación del lado terminal del ángulo serán para los valores negativos de las distancias, como se muestra en la figura anterior.

9 Para graficar una ecuación polar, procedemos igualmente que con las ecuaciones cartesianas, dando valores al ángulo θ entre 0 y 360, haciendo uso de preferencia del papel coordenado polar. Ejemplo: Trazar la curva cuya ecuación polar es: r = 8 cos θ Se hacen las operaciones para cada valor de θ según la ecuación. Para obtener las correspondientes a r, obteniéndose la siguiente tabla de tabulación: La figura muestra los resultados obtenidos r 0º 0º 8 30º º º º º º 8

10 Autoevaluación 1. Dadas las coordenadas rectangulares del punto A(1, 3), hallar las coordenadas polares: A 5 (2, ) 3 2. Obtener la ecuación rectangular de la curva cuya ecuación es r 2 y 8(2 x) representa la curva de una parábola 3. Obtener la ecuación cartesiana de la línea r(5 cos 3 sen ) 6 4 cos 1 5x +3y = 6 la ecuación representa a línea recta 4. Trazar la curva llamada cardiode, cuya ecuación polar es: r a(1 cos ) Para efectuar operaciones tomar un valor de a 4 por ejemplo. Fin de la sesión junuche@hotmail.com