el blog de mate de aida. MATE I. Derivadas. Pág. 1

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1 el blo de mte de id. MATE I. erivds. Pá. TASAS E VARIACIÓN L siuiente tbl orece el número de ncimientos en cd mes lo lro de un ño en un determind poblción: Meses Ncimientos Pr sber, por ejemplo, cómo vrido el número de ncimientos entre los meses de Enero y Abril, bstrá con dividir l vrición de ncimientos entre l vrición de los meses: 9 ncimientos/mes El número que se obtiene mide l vrición medi del número de ncimientos mensul. Indic que, por término medio, el número de ncimientos de un mes otro umentdo en. Si cemos lo mismo entre Abril y Septiembre tenemos: 9 9 ncimientos/mes A este número se llm Ts de Vrición Medi. En enerl: d un unción deinid en un intervlo [,b], se llm ts de vrición medi de l unción en [,b] l cociente: TVM b b L Ts de Vrición Medi es l proporción entre l vrición de l ordend y l vrición de l bscis en el intervlo [,b]. Por tnto se trt de l pendiente de l rect secnte l ráic de en el intervlo [,b]. Ejemplo: Uno de los rndes problems de l umnidd es ctulmente el crecimiento de l poblción. A prtir de l tbl que tienes continución, vmos estudir l vrición, en millones, del número de bitntes de nuestro plnet lo lro del presente silo. Años Poblción millones Epresmos los dtos nteriores medinte un ráic, y llmmos l unción que los relcion y=, donde represent los ños e y el número de bitntes censdos en dico ño.

2 el blo de mte de id. MATE I. erivds. Pá. Así pues, es ácil comprobr que l vrición de l poblción mundil entre los ños 99 y 99 es: 99 9 = 9 = Est vrición d un ide de l rpidez con l que un unción crece o decrece; sin embro, si queremos un conocimiento más preciso, debemos utilizr l ts de vrición medi, que tiene en cuent l mplitud del intervlo considerdo. Así, l ts de vrición medi de l poblción mundil entre los ños 9 y 99 es: TVM '99 9 En l ts de vrición medi no inluye el comportmiento de l unción lo lro del intervlo, y que sólo intervienen ls imáenes de los etremos y l mplitud de éste. e est orm, pueden eistir unciones distints de [,b] que tenn l mism ts de vrición medi. Ejemplo: d l unción, l ts de vrición medi en el intervlo [-,] es: 9 TVM. b d l unción = +, l ts de vrición medi en el intervlo [-,] es: 9 TVM. Ambs unciones tienen l mism ts de vrición medi en el intervlo [-,] y, sin embro, no tienen el mismo comportmiento en dico intervlo, como se ve en l representción ráic. Teniendo en cuent que b es myor que, se puede epresr b como + pr lún número rel positivo, y de est orm l ts de vrición medi se epresrí seún l órmul: TVM ERIVAA E UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO El límite de ls tss de vrición medi cundo los intervlos considerdos son cd vez más pequeños, es lo que, mtemáticmente, entendemos por derivd de es unción en dico punto.

3 el blo de mte de id. MATE I. erivds. Pá. d un unción se llm derivd de en un punto de bscis l límite: ' = pendiente de l rect tnente L derivd de un unción en un punto es un número rel. Se dice que un unción es derivble en un punto de bscis si eiste dico límite. Si es derivble en, este límite se llm l derivd de en. Pr desinr este límite se utilizn diverss notciones: y,,, d/d, [] Clculemos l derivd de l unción en =: '. Como y, sustituyendo: '. Por tnto =. Clculremos l derivd de = en el punto = : ' Es decir, = es derivble en el punto = y =. erivds lterles: Como l derivd de un unción en un punto viene dd por un límite, podemos deinir ls derivds lterles de l siuiente orm: Se llm derivd por l izquierd de l unción en el punto = l siuiente límite, si es que eiste: Se llm derivd por l derec de l unción en el punto = l siuiente límite, si es que eiste: L derivd por l izquierd y por l derec se llmn derivds lterles. L derivd por l izquierd se desin por ', y l derivd por l derec por '. L unción es derivble en el punto = si eisten ls derivds lterles y ésts coinciden. En este cso: ' ' '. Ejemplo: Vemos si l unción si si es derivble en =. ' ' Como ls derivds lterles son distints, entonces no es derivble en =.

4 el blo de mte de id. MATE I. erivds. Pá. erivd en un intervlo: Un unción es derivble en un intervlo bierto,b si lo es en cd uno de sus puntos. Un unción es derivble en un intervlo cerrdo [,b] si es derivble en cd punto de,b y derivble por l derec en y por l izquierd en b. FUNCIÓN ERIVAA. ERIVAAS SUCESIVAS Hemos visto como clculr l derivd de un unción en un punto =. Pero si or queremos clculr l derivd de en dos o más puntos, tendremos que repetir los cálculos pr cd uno de ellos. L orm de evitr l repetición de los cálculos es determinr l unción derivd de pr un punto enérico y después prticulrizr en los puntos desedos. L unción derivd de un unción dd o simplemente derivd es un unción que soci cd, donde l unción es derivble, su derivd. L unción derivd de y= se desin por y = o y viene dd por: ' Clculemos l unción derivd de l unción deinición de derivd: ' Por ejemplo, en =: ==. Vmos clculr l unción derivd de l unción ' Conocid l unción derivd ejemplo: ' o. Pr ello sustituimos por en l ' : ' '., podemos clculr l derivd de en culquier punto. Por erivds sucesivs: A prtir de l unción derivd primer se puede deinir tmbién, si eiste, su derivd, y recibe el nombre de derivd seund. Se desin por y = o. Análomente se deinen ls unciones derivds tercer, curt,, n-ésim, que se desinn por,,, n o,,, n.

5 el blo de mte de id. MATE I. erivds. Pá. REGLAS PARA EL CÁLCULO E ERIVAAS Pr clculr ls derivds de operciones con unciones no será necesrio plicr l deinición de derivd, sino que podrá cerse de orm rápid si se siuen ls rels de derivción que se muestrn continución. Ests rels están bsds en l deinición de derivd y en ls propieddes de los límites relcionds con ls operciones con unciones. L derivd de unciones elementles se puede obtener medinte l deinición. A continución se muestr un tbl con los resultdos de ls unciones más usules. Rels de derivción Sum y rest +`=`+` -`=`-` Producto y cociente `=`+` ` ` ` Producto por un número k`=k` Composición []`=`` erivds de unciones elementles erivd de un unción constnte k erivd de erivd de un unción potenci n n n n, siendo n un número culquier / / / / erivd del producto de un número por un unción ' k k erivd de l sum de unciones, + [+]= +

6 el blo de mte de id. MATE I. erivds. Pá erivd de ls unciones trionométrics Seno [sen]= Coseno []=-sen Tnente sec t t [sen]= sen t t erivd de ls inverss de ls unciones trionométrics Arco-seno rcsen Arco-eno rc Arco-tnente rct rc rct e e e erivd del producto de dos unciones []='+' 9 9 sen sen erivd del cociente de dos unciones ` ` sen

7 el blo de mte de id. MATE I. erivds. Pá. 7 erivd de un unción compuest. Rel de l cden: ' ' erivd de ls unciones eponenciles [e ]=e [ ]=ln e e 7 7 ln7 7 7 e e ln 7 erivd de ls unciones lorítmics [ln]= lo ln ln 7 7 lo ln ln ln ln ln ln

8 el blo de mte de id. MATE I. erivds. Pá. 8 FUNCIÓN CONSTANTE FUNCIÓN IENTIA TABLA E ERIVAAS [k]=, kr []= FUNCIÓN POTENCIAL ' FUNCIÓN EXPONENCIAL e e e e ' ln ln ' FUNCIÓN POTENCIAL-EXPONENCIAL ' ln ' FUNCIÓN LOGARÍTMICA ln ln ' ' ln ' lo lo FUNCIÓN SENO [sen]= [sen]= FUNCIÓN COSENO []=-sen []=-sen FUNCIÓN TANGENTE t t t t ' FUNCIÓN ARCO SENO FUNCIÓN ARCO COSENO rcsen rc FUNCIÓN ARCO TANGENTE rct = - ARCOCOTANGENTE ln ' rcsen rc ' ' ' rct FUNCIÓN FUNCIÓN SIMPLE FUNCIÓN COMPUESTA ln 7 e e

9 el blo de mte de id. MATE I. erivds. Pá. 9 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Hemos visto que l Ts de Vrición Medi es l proporción entre l vrición de l ordend y l vrición de l bscis en el intervlo [,b] y que, por tnto, se trt de l pendiente de l rect secnte l ráic de en el intervlo [,b]. Si tommos un unción que es derivble en =, y considermos los puntos P=, y Q=+,+, l rect que ps por estos dos puntos es secnte l ráic de, y l ts de vrición medi, su pendiente. TVM, es Al clculr l derivd de l unción en el punto, esto es,, se tom el límite de TVM cundo tiende cero. Pero si se ce cd vez más pequeño, el punto + se proim l punto y el punto + l punto, es decir, el punto Q tiende l punto P, y l rect secnte l ráic de l unción, que ps por los puntos P y Q, tiende l rect tnente l ráic de en el punto P. Así pues, si queremos llr l ecución de l rect tnente l ráic de y= en =, disponemos de los siuientes dtos: - El punto de tnenci es,. - L pendiente de l rect es m=. A prtir de estos dtos se obtiene que: L ecución de l rect tnente l ráic y= en el punto = es: y-=`- Clculemos l ecución de l rect tnente l ráic de l unción en =. y ' y, y que ' '. Hllemos l ecución de l rect tnente l prábol en el punto de =. Como = =, el punto de tnenci es,. Además, =. Por tnto, l pendiente de l rect tnente en = será: m = =. Entonces, l ecución de l rect tnente en = es: y = -

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