Grado en Ingeniería. Asignatura: Estadística. Tema 1: Estadística Descriptiva.

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1 Grado en Ingeniería. Asignatura: Estadística. Tema 1: Estadística Descriptiva.

2 Estadística Descriptiva. Índice Introducción. Tipos de datos. Tabla de frecuencias. Análisis gráficos. Variables cualitativas: Diagrama de barras, diagrama de tarta o pastel. Diagrama de Pareto. Variables cuantitativas: Transversales: histograma, diagrama de caja. Temporales: gráfico de la serie. Medidas analíticas: Medidas de centralización: media, mediana. Medidas de dispersión: varianza, desviación típica, coeficiente de variación, rango intercuartílico Medidas de forma: coeficiente de asimetría y coeficiente de curtosis. Cuartiles, percentiles. Transformaciones. Dos variables. Número de transparencia: 2

3 Introducción Fuente Imagen: LA ESTADISTICA EN COMIC de GONICK, LARRY y SMITH, WOOLLCOTT Número de transparencia: 3

4 Introducción La siguiente tabla presenta la nota de estadística de 4 personas. Número de transparencia: 4 7,5 4,5 6,6 7,8 3,7 7,6 4,5 5,8 4, 5,9 5,1 6,7 2,1 6,9 3,9 5,5 5,7 3,3 6,3 4,2 5,2 5,5 6,3 6,3 6, 4,5 7,2 1,6 6,2 3,7 6,1 8,3 3,8 5,7 6,7 4,6 5,2 5,6 3,5 4,4 6,6 5,3 6,3 5,8 3,8 6,2 5,4 3,6 7,2 5,3 6, 2,7 6,8 5,9 5,5 5, 4, 4,8 4,5 6,1 3,2 5,5 6, 4, 7,3 6,7 3,3 3,2 1,9 9,3 1,6 3,2 4,9 3,2 4,8 4,5 5,7 5,7 4,9 6, 3,4 5,3 6,6 4,1 4,6 4,2 4,5 6,4 4, 5,3 3,3 4,6 6,1 5, 4,3 6,3 4,2 3,7 6,5 6, 5,9 5,1 3,1 4,5 4,7 3,6 3,2 3,8 5,5 5,8 5,6 3,1 3,7 3,1 6,5 5,2 5,2 7,7 5,1 7,4 7,1 6,4 7,1 5,3 3,1 2,7 6,6 2,1 5,7 3,3 9,2 3,8 5,2 3,2 3,7 3,2 2,1 5,1 5,5 6, 5,3 4,3 6,1 6,6 8,8 4,1 3,2 4,1 4,4 1,8 4,4 4,4 5,3 2,9 5,6 5,6 6,2 3,6 4,2 8,7 3,9 5,1 4,6 5,9 4,9 3,1 5,6 7,6 5,5 5,9 6,2 3,4 6,8 5,8 3,8 6,4 4,2 7,7 7,3 3, 4,4 5,7 5,6 4,5 5, 5,5 3,6 5,8 6,5 4,3 2,9 7, 5,6 3,6 3, 5,7 4,8 3,9 4,3 2,7 2,2 6,3 7, 6,4 2,9 3,5 7,1 3,8 3,2 4,5 5,8 6, 3, 7,6 5,7 2,4 5,5 4,3 4,8 5,5 3,1 4, 4,4 6,4 6, 5,1 5,2 4,6 5,2 2,5 5,3 2,4 5,3 7,5 5,4 5, 5,2 4,1 4, 4,7 4,4 6,1 3,4 3,4 4,9 3,8 6,2 6,5 4, 5,5 7,4 7,4 7,7 4,2 3,5 9,3 6,7 7,1 2,6 4,7 3, 2,7 4,3 2,9 3,5 4,8 6,8 4,1 5,3 5,9 6,3 5,4 3,3 7,4 7,4 4,5 6, 2,8 4,6 1,5 6,3 7, 4,3 3,6 6,7 3,8 5,5 7,8 4,1 6,5 7, 5,8 4,8 4, 8,8 5,7 5,1 5, 7,5 6,4 5,2 3,3 5,9 5,9 7,1 7,1 4,5 6,5 3,3 4,7 4,7 7,8 7,3 2,3 6,6 4,2 3,7 5,5 5,7 5,4 4,3 4,3 7,1 3,3 4,2 2,5 3,9 6,1 3,7 5,3 5,1 5,5 6,3 6,9 4,3 7, 7,4 5,7 6,3 3,9 5,1 5,4 5,2 5,2 8,4 4,1 4,9 6,7 6, 5,3 6,8 3,1 5,1 6,4 5,4 6, 5, 6,4 6,3 5,7 3, 2,7 2,7 4,4 5,3 7,5 6,1 5,1 4,5 6,1 4,1 7,7 4,4 4,4 8, 1,5 3,9 5,8 7,4 5,9 6,4 5,6 5,9 3,8 5,8 4,2 6,7 4,9 5,6 3,8 5,1 5,6 7,5 4,6 6,9 4, 3,4 3,7 4,9 4,4 La observación de esta lista de datos no permite extraer ninguna información fácilmente, siendo difícil detectar cualquier patrón de variabilidad o estructura de los datos. La Estadística Descriptiva proporciona las herramientas para resumir, analizar y sacar conclusiones de un conjunto de datos. La Estadística Descriptiva utiliza, tablas, gráficos y resúmenes numéricos.

5 Frecuencia Introducción La Estadística Descriptiva utiliza, tablas, gráficos y resúmenes numéricos. Frequency Tabulation for Edades Resumen numérico Lower Upper Relative Cumulative Cum. Rel. Class Limit Limit Midpoint Frequency Frequency Frequency Frequency at or below,,, 1, 1, 5,,, 2 1, 2, 15,,, 3 2, 3, 25, 1,25 1,25 4 3, 4, 35, 158, , , 5, 45, 233, ,98 6 5, 6, 55, 8,2 4 1, 7 6, 7, 65,, 4 1, 8 7, 8, 75,, 4 1, 9 8, 9, 85,, 4 1, 1 9, 1, 95,, 4 1, above 1,, 4 1, Mean = 41,51 Standard deviation = 4,2398 Edades Summary Statistics for Edades Count = 4 Average = 41,51 Median = 42, Variance = 17,9698 Standard deviation = 4,2398 Minimum = 28, Maximum = 57, Range = 29, Lower quartile = 39, Upper quartile = 44, Interquartile range = 5, Skewness =,13757 Kurtosis =, Número de transparencia: Años

6 Software Numeroso software a tu disposición para realizarlo de una forma sencilla: Statgraphics, SPSS, R, SAS,... Número de transparencia: 6

7 Algunas Definiciones A la hora de realizar cualquier estudio estadístico, hay que tener en cuenta: Población: es el conjunto de individuos (personas, animales o cosas) sobre el cual estamos interesados en sacar conclusiones. Normalmente este conjunto es demasiado grande para poder abarcarlo. Muestra: es un subconjunto de la población al que tenemos acceso y sobre el que realmente hacemos las observaciones. Variable: es la característica observable que varía entre los individuos de la población: Tiempo de vida de las piezas. Número de piezas fabricadas en un día. Calidad de las piezas (buena, regular, mala) Datos: valores observados de la variable. Número de transparencia: 7

8 Tipos de datos Podemos clasificar las variables como: Cualitativas. Si sus valores no son números. Cuantitativas. Sus valores son numéricos (tiene sentido hacer operaciones algebraicas con ellos): Transversales: Tomadas en el mismo instante de tiempo o en tiempos equivalentes. Temporales: Evolución de una variable a lo largo del tiempo. Necesitamos conocer el tipo de variable para poder utilizar la herramienta estadística adecuada. Número de transparencia: 8

9 Estadística Descriptiva. Índice Introducción. Tipos de datos. Tabla de frecuencias. Análisis gráficos. Variables cualitativas: Diagrama de barras, diagrama de tarta o pastel. Diagrama de Pareto. Variables cuantitativas: Transversales: histograma, diagrama de caja. Temporales: gráfico de la serie. Medidas analíticas: Medidas de centralización: media, mediana. Medidas de dispersión: varianza, desviación típica, coeficiente de variación, rango intercuartílico. Medidas de forma: coeficiente de asimetría y coeficiente de curtosis. Cuartiles, percentiles. Transformaciones. Dos variables. Número de transparencia: 9

10 Tabla de frecuencias: Variables cualitativas Se pregunta a 1 clientes de un hotel sobre su grado de satisfacción. Satisfacción Bastante satisfecho Muy Satifecho Bastante satisfecho Bastante satisfecho Bastante satisfecho Bastante satisfecho Medianamente satisfecho Bastante satisfecho Bastante satisfecho Medianamente satisfecho Medianamente satisfecho Bastante satisfecho Muy Satifecho Bastante satisfecho Medianamente satisfecho Bastante satisfecho Bastante satisfecho Muy Satifecho Muy Satifecho Muy Satifecho Muy Satifecho Descontento Bastante satisfecho Bastante satisfecho Medianamente satisfecho Descontento Bastante satisfecho Medianamente satisfecho Bastante satisfecho Bastante satisfecho Descontento Bastante satisfecho Bastante satisfecho Bastante satisfecho Muy Satifecho Bastante satisfecho Medianamente satisfecho Bastante satisfecho Bastante satisfecho Bastante satisfecho Bastante satisfecho Descontento Descontento Descontento Bastante satisfecho Muy Satifecho Medianamente satisfecho Bastante satisfecho Bastante satisfecho Bastante satisfecho Descontento Bastante satisfecho Muy Satifecho Descontento Muy Satifecho Descontento Bastante satisfecho Bastante satisfecho Descontento Muy Satifecho Bastante satisfecho Bastante satisfecho Bastante satisfecho Bastante satisfecho Bastante satisfecho Muy Satifecho Muy Satifecho Bastante satisfecho Descontento Medianamente satisfecho Bastante satisfecho Bastante satisfecho Bastante satisfecho Bastante satisfecho Medianamente satisfecho Muy Satifecho Bastante satisfecho Bastante satisfecho Bastante satisfecho Muy Satifecho Bastante satisfecho Bastante satisfecho Muy Satifecho Bastante satisfecho Muy Satifecho Bastante satisfecho Medianamente satisfecho Muy Satifecho Bastante satisfecho Medianamente satisfecho Descontento Bastante satisfecho Bastante satisfecho Medianamente satisfecho Medianamente satisfecho Bastante satisfecho Bastante satisfecho Medianamente satisfecho Bastante satisfecho Medianamente satisfecho.... Número de transparencia: 1

11 Variables Cualitativas. Tabla de frecuencias Los valores que puede tomar la variable son denominados clases. La tabla de frecuencia asocia a cada clase o valor de la variable su: Frecuencia absoluta. Número de individuos en la clase. Frecuencia relativa. Es la proporción de individuos que pertenecen a cada clase sobre el total de la muestra Frequency Table for Satisfaccion Relative Cumulative Cum. Rel. Value Frequency Frequency Frequency Frequency Descontento 12,12 12,12 Medianamente contento 16,16 28,28 Bastante contento 54,54 82,82 Muy contento 18,18 1 1, Cuántos individuos están descontentos? Cuál es la clase más observada? Número de transparencia: 11

12 Tabla de frecuencias. Variables cualitativas Supongamos que se observa el retraso en destino de 219 autobuses, medido en minutos. Retraso autobuses 4,71 6,42 3,45 5,55 14,6 14,5 15,3 14,12 8,83 4,76 5,48 1,95 3,53 13,68 11,52 2,98 9,7 9,25 5,8 1,96 5,12 5,8 13,16 11,76 14,84 14,68 9 3,42 6,6 5,53 5,64 16,27 19,25 13,12 12,74 8,62 1,38 2,33 3,68 3,18 12,57 15,77 14,22 15,71 8,49 3,53 6,81 5,41 6,32 14,87 13,35 14,57 15,54 8,52 6,8 6,24 4,12 4,49 14,45 14,81 15,43 11,25 8,66 6,17 4,26 6,92 3,5 18,5 19,31 13,72 13,46 9,5 5 3,55 5,26 2,48 12,14 15,61 16, ,66 5,21 4,81 3,19 4,43 18,58 13,65 12,67 1,71 8,63 4,54 6,7 6,54 4,31 13,57 14,3 16,87 16,9 8,7 4,9 4,77 4,23 3,6 17,82 14,23 17,35 15,41 9,16 5,36 2,84 5,41 6,69 17,13 12,84 18,4 15,95 9,45 6,58 4,89 4,83 8,4 15,66 14,84 2,37 15,97 8,68 6,83 4,68 6,1 2,84 18,2 15,6 14,32 16,62 8,92 5,98 5,27 4,19 4,95 16,55 12,61 14,7 14,66 9,7 4,7 5,41 5,98 4,94 14,57 13,1 2,22 14,8 8,39 4,34 6,97 4,38 1,4 14,15 14,53 22,4 15,9 8,54 4,14 4,16 6,5 5,17 18,5 1,6 14,73 19,4 8,99 4,74 6,5 6,49 1,95 15,2 12,69 13,39 11,55 4,4 5,9 5,26 1,99 15,4 14,55 13,33 15,4 5,83 8,8 4,58 4,69 21,32 11,73 22,1 9,46 1,86 3,55 4,24 3,37 13,85 14,72 17,22 16,2 3,8 5,93 6,27 5,86 11,84 2,86 2,26 8,7 4,94 6,21 3,4 6,65 17,14 13,63 19,3 16,69 Número de transparencia: 12

13 Variables cuantitativas. Tabla de frecuencia Retrasos 4,71 4,76 5,8 3,42 1,38 3,53 6,8 6,17 5 5,21 4,54 4,9 5,36 6,58 6,83 5,98 4,7 4,34 4,14 4,74 4,4 5,83 1,86 3,8 4,94. Dividimos el recorrido (valor máximo-valor mínimo) en clases. A cada clase le asociamos frecuencia absoluta y frecuencia relativa. También el orden lógico de las clases permite definir la frecuencia acumulada absoluta y frecuencia acumulada relativa. Clases Marca de clase Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa Frec. Acum. Absoluta Frec. Acum. Relativa (,4] 2 25, ,1142 (4,8] 6 73, ,4475 (8,12] 1 33, ,5982 (12,16] 14 58, ,863 (16,2] 18 22,15 211,9635 (2,24] 22 8, Número de transparencia: 13

14 Variables cuantitativas. Tabla de frecuencia Retrasos 4,71 4,76 5,8 3,42 1,38 3,53 6,8 6,17 5 5,21 4,54 4,9 5,36 6,58 6,83 5,98 4,7 4,34 4,14 4,74 4,4 5,83 1,86 3,8 4,94. Cuántos autobuses se retrasan menos de 8 minutos? Clases Marca de clase Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa Frec. Acum. Absoluta Frec. Acum. Relativa (,4] 2 25, ,1142 (4,8] 6 73, ,4475 (8,12] 1 33, ,5982 (12,16] 14 58, ,863 (16,2] 18 22,15 211,9635 (2,24] 22 8, Qué porcentaje de autobuses se retrasa menos de 12 minutos? Clases Marca de clase Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa Frec. Acum. Absoluta Frec. Acum. Relativa (,4] 2 25, ,1142 (4,8] 6 73, ,4475 (8,12] 1 33, ,5982 (12,16] 14 58, ,863 (16,2] 18 22,15 211,9635 (2,24] 22 8, Número de transparencia: 14

15 Estadística Descriptiva. Índice Introducción. Tipos de datos. Tabla de frecuencias. Análisis gráficos. Variables cualitativas: Diagrama de barras, diagrama de tarta o pastel. Diagrama de Pareto. Variables cuantitativas: Transversales: histograma, diagrama de caja. Temporales: gráfico de la serie. Medidas analíticas: Medidas de centralización: media, mediana. Medidas de dispersión: varianza, desviación típica, coeficiente de variación, rango intercuartílico Medidas de forma: coeficiente asimetría y coeficiente de curtosis Cuartiles, percentiles. Transformaciones. Dos variables. Número de transparencia: 15

16 percentage Diagrama de pastel y diagrama de barras La idea de la representación gráfica de un conjunto de datos es representar frecuencias mediante áreas: Frequency Table for Satisfaccion Relative Cumulative Cum. Rel. Value Frequency Frequency Frequency Frequency Descontento 12,12 12,12 Medianamente contento 16,16 28,28 Bastante contento 54,54 82,82 Muy contento 18,18 1 1, Diagramas de pastel Diagrama de barras Piechart for Satisfaccion Barchart for Satisfaccion 18,% 12,% ,% ,% Satis faccion Descontento Moderadam ente contento Bastante contento Muy contento Descontento Moderadamente cont. Bastente cont. Muy contento Si la base de los rectángulos tiene la misma longitud, solo nos tenemos que preocupar de que la altura sea proporcional a la frecuencia Número de transparencia: 16

17 frequency Análisis gráficos. Variables cualitativas Encuesta en EE.UU. sobre preferencias de la revista semanal. Frec. Abs Frec. Relativa Time 1.56,51 NewSweek 642,31 U.S. News 373, Número de transparencia: 17

18 Diagrama de Pareto Herramienta básica de la mejora de calidad. Muy útil para priorizar los problemas o las causas que los generan. Su fundamento parte de considerar que un pequeño porcentaje de las causas producen la mayoría de los efectos. Se trataría, pues, de identificar ese pequeño porcentaje de causas vitales para actuar prioritariamente sobre él. Un fabricante de envases de plástico desea analizar cuáles son las causas que generan los envases defectuosos que se producen. Observa 248 envases defectuosos obteniendo Número de transparencia: 18

19 Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia Análisis gráficos. Variables cuantitativas Histograma Retrasos 4,71 4,76 5,8 3,42 1,38 3,53 6,8 6,17 5 5,21 4,54 4,9 5,36 6,58 6,83 5,98 4,7 4,34 4,14 4,74 4,4 5,83 1,86 3,8 4,94. Histograma. La idea es representar frecuencias mediante áreas. A cada clase le asociamos un rectángulo cuya área sea proporcional a la frecuencia. Podemos usar frecuencias o frecuencias acumuladas Histograma Histograma Clases Marca de clase Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa Frec. Acum. Absoluta Frec. Acum. Relativa (,4] 2 25, ,1142 (4,8] 6 73, ,4475 (8,12] 1 33, ,5982 (12,16] 14 58, ,863 (16,2] 18 22,15 211,9635 (2,24] 22 8, Minutos Histograma Histograma Polígono de frecuencias. Se unen los vértices superiores de los rectángulos del histograma mediante líneas Minutos Minutos Minutos Número de transparencia: 19

20 frecuencia frecuencia Frecuencia frecuencia Interpretación histogramas Interpretación de histogramas. Cuál es la distribución de los datos? altura 5 8 Histograma simétrico Minutos Bimodal población resistencia Asimétrico Con datos atípicos Forma; simétrico, asimétrico?, modas?, hay datos atípicos?, Número de transparencia: 2

21 frequency frequency Frecuencia Histograma bimodal Distribución bimodal. El motivo por el cual aparece una distribución multimodal (bimodal, trimodal, ) suele se porque se están mezclando datos de diferentes poblaciones Ejemplo: retraso de los autobuses, se están mezclando autobuses de corto y largo recorrido. Para comprender mejor el fenómeno conviene separar los datos y estudiarlos por separado. 8 Histograma Minutos Histograma retraso - corto recorrido Histograma retraso - largo recorrido retraso Autobuses de corto recorrido retraso Autobuses de largo recorrido Número de transparencia: 21

22 frecuencia Datos atípicos Los datos atípicos en ocasiones son de gran importancia, pues pueden aportar mucha información sobre el fenómeno estudiado. 4 resistencia Supongamos que el diagrama de caja representa la duración de un tipo de bombillas. El dato atípico, si comprobamos que no se trata de un error de medida o de trascripción de los datos, representa la SUPERBOMBILLA. Número de transparencia: 22

23 Análisis gráficos. Variables cuantitativas Diagrama de caja (Box Plot) Los cuartiles son tres valores que dividen el conjunto de datos en cuatro grupos con el mismo número de individuos. Se define el Rango Intercuartílico: RI = Q 3 -Q 1 Número de transparencia: 23

24 Análisis gráficos. Diagrama de caja Caudal 2,2 2,5 2,6 2,2 2,3 2,6 2,7 2,8 2,3 2,4 2,5 2,4 2,5 2,6 2,2 2,1 2,9 3,9 2,2 2,5 Realizamos 2 mediciones del caudal de agua que pasa por una tubería en una central térmica (media = 2.52; mediana =2.5; cuartil inferior =2.25; cuartil superior=2.6). Pasos para realizar el diagrama de caja: 1. Se representa con líneas verticales los cuartiles. Se cierra la caja. 2. A una distancia de 1.5 veces el RI desde el cuartil inferior y superior se representa con una línea vertical discontinua la barrera interior. 3. A una distancia de 3 veces el RI desde el cuartil inferior y superior se representa con una línea vertical discontinua la barrera interior. 4. Se representan los bigotes de la caja, que llegarán hasta el último dato dentro de la barrera interior. 5. Los datos que quedan fuera de las barreras son datos atípicos, se representan mediante estrellas. 1.5 RI 1.5 RI RI 1.5 RI 1.5 RI Número de transparencia:

25 frequency Diagrama de caja e histograma 6 Histograma - Caudal Caudal 2,2 2,5 2,6 2,2 2,3 2,6 2,7 2,8 2,3 2,4 2,5 2,4 2,5 2,6 2,2 2,1 2,9 3,9 2,2 2, ,4 2,8 3,2 3,6 4 Diagrama de caja - caudal 2,1 2,4 2,7 3 3,3 3,6 3,9 Número de transparencia: 25

26 Interpretación diagrama de caja Diagrama de caja, ingresos Diagrama de caja, extensión (X 1) ITOTAL Diagrama de caja, ahorro (X 1) Col_4 Diagrama de caja, notas (X 1) AHRR Número de transparencia: (X 1) Col_4

27 Análisis gráfico de series temporales Datos de evolución de variables en el tiempo: Periodicidad: frecuencia de recogida de datos (anual, mensual, ). Tendencia: si aumenta o disminuye con el tiempo. Variabilidad - volatilidad: su variación (grosor). Ciclo estacional: se observa un ciclo ligado al momento del año en que se ha recogido el dato. Número de transparencia: 27

28 Interpretación series temporales Periodicidad mensual Ciclo estacional Periodicidad mensual -Tendencia Ciclo estacional Número de transparencia: 28

29 Estadística Descriptiva. Índice Introducción. Tipos de datos. Tabla de frecuencias. Análisis gráficos. Variables cualitativas: Diagrama de barras, diagrama de tarta o pastel. Diagrama de Pareto. Variables cuantitativas: Transversales: histograma, diagrama de caja. Temporales: gráfico de la serie. Medidas analíticas: Medidas de centralización: media, mediana. Medidas de dispersión: varianza, desviación típica, coeficiente de variación, rango intercuartílico. Medidas de forma: coeficiente de asimetría y coeficiente de curtosis. Cuartiles, percentiles. Transformaciones. Dos variables. Número de transparencia: 29

30 Medidas analíticas. Variables cuantitativas Parámetro: es un cantidad numérica calculada sobre la población. La idea es resumir la información que hay en la población en unos pocos números (parámetros). La media de las bombillas de 6 W. La mediana de los niños de 3 meses. Estadístico: es una cantidad numérica calculada sobre la muestra. La vida media de las bombillas de 6 W de mi casa. La mediana de los niños de 3 meses observados en un estudio clínico. Normalmente, nos interesa conocer un parámetro, pero por la dificultad que conlleva estudiar TODA la población, calculamos un estimador sobre la muestra y confiamos en que sean próximos. Número de transparencia: 3

31 Medidas analíticas Medidas de centralización. Indican valores respecto a los que los datos parecen agruparse: media, mediana. Medidas de dispersión. Indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a las medidas de centralización: varianza, desviación típica, rango intercuartílico. Medidas de forma. Indican la forma de la distribución de los datos: Medidas de asimetría: coeficiente de asimetría. Medidas de apuntamiento: coeficiente de apuntamiento o curtosis. Cuartiles, Percentiles. Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de individuos: cuartiles, percentiles, Número de transparencia: 31

32 Medidas de centralización Proporcionan un valor simple y representativo, que resume un gran volumen de información. Media: es la media aritmética de los valores de una variable. Mediana: es un valor que divide a los datos en dos grupos con el mismo número de individuos. Número de transparencia: 32

33 Frecuencia La media Interpretación: la media es el centro de gravedad de la distribución de los datos. 8 Histograma Minutos Cálculo: X n i i 1 n Retrasos 4,71 5,21 4,14 4,76 4,54 4,74 5,8 4,9 4,4 3,42 5,36 5,83 1,38 6,58 1,86 3,53 6,83 x 9.86 Número de transparencia: 33

34 La mediana Divide el conjunto de datos en dos con el mismo número de datos. Una vez ordenados los datos de mayor a menor: Si n es impar. Dato que ocupa el lugar central. Si n es par. Es la media de los datos centrales. Número de transparencia: 34

35 Media ponderada En un hotel se pregunta a los clientes por su valoración de : Limpieza de la habitación, Rapidez en los trámites de la entrada, Iluminación del Bar. Variable atributo de calidad Valor medio- Hotel 1 Valor Medio Hotel 2 Limpieza habitación 3 8 Rapidez tramites entrada 5 7 Iluminación Bar 1 3 Valoración media: Satisfacción media: Hotel 1= 6. Hotel 2= 6. Número de transparencia: 35

36 Media ponderada Si pensáramos que la importancia es: Limpieza habitación: 5%. Recepción: 4%. Iluminación del Bar:1%. La media de la satisfacción ponderada por la importancia es: Hotel 1:.5 x x x 1 = 4.5. Hotel 2:.5 x x x 3 = 7.1. Número de transparencia: 36

37 Medidas de dispersión Supongamos dos grupos de alumnos, cuyas notas son: 1º grupo: 5,5,5,5,5,5. 2º grupo: 2,2,2,8,8,8. Los dos grupos tienen la misma media, pero parece evidente que los grupos son muy distintos. Conviene acompañar la medida de centralización con otros valores que aporten más información sobre el conjunto de datos: medidas de dispersión y medidas de forma. Número de transparencia: 37

38 Medidas de dispersión Para cada medida de centralización se define una medida de dispersión, que indica lo agrupado que están los datos entorno a la medida de centralización. Acompañando a la media definimos la varianza o la desviación típica o el coeficiente de variación. Acompañando a la mediana definimos el rango intercuartílico X ;S X ;S Número de transparencia: 38

39 Medidas de dispersión: asociadas a la media Miden la dispersión de los datos respecto de la media. Varianza (S 2 ): mide el promedio de las desviaciones (al cuadrado) de las observaciones respecto de la media. S n n ( xi x) n i 1 n i 1 Datos no agrupados x 2 i x 2 Es muy sensible a datos atípicos. S 2 I f ( x i i i 1 Datos agrupados x) 2 Desviación típica (S): es la raíz cuadrada de la varianza. Coeficiente de variación (CV): CV S x Es una medida adimensional. S 2 S Número de transparencia: 39

40 altura Peso Medidas de dispersión: asociadas a la media Número de transparencia: 4 Ejemplo La siguiente tabla contiene la altura y el peso de 13 individuos. Altura 1 xa ( ) cm S A ( )... ( ) cm Peso 1 xp ( ) 66.2 Kg SP ( )... ( ) Kg Qué conjunto está más disperso en torno a la media? No podemos comparar las varianzas puesto que están dadas en unidades distintas. Por ello necesitamos una medida adimensional: el coeficiente de variación. CV CV A P.6.17

41 Medidas de dispersión asociadas a la mediana Rango Intercuartílico (RI): la diferencia entre el cuartil superior y el cuartil inferior. RI=Q 3 -Q 1 Box-and-Whisker Plot retraso Número de transparencia: 41

42 Medidas de forma coeficiente de simetría Coeficiente de asimetría CA ( x n i S 3 x 3 ) 4,4,16 3,3,12 2,2,8 1,1,4,2,4,6, CA< CA= CA> Número de transparencia: 42

43 Medidas de forma coeficiente de apuntamiento Coeficiente de Apuntamiento o curtosis CAp ( x i n S 4 x) 4 3,8,6 C. Ap = C. Ap < C. Ap >,4,2 Número de transparencia: x

44 Robustez Qué medida de centralización representa mejor los datos: la media o la mediana? 4 3,4,3,16,12 x 2,2,8 1,1,4 x m e,2,4,6,8 1 x m e m e x Cuando la distribución de los datos es simétrica, la media y la mediana coinciden. Cuando la distribución de los datos es asimétrica, la media tiende a desplazarse hacia los datos extremos de las colas. No representa adecuadamente el conjunto de datos. En caso de distribuciones asimétricas, la mediana representa mejor el conjunto de datos. Número de transparencia: 44

45 frequency frequency Robustez A continuación se observan el histograma y diagrama de caja de los ingresos anuales de 1 individuos que trabajan en la cadena de producción de una organización. Summary Statistics par ingresos Count = 1 Average = 1775,3 Median = 17773,1 Variance = , Standard deviation = 948,445 Minimum = 15287,9 Maximum = 2634,1 Range = 5346,2 Lower quartile = 1713,1 Upper quartile = 18377,7 Interquartile range = 1247, (X 1 ) Box-and-Whisker Plot (X 1) RAND1 Supongamos que introducimos un dato más: los ingresos del director general de la compañía (25 ). La mediana no ha variado. La media se ha visto muy Summary Statistics for Ingresos - con director Count = 11 Average = 249,8 Median = 17785,9 Variance = 5,34949E8 Standard deviation = 23129, Minimum = 15287,9 Maximum = 25, Range = , Lower quartile = 17132,6 Upper quartile = 18396,2 Número Interquartile de transparencia: range 45= 1263,6 1 Box-and-Whisker Plot influenciada, pasando a ser un valor poco significativo,4,8 1,2 1,6 2 (X 1) (X 1 )

46 Robustez La media representa adecuadamente el conjunto de datos cuando la distribución es homogénea (simétrica y sin datos atípicos).,4,3,2, Número de transparencia: 46

47 Percentil Percentil de orden X, se define como el valor que divide un conjunto ordenado de datos estadísticos de forma que el porcentaje de tales datos inferior a dicho valor es del X%. Ejemplo: En el caso de los bebés, el percentil se utiliza para hacer una valoración del crecimiento del recién nacido. Cuando nos dicen que nuestro hijo está en el percentil 25 del peso significa que, de cada 1 bebés, 75 pesan más que nuestro hijo. Número de transparencia: 47

48 Estadística Descriptiva. Índice Introducción. Tipos de datos. Tabla de frecuencias. Análisis gráficos. Variables cualitativas: Diagrama de barras, diagrama de tarta o pastel. Diagrama de Pareto. Variables cuantitativas: Transversales: histograma, diagrama de caja. Temporales: gráfico de la serie. Medidas analíticas: Medidas de centralización: media, mediana. Medidas de dispersión: varianza, desviación típica, coeficiente de variación, rango intercuartílico. Medidas de forma: coeficiente de asimetría y coeficiente de curtosis. Cuartiles, percentiles. Transformaciones. Dos variables. Número de transparencia: 48

49 Transformaciones En algunas ocasiones, es útil transformar los datos o expresarlos en otras unidades: Transformaciones lineales: Y=a+bX. Transformaciones no lineales: Y=Log X. Y=X a. Número de transparencia: 49

50 Transformaciones lineales Y= a + b X Box-and-Whisker Plot Box-and-Whisker Plot Celsius Fahrenheit= *Celsius Número de transparencia: 5

51 Transformaciones lineales La transformación lineal más importante es la tipificación: y i Expresa el número de desviaciones que cada dato dista de la media. x Es útil para comparar individuos de poblaciones diferentes, por ejemplo: Se observa un perro que pesa 18 kgs. Y un gato que pesa 5. Cuál pesa más dentro de los de su especie? Los perros en media pesan 15 kgs, con una desviación típica de 3 kgs, y los gatos pesan en media 3 kilos, con una desviación típica de.5 kilos. i s X x Número de transparencia: 51

52 frequency frequency Transformaciones no lineales Dentro de las transformaciones no lineales, destacan las transformaciones utilizadas para conseguir simetría. Y = log X ó Y=X a ,1 1,5 1,9 2,3 2,7 3,1 3,5 X Y = log X Número de transparencia: 52

53 Estadística Descriptiva. Índice Introducción. Tipos de datos. Tabla de frecuencias. Análisis gráficos. Variables cualitativas: Diagrama de barras, diagrama de tarta o pastel. Diagrama de Pareto. Variables cuantitativas: Transversales: histograma, diagrama de caja. Temporales: gráfico de la serie. Medidas analíticas: Medidas de centralización: media, mediana. Medidas de dispersión: varianza, desviación típica, coeficiente de variación, rango intercuartílico. Medidas de forma: coeficiente de asimetría y coeficiente de curtosis. Cuartiles, percentiles. Transformaciones. Dos variables. Número de transparencia: 53

54 energi a Diagrama de dispersión La representación gráfica más útil para dos variables continuas es el diagrama de dispersión. Se representa cada individuo mediante un punto en el plano cartesiano. Ejemplo: se quiere estudiar la relación entre la velocidad del viento y la energía producida por una central eólica. Velocidad Energia 5 1, ,822 3,4 1,57 2,7,5 1 2,236 9,7 2,386 9,55 2,294 3,5,558 8,15 2,16 6,2 1,866 2,9,653 6,35 1,93 4,6 1,562 5,8 1,737 7,4 2,88 3,6 1,137 7,85 2,179 8,8 2, ,8 5,45 1,51 9,1 2,33 1,2 2,31 4,1 1,194 3,95 1,144 2,45,123 2,4 2 1,6 1,2,8,4 Energía =.5 Velocidad = Velocidad_viento Número de transparencia: 54

55 Diagrama de dispersión Número de transparencia: 55

56 Medidas de dependencia lineal Las medidas más utilizadas para cuantificar el grado y el sentido de la dependencia lineal son: Covarianza. Correlación. Covarianza: Correlación: S XY 1 n n i 1 ( x i x)( y i y) r XY S XY S S Y Y Número de transparencia: 56

57 Correlación Propiedades de la correlación: -1 r xy 1. Se dice que las variables son incorreladas si r xy =. Si existe relación lineal perfecta (Y=a+bX): r xy =1 (si b>) o r xy =-1 (si b<). Cuanto más cerca esté r xy de 1 ó -1, mayor será el grado de relación lineal. Observación: r xy = no implica independencia. Número de transparencia: 57

58 Correlación Correlation Coefficient = -, Correlation Coefficient =, Correlation Coefficient =,34985 Correlation Coefficient =, Número de transparencia: 58

59 Diagrama de dispersión múltiple Cuando tenemos muchas variables es latoso realizar todos los diagramas de dispersión necesarios para ver la relación entre cada par de variables. Los gráficos de dispersión múltiple hacen de golpe todos los gráficos. Ejemplo: gráfico de dispersión múltiple de 7 variables observadas en países del mundo. Número de transparencia: 59

60 Estudio conjunto: cualitativa / cuantitativa Se realiza el análisis de la variable cuantitativa en cada una de las poblaciones definidas por la variable cuantitativa. Y se comparan ambos análisis. El grafico más útil para realizar este análisis es el diagrama de caja múltiple. Ejemplo: en 1 amortiguadores se observa: la resistencia, el proveedor. Tipo_a mortigua dor= Tipo_a mortigua dor= 1 Box-and-Whisker Plot resistencia Summary Statistics for resistencia Tipo_amortiguador= Tipo_amortiguador= Count Average 24, ,9461 Median 24, ,981 Variance, ,2343 Standard deviation, ,1165 Minimum 22,217 21,8718 Maximum 28,187 28,254 Range 6,87 6,3786 Lower quartile 24, ,2126 Upper quartile 25, ,6126 Interquartile range 1,2981 1,4 Coeff. of variation 3,98128% 4,5534% Número de transparencia: 6

61 Estudio conjunto de cualitativa-cuantitativa Gasto anual en educación. Box-and-Whisker Plot Summary Statistics for GTINE Count = 15 Average = , Median = 25587, Standard deviation = , Minimum = 33713,2 Maximum = 93, Lower quartile = , Upper quartile = 3543, Skewness = 1, Kurtosis = 4, Coeff. of variation = 56,7962% (X 1) GTINE Número de transparencia: 61

62 Estudios Estudio conjunto cualitativa-cuantitativa Gasto anual en educación según el nivel de estudio (estudios primarios, estudios secundarios, estudios superiores). Box-and-Whisker Plot (X 1) GTINE Summary Statistics for GTINE Estudios Count Average Median Standard deviation , , 783, , 24845, 62997, , , , Total , 25587, , Número de transparencia: 62