p = p 2 r 1 r r A = p 3

Transcripción

1 Unidad 5 Transformaciones 5. Introducción Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P, P, P3 y P, y a los materiales por R, R y R3. La tabla siguiente muestra el número de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar una unidad de cada producto. tomado de: S., Stanley I. G. Álgebra lineal, 7th Edition. McGraw-Hill Interamericana,. VitalBook file. P P P 3 P R 3 R R Surge la pregunta: si se producen cierto número de cada producto, cuántas unidades de cada material se requieren?. Si p, p, p y p son el número de productos que se van a fabricar y r, r, r 3 el número de unidades requeridos de cada cada material, se puede definir: p p p p 3 r r r A 3 r p Por ejemplo, si p 3, cuántas unidades de cada material se requieren? 5 Para r , pero de manera mas general se tiene que: p 3 p r p r r p 3 o sea Ap r Esto permite ver la ecuación matricial de una manera diferente a como lo hicimos en sistemas de ecuaciones lineales.

2 5.. TRANSFORMACIONES Si p es el vector de producción y r el vector de materia prima, se define la función T por r T (p) Ap. Esto es, T es la función que transforma el vector de producción en el vector de materia prima y se realiza por medio de una multiplicación ordinaria de matrices. Como se verá mas adelante, esto es una transformación lineal. 5. Transformaciones Una transformación (o función) T de R n en R m es una regla que asigna a cada vector x de R n un vector T (x) en R m. El conjunto R n se llama el dominio de T y R m se llama el codominio de T. Se usa la notación T : R n R m. Para x en el dominio (R u ), el vector T (x) en el codominio (R m ) es la imagen de x (bajo la acción de T ). El conjunto de todas las imágenes T (x) es el rango de T. Repasar el ejemplo, sección.8 de Lay. 5.3 Transformaciones Lineales En esta sección se estudia un tipo de transformaciones, las transformaciones lineales (son las que vamos a utilizar mas adelante). Una transformación lineal L de R n en R m (L : R n R m ) es una función que asigna a cada vector u de R n un único vector L(u) en R m, de modo que:. L(u + v) L(u) + L(v) para cada u y v en R n.. L(ku) kl(u), para cada u en R n y cada escalar k. Ejemplo. Sea L : R 3 R definida como a L b c [ ] a + b + c para determinar si L es una transformación lineal, usemos dos vectores en el dominio u u u u 3 Gilberto Aguilar Miranda y v v v v 3

3 UNIDAD 5. TRANSFORMACIONES Probar la propiedad T (u + v) T (u) + T (v), determinamos u v u + v u + v u + v u + v u 3 v 3 u 3 + v 3 y la imagen de u + v [ ] [ ] (u L(u + v) + v ) + u + v + (u + v ) + (u 3 + v 3 ) u + v + u 3 + v 3 Ahora la imagen de u y de v L(u) L(v) y por último su suma L(u) + L(v) [ ] u + u + u 3 [ ] v + v + v 3 [ ] [ ] (u + ) + (v + ) u + v + (u + u 3 ) + (v + v 3 ) u + v + u 3 + v 3 Se observa que L(u + v) L(u) + L(v), por lo que la transformación es no lineal. Que el alumno verifique ejercicios de matrices lineales. 5. Transformaciones Matriciales Si A es una matriz de m n y x un n-vector, el producto Ax es un m-vector. Entonces, Ax b define una función f que asigna a cada vector x de R n un vector b de R m. O de otra manera: dame un vector x en R n y se daré un vector b en R m La función se denota por f : R n R m y se define por Ax. A esta función se le llama transformación matricial. Al vector f(x) se le denomina la imagen de x. Es decir, la matriz A representa una función con dominio en R n e imagen en R m. Ejemplo: Sea f la transformación matricial definida por la matriz [ ] A 3 o sea que, x es un -vector y su imagen f(x) es también un -vector. [ ] La imagen de es ([ [ [ ] [ f ]) 3 ] 5] Gilberto Aguilar Miranda 3

4 5.5. TRANSFORMACIONES EN CREACIÓN DE GRÁFICAS POR COMPUTADORA Ejemplo: [ ] Sea A y la transformación matricial f(x) Ax, entonces, x es un 3-vector y su imagen f(x) es un -vector. La imagen de es f [ Las transformaciones matriciales son lineales ] [ ] Una transformación matricial es una transformación lineal. Suponer una transformación matricial L : R n R m definida por la matriz A de m n y los vectores u y v en Rn, de manera que Utilizando las propiedades de las matrices se tiene L(u) Au, y L(v) Av L(u + v) A(u + v) Au + Av L(u) + L(v) L(ku) A(ku) kau kl(u) Entonces, una transformación matricial cumple con las dos propiedades que deben tener las transformaciones lineales. O sea que las transformaciones definidas por una matriz son transformaciones lineales. 5.5 Transformaciones en creación de gráficas por computadora Para transformaciones matriciales en donde m y n son o 3, se pueden hacer representaciones gráficas que representen los efectos de la transformación matricial. Algunas de ellas son: reflexión, dilatación, contracción, rotación y proyección. La matriz que define una transformación de reflexión respecto del eje x es [ ] La matriz que define una transformación de contracción/dilatación es [ ] r r donde, si < r < es una transformación de contracción, y si r > es una transformación de dilatación. La matriz que define una transformación de rotación en un ángulo θ es [ cos θ ] senθ senθ cos θ Ejemplo: Definir un triángulo por medio de sus vértices y hacer algunas transformaciones representando el efecto de la transformación en una figura (auxiliarse con winplot). Triangulo con vértices en (3,), (,), (5,) y un ángulo de 6 grados (π/3 radianes). La matriz de la transformación es [ ] [ cos(π/3) sen(π/3) A ] 3 sen(π/3) cos(π/3) Gilberto Aguilar Miranda 3

5 UNIDAD 5. TRANSFORMACIONES Ahora la imagen de cada vértice del triángulo. [ [ [ ] [3 ] [ ] [ ] [ ] [5 ] [ ] ] Posiblemente hacer algunas transformaciones compuestas. ] [ ] [ ] [ ] Transformaciones uno a uno Se definen algunos tipos especiales de transformaciones lineales: transformación uno a uno (inyectiva) y transformación sobre (sobreinyectiva). Una transformación lineal L : R n R m es uno a uno si para todo par de vectores de R n, v v implica que L(v ) L(v ) La determinación de si una transformación lineal es uno a uno, se puede realizar por medio de la dimensión del núcleo de la transformación. Para determinar si una transformación el sobre-inyectiva, se determina la imagen de la transformación. Núcleo de una Transformación El núcleo de una transformación L : R n R m es el subconjunto de R n que consta de todos los vectores v tales que la imagen de v es el vector nulo, o sea, L(v), y se denota por núcleo(l). Ejemplo. Si L : R R se define como x [ ] L y x + y z z + w w Gilberto Aguilar Miranda 5

6 5.7. TRANSFORMACIÓN SOBRE Para determinar los vectores que forman el núcleo, se iguala la imagen con el vector nulo, o sea, [ ] [ x + y z + w ] y se resuelve el sistema de ecuaciones lineales resultante x + y z + w Este sistema tiene como solución (comprobarlo); x r; y r; z s y w s. Entonces el vector genérico del núcleo es x r y z r s r + s w s El conjunto de los vectores del núcleo son un subespacio de R de dimensión. Una base para el núcleo es, El análisis de los elementos del núcleo nos permite determinar si la transformación es o no es uno a uno. Si el núcleo está formado solo por vector nulo, la transformación es uno a uno, o sea nucleo(l) Si el núcleo contiene a otros además de al vector nulo, significa que los varios vectores tienen la misma imagen ( el vector nulo), y por lo tanto, de acuerdo a la definición la transformación no es uno a uno. Como conclusión, si la dimensión del núcleo es mayor o igual a uno, la transformación no es uno a uno. A la dimensión del núcleo de una transformación se le llama también la nulidad de la transformación. 5.7 Transformación sobre Se dice que una transformación T es sobre R m si cada vector b del codominio es la imagen de al menos un vector x del dominio. Esta definición implica que al menos debe haber una solución para T (x) b, o sea, el rango de T es el codominio. Gilberto Aguilar Miranda 6

7 UNIDAD 5. TRANSFORMACIONES Si la dimensión del rango es la misma que la delcodominio, entonces el rango y el codominio son el mismo espacio y la transformación es sobre. O sea que la dimensión del rango se puede utilizar para determinar si una transformación es sobre o no. Rango de una transformación Para la transformación T : R n R m, al conjunto de vectores w en R m que son imágenes bajo la transformación T, se le conoce como el rango de T, y se denota por rango(t ). Por lo anterior, un vector b está en rango(t ) si existe un vector x en R n tal que T (x) b. Ejemplo: Sea L : R n R m la transformación lineal definida por L a a a 3 a + a 3 a + a a a 3 a + a 3 Todo vector de la imagen(l) es de la forma a + a que puede escribirse como una combinación lineal a a 3 a + a + a 3 Entonces, los vectores,, forman un conjunto generador de imagen(l). Una base para la imagen(l) es (comprobarlo), La dimensión de la imagen es, y la dimensión del codominio es 3, por lo tanto, la transformación no es sobre-inyectiva Matriz de una transformación lineal La matriz de una transformación lineal se obtiene a partir de la imagen de los vectores de una base del dominio. Ejemplo: Para la transformación L : R 3 R, definida por L x y z [ ] x + y z La matriz de la transformación respecto a la base estándar (canónica) se forma con la imagen de los Gilberto Aguilar Miranda 7

8 5.7. TRANSFORMACIÓN SOBRE vectores de la base de R 3 L L L [ ] [ ] [ ] La matriz de la transformación es [ ] De manera, que la transformación se puede definir como L x [ ] y x y z z Por ejemplo, la imagen del vector [, 5, ] T Nota, comprobar con la definición. L 5 [ ] 5 [ ] 3 8 Ejercicio: Determinar la matriz estándar de la transformación lineal x x x + 5x 3 L x x + 3x 3 x 3 x + x x 3 Investigación Inversa de una transformación lineal. Bases no estandar y espacios vectoriales en general Se considera el problema de determinar la matriz para una transformación lineal L : V W, donde B y B son bases para V y W respectivamente. Para esto, la transformación se define en función de los vectores de coordenadas respecto a las bases B (para vectores del dominio) y B para la imagen. Si v es un vector en V, [L(v)] B A[v] B Las columnas de la matriz A de la transformación corresponden a los vectores de coordenadas de la imagen de los vectores de la base del dominio (B). Gilberto Aguilar Miranda 8

9 UNIDAD 5. TRANSFORMACIONES Ejemplo Determinar la matriz de la transformación L : R R 3 definida como ([ x L y]) x + y x y para las bases B {(, ), (.)} y B {(,, ), (,, ), (,, )}. La base para el dominio es B {(, ), (.)} y la imagen de ellos es ([ L ]) ([ L ]) Ahora determinar sus vectores de coordenadas (,, ) c (,, ) + c (,, ) + c 3 (,, ) (,, ) b (,, ) + b (,, ) + b 3 (,, ) La solución de ambos sistemas (tiene la misma matriz de coeficientes) se obtiene con Gauss-Jordan de La matriz A de la transformación según las bases B y B es A Para el vector vector v (5, ), su matriz de coordenadas (respecto a la base del dominio B) se obtiene Por lo que (5, ) d (, ) + d (, ) 5(, ) + 9(, ) [ 5 [v] B 9] Por lo que (con la matriz de transición) [L(v)] B [ 5 5 9] La imagen de v se obtiene de (usando la base del codominio B ) L(v) 5(,, ) + (,, ) (9, 5, ) Lectura Importancia de las transformaciones lineales, pag 355, Gareth Williams. Ejercicio para clase/casa. Ejercicio 7.. (o ), pag. 36, Gareth Williams. Gilberto Aguilar Miranda 9

10 5.7. TRANSFORMACIÓN SOBRE Composición de transformaciones lineales La composición L, de L : R n R m con L : R m R p se define como L(v) L (L (v)), donde v es un vector en R n. Esta composición de denota por L L L Si las transformaciones son matriciales definidas por A para L y A para L, la matriz de la transformación compuesta L es el producto A A A. Ejercicio: Sean L y L transformaciones lineales tales que L x x + y y, z x + z x x y L y z z y Determinar la matriz estándar de la transformación compuesta L L L Ejercicio: Determinar la matriz de la transformación para girar un punto en el plano un ángulo θ sobre el punto de referencia de coordenadas (a, b). Utilizar coordenadas homogéneas. La transformación de rotación R(θ) : R 3 R 3 en coordenadas homogéneas está definida por la matriz : cos θ sin θ A R (θ) sin θ cosθ La transformación de traslación T (x, y ) : R 3 R 3 en coordenadas homogéneas está definida por la matriz A T (x, y ) x y Para realizar la rotación se requiere: trasladar el punto de rotación al origen, girar el ángulo, regresar el punto de rotación a su posición original, la transformación compuesta para realizar esto es: T ( a, b) R(θ) T (a, b) La transformación compuesta en forma matricial es a cos θ sin θ a A T ( a, b) A R (θ) A T (a, b) b sin θ cos θ b cos θ sin θ a ( cos θ) + b sin θ sin θ cos θ b ( cos θ) a sin θ Para un triángulo con vértices (,3), (5,5) y (,), obtener los vértices del triangulo girado 5 sobre el vértice (,3). La transformación compuesta requerida es A T (, 3) A R (5 ) A T (, 3) Gilberto Aguilar Miranda

11 UNIDAD 5. TRANSFORMACIONES y la matriz correspondiente cos 5 sin 5 () ( cos 5 ) + (3) sin 5 A sin 5 cos 5 (3) ( cos 5 ) () sin 5 / / + / / 3 Ahora, las coordenadas de los vértices del triángulo A 3 3 A A + 3. Gilberto Aguilar Miranda