r = r + a O O y r y r son los vectores de posición de los puntos de la distribución con respecto a cada uno de los orígenes.

Transcripción

1 Problemas 5-1. Demuestre: a) Que si la carga total Q de una distribución es nula, el momento dipolar no depende del origen. b) Que si Q = 0 y p = 0, el momento cuadripolar tampoco depende del origen. a) Consideremos los orígenes O y O, tales que r = r + a donde a = O O y r y r son los vectores de posición de los puntos de la distribución con respecto a cada uno de los orígenes. b) Se deja como ejercicio. p = ( r + a)ρdv = p + Q a V }{{} = Demuestre que el momento dipolar de una distribución de carga, cuya carga total es nula, es igual a p = q d, donde d es la distancia del centro de la carga positiva al de la carga negativa y q es la carga positiva total. Aplíquelo al caso de una distribución en la que una carga q está distribuida uniformemente sobre una esfera de radio a y otra q distribuida uniformemente sobre un disco de radio a cuyo centro es tangente a la esfera. Téngase en cuenta que el centro de carga de una distribución se define de la misma forma que el centro de masa. Suponga que sobre el volumen V las cargas positivas se distribuyen con una densidad ρ + y las negativas con ρ. r + = 1 q V r ρ + dv, r = 1 q V r ρ dv 5-3. Halle, mediante integración directa, el primer momento multipolar significativo de las distribuciones puntuales de carga del problema 1-3. Deduca previamente, por inspección, cual será, en cada caso, el primer momento no nulo Una esfera de radio a está dividida en dos casquetes hemisféricos con densidades superficiales de carga ± ρ s uniformes. Halle el campo eléctrico producido en un punto r lejano, es decir, tal que r >> a.

2 Dos coronas circulares idénticas, con densidades superficiales de carga ±ρ s uniformes, de radio interior a y exterior b, están situadas coaxialmente y a una distancia mutua d. Halle: a) El campo eléctrico producido en un punto de su eje para distancias r >> b. Haga las aproximaciones pertinentes a partir de valor exacto del campo. b) La aproximación dipolar del campo para cualquier punto del espacio y, en particular, para los puntos del eje Halle el potencial producido a una distancia r >> a por la siguiente distribución de carga: ρ s0 para x > 0 En la región x 2 + y 2 a 2, ρ s = ρ s0 para x < Dada una distribución de carga con momento monopolar nulo y dipolar distinto de cero, halle: a) El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada arbitraria. b) Compruebe lo anterior por integración directa a través de una superficie esférica de radio r >> r max Demuestre que el potencial cuadripolar debido a la asociación de dipolos de la figura 5.16 es: 1 [ V c = 4π ε 0 r 3 3 ( p r)( d r) p d) ] d p -p Figura 5.16: Podemos realiar la demostración haciendo uso de la fórmula donde V c ( r) = [ V d ( r, r ) ] r =0 d V d ( R) = 1 1 p R 4πε 0 R3

3 194 es el potencial producido por un dipolo situado en r. Teniendo en cuenta que = R, R = ê i R i, debemos calcular ( ) 1 R p R = 1 ( R3 R 3 R p R ) ( ) + ( p R) 1 R R 3 para ésto podemos hacer uso de la fórmula de desarrollo de ( a b), teniendo en cuenta que p = cte y r = 0, y de la expresión de (f(u)). Así, por ejemplo R ( p R) = ( p R ) R = p i Aunque, de forma directa R i (R j ê j ) = p i δ ij ê j = p R ( p R) = ê i R i (p j R j ) = ê i p j δ ij = p 5-9. Demuestre que cuando el campo con que interacciona un dipolo es el de otro dipolo, la energía de interacción es [ 1 W pp = 4πε 0 r 3 p 1 p 2 3( p ] 1 r)( p 2 r) r 2 Determine las condiciones bajo las cuales esta energía es máxima o mínima (r = cte) Halle los momentos monopolar, dipolar y cuadripolar de un segmento de línea, de longitud l, uniformemente cargado con una densidad lineal ρ l. Colóquelo sobre el eje y con un extremo en el origen. El momento monopolar es y el dipolar 7 Q = ρ l l l p = ρ l d = 1 2 Ql ẑ Los momentos cuadripolares son Q ij = 0 para 1 j y 0 Q xx = ρ l l 0 2 d = 1 3 Ql2 Q yy = Q xx, Q = 2 Q xx 7 Vea el problema 5-2.

4 Se define como polariabilidad de una molécula a la constante de proporcionalidad α entre el momento dipolar eléctrico de la misma y el campo aplicado; p = α E. Suponga que un átomo no polar está constituido por una nube electrónica, de densidad uniforme ρ 0, radio a 0 y carga total Z e, que rodea a un núcleo puntual de carga +Z e. Halle la polariabilidad para campos uniformes y pequeños, tales que la separación de los centros de carga positiva y negativa δ x << a 0. Ésto nos permite suponer que la deformación de la nube electrónica, en presencia del campo, es despreciable. Suponga que el átomo es de hidrógeno y calcule δx a 0 para E = 1MV m 1. Tome a 0 = 1 o A. -Ze E Q( δ x) Ze F - δ x Ze F E a 0 -Ze (a) (b) Figura 5.17: La figura 5.17a muestra al átomo en ausencia de campo eléctrico. Los centros de carga positivo y negativo coinciden y, por lo tanto, el momento dipolar resultante es nulo. Al aplicar el campo eléctrico, el nucleo se desplaa hacia la derecha y la nube electrónica lo hace en sentido contrario. En equilibrio, el núcleo se halla sometido a dos fueras iguales y contrarias: la debida al campo aplicado F E y la F de la carga negativa encerrada en la esfera de radio δx. F E = Z ee F = Z ee (δx) = Z e Q(δx) 4π ε 0 δx 2 = (Z e)2 δx 4π ε 0 a 3 0 Igualando los módulos de las dos fueras p = Z eδx = 4π ε 0 a 3 0 E

5 196 α = 4π ε 0 a Para el átomo no polar cuyo modelo acabamos de describir, halle: a) Si es atraído o repelido por una carga puntual externa. b) Cuál es el momento dipolar inducido por dicha carga en el átomo? c) El valor cuantitativo de la fuera de interacción. d) La representación gráfica del potencial de interacción Sea una partícula esférica, de radio a, con la masa M distribuida uniformemente en su volumen y la carga q distribuida uniformemente sobre su superficie. Halle la raón giromagnética de la misma cuando gira con velocidad angular uniforme ω = ω ẑ alrededor de un eje diametral. Podría este modelo corresponder a un electrón? ^ ^ r θ y x ρ^ Figura 5.18: Dado que la carga está distribuida uniformemente sobre la superficie, el momento dipolar magnético es m = 1 2 ρ S r u ds, ρ = q 4π a 2, ds = a 2 sen θ dθ dϕ Al estar la masa distribuida uniformemente sobre el volumen, el momento angular es

6 197 L = ρ M V r u dv, ρ M = 3 M 4π a 3, dv = r 2 sen θ dr dθ dϕ Estas integrales tienen un mismo integrando que descompondremos en las direcciones de los vectores unitarios cilíndricos ẑ y ρ. De acuerdo con la figura 5.18 y r = sen θ ρ + cosθ ẑ r u = ω r 2 r (ẑ r) = ω r 2 (sen 2 θ ẑ + cosθ sen θ ρ ) }{{} (A) La integral de la componente radial (A) es nula porque la distribución es simétrica con respecto al eje, por lo que solo queda la componente De forma análoga m = 1 3 q a2 ω ẑ L = 2 5 M a2 ω ẑ La raón giromagnética y el factor de Landé son Γ = m L = 5 3 q 2m, g = 5 3 que no corresponden al spin del electrón Demuestre que, en general, V j dv = p t ( Repase la teoría del desarrollo multipolar para el caso particular de corrientes estacionarias) Sean dos espiras idénticas, de radio a r y recorridas por una intensidad I. La primera está situada en el origen y orientada según ẑ. Halle la fuera que ésta ejerce sobre la segunda si está situada en una posición (r, θ) y puede orientarse libremente Un solenoide, de longitud L y radio a, está constituido por un número grande de espiras N, uniformemente distribuidas y recorridas por una intensidad I. En el eje del solenoide se encuentra un pequeño imán cuyo momento magnético es m.

7 198 a) Cacule el par mínimo y máximo que experimenta el imán cuando se encuentra situado en el centro del solenoide y puede girarse alrededor de un eje perpendicular al del solenoide. b) Represente al campo magnético, la fuera que actúa sobre el imán y su energía potencial, a lo largo del eje del solenoide si el imán puede orientarse libremente. c) Describa, apoyándose en la gráfica anterior, el movimento del imán después de soltarlo en uno de sus extremos. Considere el caso ideal, sin roamiento, y el real. d) Compare el movimiento del iman con el de la carga en una botella magn-etica, señale las diferencias y explíquelas. I a R =-L/2 =L/2 Figura 5.19: Sólo trataremos el cálculo del campo y el apartado (b) Para calcular el campo producido por el solenoide en un punto de su eje, calcularemos primero el que una espira situada en un punto cualquiera produce en el punto. En la figura 5.19 éste se situa en el intervalo L 2 L 2. Este campo es donde B 1 = µ 0 I 4π R 3 L dl R dl = a dϕ ϕ, R = a ρ + ( )ẑ, R = a 2 + ( ) 2 Dada la simetría del problema, la componente radial del campo se anula, quedando únicamente la longitudinal

8 199 B 1 = B 1 ẑ, B 1 = 1 2 µ 0 I a 2 1 (a 2 + ( ) 2 ) 3/2 Para obtener el campo total en, debemos sumar las contribuciones de todas las espiras Teniendo en cuenta que B = 1 2 µ 0 I a 2 L/2 L/2 dx (1+x 2 ) 3/2 = n d (a 2 + ( ) 2 ) 3/2 x 1+x 2 B = 1 L 2 µ 0 n I 2 a L ( L2 )2 a 2 + ( L 2 + )2 Para el cálculo de la energía potencial y de la fuera, haremos uso de las expresiones El cálculo de la energía potencial y la fuera, así como las representaciones gráficas las realiaremos con Mathemática. Gráficas con Mathematica solenoide iman.nb: Normaliamos B 1 para que B 1 ( = ) = 1. B1 = 1 ; (1 + x 2 ) 3 2 Al campo total lo normaliamos de manera que (B ) max = 1 B = B = B1dx B B/. 0 ; Tomamos m = 1 para la energía potencial W p y la fuera F. Wp = B; F = B En la figura 5.20 representamos al campo en rojo, a la energía en aul y a la fuera en verde. Se marca con una línea horiontal la energía potencial máxima del imán en el movimiento prescrito en el apartado (c) y con líneas verticales los límites del mismo.

9 Figura 5.20: Plot[{B,Wp,F}, {, 1,1}, PlotStyle {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1], RGBColor[0, 1, 0]}, GridLines {{ 0.5,0.5}, {Wp/. 0.5}}]; Determine el potencial magnético escalar y, a partir de éste, el campo producido en su eje por una espira circular de radio a recorrida por una intensidad I. Debemos determinar el campo mediante donde B = µ 0 U d U d ( r) = IΩ 4π Luego hay que calcular el ángulo sólido con que la espira, figura 5.21, se ve desde el punto. Dado el sentido de la intensidad elegido para recorrer la espira, la normal hacia afuera de la esfera centrada en es n r = n y el ángulo sólido es negativo. 2π θ=θ0 Ω = dϕ ϕ=0 θ=0 De la figura se deduce que sen θ dθ = 2π [cosθ] θ 0 0 = 2π (cosθ 0 1) cosθ 0 = a por lo que

10 201 R θ 0 n a n r Figura 5.21: B() = 1 2 µ 0 I d d ( ) a resultado que debe coincidir con el obtenido en el problema Calcule el campo magnético producido por la espira de la figura 5.22 en un punto lejano. ^ -a I y^ x^ a I -a Figura 5.22: