SIMULACION. Formulación de modelos: solución obtenida de manera analítica

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1 SIMULACION Formulación de modelos: solución obtenida de manera analítica Modelos analíticos: suposiciones simplificatorias, sus soluciones son inadecuadas para ponerlas en práctica. Simulación: Imitar o simular la operación de un proceso o sistema complejo a medida que evoluciona en el tiempo. Proceso de simulación: Ejecutar un modelo a través del tiempo (en una computadora) para generar muestras representativas de las medidas de desempeño. Ventajas: los métodos son más fáciles de aplicar que los métodos analíticos. Se puede utilizar varias veces para analizar diferentes políticas, parámetros o diseños. Se utiliza para responder a la pregunta que pasa si

2 Sistema estocástico: sistema que evoluciona con el tiempo de acuerdo con una distribución de probabilidad (sistemas de colas) La simulación imita la operación de este sistema mediante el uso de distribuciones de probabilidad correspondientes para generar en forma aleatoria los diversos eventos que ocurren en el sistema (llegadas y terminaciones de servicio) Se utiliza cuando el sistema estocástico es demasiado complejo para analizarlo en forma satisfactoria con modelos matemáticos.

3 Juego: Lanzar monedas Reglas: 1) cada jugada del juego implica lanzar una moneda al aire hasta que la diferencia entre el número de caras y cruces es tres. 2) Cada vez que lanza la moneda debe pagar $1 3) Cuando termina la jugada recibe $8. Se gana dinero si el numero de veces que lanza la moneda es menor que ocho, pero pierde dinero si la lanza mas de ocho. Por ejemplo: H cara, T cruz HHH gana $5 THTTT gana $3 THHTHTHTTTT pierde $3 Como nos decidimos a jugar el juego?

4 Generación de números aleatorios: Un número es un número aleatorio entre 0 y 1 si se generó de modo tal que cada número posible en ese intervalo tiene la misma oportunidad de ocurrir. Ejemplo: y cada uno de los números tiene la misma oportunidad de ocurrir. Un número aleatorio entre 0 y 1 es una observación aleatoria de una distribución uniforme entre 0 y 1. Todos los números son igualmente probables. Tablas de números aleatorios (a partir de dispositivos físicos) Computadora: la función ALEATORIO() de Excel

5 Ejemplo: filas de espera. Distribución de tiempo de servicio: Tiempo de servicio (minutos) probabilidad Los resultados ocurren con la frecuencia especificada en las probabilidades: 35% de las veces generar un tiempo de servicio de 1 minuto, etc. El procedimiento debe ser independiente de los tiempos de servicio antes y después de el. Se puede usar una ruleta: se debe dividir en tres segmentos cada uno proporcional en área a la probabilidad en la distribución: Primer segmento: 35% del área Segundo: 40% del área Tercero: 25% del área Se hace girar y donde cae indica el tiempo de servicio generado. De esta manera se generan los tiempos de servicio con la misma frecuencia especificada en la distribución y los resultados de cada giro serán independientes se los resultados que le preceden y le siguen.

6 Si se utiliza la ruleta pero con intervalos de segmentación en vez de áreas? Suponemos que la ruleta tiene 100 números, que van de 00 a 99, y si la segmentación tiene la misma probabilidad (0.01) de aparecer. De esta manera asignaríamos: 35 números (00-34) para tiempos de servicio de 1 minuto 40 números (35-74) para 2 minutos 25 números (75-99) para 3 minutos

7 Observaciones aleatorias de distribuciones discretas. Ejemplo: filas de espera Proceso en dos pasos: 1) se elabora la distribución de probabilidad acumulada para la variable aleatoria. 2) Se usa esta distribución para asignar los números aleatorios. Tiempo entre llegadas Probabilidad Probabilidad acumulada Intervalo de números aleatorios

8 Generación de observaciones a partir de una distribución de probabilidad. Distribuciones discretas sencillas: (las variables de estado cambian solo en puntos discretos en el tiempo) Se utiliza la secuencia de números aleatorios para generar observaciones aleatorias en forma directa: Ejemplo: caso de lanzar la moneda: Los resultados posibles son cara o cruz, donde la probabilidad de cada uno es ½. Entonces se podría utilizar dígitos aleatorios para simular el resultado: (0,1,2,3,4) se asigna cara y (5,6,7,8,9) se asigna cruz. Excel: utiliza la formula =IF(ALEATORIO()<5, 1, 0). Se inserta un 1 (para indicar cara) si el número aleatorio es menor a 5. Se inserta un 0 si es mayor (para indicar cruz).

9 Variables aleatorias continuas Método de la transformada inversa: Sea X la variable aleatoria involucrada y F(x) la función de distribución acumulada. F(x) = P{X x} (probabilidad de que la variable sea menor o igual a x) 1) Generar un numero aleatorio r entre 0 y 1. 2) Establecer F(x) = r y despejar x, que es la observación aleatoria deseada que sigue la distribución de probabilidad dada. F(x) 1 r = Observacion aleatoria x

10 Observaciones aleatorias de distribuciones discretas. Ejemplo: una compañía simula el programa de mantenimiento de sus máquinas. El tiempo entre descomposturas de una de estas máquinas es siempre 4, 5 o 6 días, donde estos tiempos ocurren con probabilidades de 0.25, 0.5, y lo primero que hay que hacer es construir la siguiente tabla: Distribución de tiempos entre descomposturas (tabla de búsqueda) Probabilidad Acumulada Acumulada Numero Numero previa de días aleatorio La función BUSCARV de Excel esta diseñada para esto

11 F(x) 1 r = Dia Observacion aleatoria función BUSCARV (3 argumentos): El primero da la dirección de la celda que proporciona el número aleatorio El segundo identifica las direcciones del intervalo de celdas de la tabla de búsqueda. El tercero indica que columna de la tabla proporciona la observación aleatoria.

12 Observaciones aleatorias de distribuciones continuas Ejemplo: fila de espera. Estimar las distribuciones de probabilidad (terminaciones de servicio y llegadas de clientes). Distribución de tiempo de servicio. Ejemplo: El tiempo requerido para un corte de pelo varia entre 15 y 25 minutos. CDF Media = Duracion (minutos)

13 Observaciones aleatorias de distribuciones continuas Llegadas aleatorias de clientes: distribución exponencial con media 30 minutos. P(tiempo entre llegadas x) = 1-e x/ Media = Duracion (minutos)

14 Aplicación del Método de transformación inversa para los tiempos de servicio: la formula de F(x) es: 0 para x 15 (x-15)/10 para 15 x 25 1 para x 25 por ejemplo: el numero aleatorio r = = F(x) entonces: (x-15)/10 = (x-15) = 7.27; x = la formula de Excel seria: ALEATORIO()

15 Aplicación del Método de transformación inversa para los tiempos entre llegadas: F(x) = 1-e x/30 para x 0 Si seleccionamos el numero aleatorio r = , entonces = 1-e x/30 entonces: e x/30 = ln e x/30 = -x/30 ln = por lo que aleatoria x = 30 ( ) = es la observación La ecuación Excel para esta observación aleatoria generada por cualquier número aleatorio es: = -30 LN(ALEATORIO()) si la media no fuera 30 entonces en la formula se debe cambiar 30 por el valor de la media correspondiente.

16 Evolución del número de clientes en el sistema. Numero de Clientes en el sistema Tiempo transcurrido (minutos)

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