Física Cuántica. Sólidos II. Requerimientos previos. José Manuel López y Luis Enrique González. Universidad de Valladolid. Curso p.

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1 Física Cuántica Sólidos II. Requerimientos previos. José Manuel López y Luis Enrique González Universidad de Valladolid Curso p. 1/20

2 Red cristalina El primer dibujo de un cristal apareció en el siglo XI El 8 de junio de 1912 M. Laue presentó un trabajo titulado "Efectos de interferencia con rayos Röntgen" que puso de manifiesto dos cosas i) Los rayos X tienen naturaleza ondulatoria. ii) Los cristales esán formados por una disposición periodica de átomos. Las primeras determinaciones de estructuras cristalográficas fueron realizadas por Bragg en 1913: KCl, NaCl, KBr y KI. Una estructura cristalina es una malla tridimensional que se repite periodicamente. Curso p. 2/20

3 DESCRIPCION DE LA ES- TRUCTURA DE UN SOLIDO Para describir una red cristalina, debido a su periodicidad tridimensional unicamente es necesario describir una pequeña parte del mismo, que se repetirá periodicamente: celda unidad. Para una misma red cristalina pueden definirse una infinidad de celdas unidad. Aquellas que tienen un volúmen mínimo se denominan celdas primitivas. Curso p. 3/20

4 Ejemplo: Red cúbica simple (sc): Los puntos de la red son aquellos definidos por la relación r = a(n 1 ı + n 2 j + n 3 k) siendo n1, n 2, n 3 número enteros. Una celda unidad, que es primitiva, es un cubo de arista a, en el cual hay un punto situado en cada vertice. Cada punto de los 8 vertices se comparte por 8 cubos, por tanto hay en total 1 punto por celda unidad y el volumen es mínimo. Es la celda habitual utilizada para este tipo de red y se denomina celda convencional. Curso p. 4/20

5 Una celda unidad no primitiva podría ser un cubo de lado 2a con puntos en los vértices, en los centros de las aristas, en los centros de las caras y en el centro del cubo. Se tienen 8 vertices (compartidos entre ocho cubos), 12 aristas (compartidas entre 4 cubos), 6 caras (compartidas entre 2 cubos) y 1 centro del cubo (no compartido) dando lugar a = 8 puntos por celda. Curso p. 5/20

6 Ejemplo: Cúbica centrada en las caras (fcc): La celda convencional, que es una celda unidad no primitiva es un cubo de lado a con puntos en los vértices y en los centros de las caras. Se tienen 8 vertices (compartidos entre ocho cubos) y 6 caras (compartidas entre 2 cubos) dando lugar a = 4 puntos por celda. Curso p. 6/20

7 Una celda unidad primitiva, es paralelepípedo cuyos lados base unen un vértice del cubo de la celda convencional con los centros de las 3 caras adyacentes. Cada uno de los 8 vertices del paralelepípedo se comparte entre 8 celdas dando lugar a 1 punto por celda, (es decir es una celda primitiva). Curso p. 7/20

8 Otras redes: cúbica centrada en el cuerpo (bcc), hexagonal compacta (hcp), tetragonales, trigonales, ortorrombicas, monoclínicas y triclínicas. (Ver referencias) Celda de Wigner-Seitz: es la región del espacio que está más cerca de un determinado punto de la red que de cualquier otro (es por tanto primitiva). Se forma uniendo un punto de la red con todos sus vecinos, bisectando las lineas con planos y tomando el volúmen que queda dentro de la intersección de todos los planos. Curso p. 8/20

9 La estructura cristalina viene determinada no solo por la red sino además por el átomo, conjunto de átomos, molécula, proteina o cualquier otra unidad que coloquemos en cada punto de la red, es la denominada base, de forma que la estructura de un determinado cristal viene definida por red + base. La base puede ser un único átomo en los casos más sencillos, pero también puede ser un conjunto más o menos grande de átomos. En este caso la base se coloca en cada punto de la red con la misma geometría y orientación. Curso p. 9/20

10 Ejemplos: La estructura del diamante es una red fcc con una base formada por 2 átomos de C, uno situado en el punto correspondiente de la red y el otro desplazado a 4 ( ı + j + k). Curso p. 10/20

11 La estructura del NaCl es una red fcc con una base formada por un ión de Cl en cada punto de la red y uno de Na desplazado a 2 ( ı + j + k). La estructura del CsCl es una red cúbica simple con una base formada por un ión de Cl en cada punto de la red y uno de Cs desplazado a 2 ( ı + j + k). Curso p. 11/20

12 Además de la simetría traslacional, un sólido puede poseer otras simetrías adicionales, como reflexiones respecto a determinados planos, a determinados puntos y rotaciones de determinados angulos alrededor de determinados ejes. En concreto pueden encontrarse estructuras cristalinas con ejes de rotación de orden 1 (una rotación de ángulo 2π recupera la red original) lo cual evidentemente ocurre para todas las redes, de orden 2 (el ángulo es 2π/2), de orden 3 (2π/3), 4 y 6, pero sin embargo es imposible tener ejes de orden 5 o 7, ya que son incompatibles con la simetría traslacional ( cuasicristales). Curso p. 12/20

13 Red recíproca Es una red en el espacio de vectores de onda (espacio recíproco). Si la red en el espacio real viene determinada por 3 vectores { a 1, a 2, a 3 }, de forma que cada punto de la red real viene determinado por n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3, entonces la red recíproca está determinada por otros 3 vectores { b 1, b 2, b 3 }, de forma que cada punto de la red recíproca queda definido por m 1 b1 + m 2 b2 + m 3 b3, siendo m i Z y b1 = 2π V a 2 a 3 b2 = 2π V a 3 a 1 b3 = 2π V a 1 a 2 con V = a 1 ( a 2 a 3 ) el volumen de la celda unidad real. Curso p. 13/20

14 Si hacemos incidir una cierta radiación sobre un sólido (rayos X, neutrones, electrones,...) se observa que se produce el fenómeno de la difracción, es decir aparecen máximos en la radiación dispersada sólo en determinadas direcciones. Si el vector de onda de la radiación incidente es k 0 y el de la difractada k 1, resulta ser que los máximos se producen cuando el vector de onda de dispersión k 0 k 1 es precisamente un vector de la red recíproca. La red recíproca tambien es fundamental en el estudio de las propiedades electrónicas del sólido, como veremos a continuación. Curso p. 14/20

15 Para terminar, la celda de Wigner-Seitz correspondiente a la red recíproca se denomina primera zona de Brillouin y de nuevo es de importancia fundamental en el estudio de muchas propiedades de los sólidos: electrónicas, elásticas, etc. Curso p. 15/20

16 FISICA ESTADISTICA Consideremos un conjunto de N partículas independientes (es decir, que no interaccionan entre sí), cada una de las cuales puede ocupar uno cualquiera de un conjunto de niveles energéticos, ǫ i, que se encuentra en equilibrio termodinámico a una temperatura T. Una de las cuestiones importante en Física Estadística es describir cual es la probabilidad de que un nivel concreto de energía ǫ se encuentre ocupado. La respuesta depende de si las particulas son clásicas o son cuánticas y en este último caso si tienen spin entero o semientero. Curso p. 16/20

17 La diferencia proviene del hecho de que en el primer caso la probabilidad de que una partícula ocupe un nivel i es independiente de si ese nivel ya está ocupado por otra partícula, mientras que en caso de bosones la probabilidad aumenta si el nivel ya está ocupado (lo cual está relacionado con la simetría de la función de onda) y en el caso de fermiones la probabilidad disminuye (relacionado con la antisimetría). Curso p. 17/20

18 Se obtienen las siguientes distribuciones: Clásicas: Maxwell-Boltzman f MB (ǫ) = e (ǫ µ)/k BT 1 Bosones: Bose-Einstein f BE (ǫ) = e (ǫ µ)/k BT 1 1 Fermiones: Fermi-Dirac f FD (ǫ) = e (ǫ µ)/k BT + 1 En los tres casos la constante µ llamada potencial químico, viene determinada por el valor de N. Si el número N no es fijo (es decir, puede variar) entonces µ = 0, en caso contrario se determina mediante la condición N = i f(ǫ i). Curso p. 18/20

19 Si la exponencial es mucho mayor que 1 las tres distribuciones coinciden, por ejemplo para energías mucho mayores que el potencial químico. Sin embargo habitualmente el interés reside en los estados de menor energía y para éstos las diferencias entre las tres distribuciones son enormes. Curso p. 19/20

20 Ejemplos en sólidos: Fermiones: electrones. Bosones: fonones (cuantización de las vibraciones iónicas entorno a sus posiciones de equilibrio), cuyo número no es fijo. Ambos muestran sus efectos a nivel macroscópico. Por ejemplo el calor específico de un sólido puramente clásico sería una constante. Sin embargo se observa que a temperaturas bajas el calor específico presenta un comportamiento lineal en la temperatura (debido a los electrones) unido a un termino proporcional a T 3 (debido a los fonones). Curso p. 20/20

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