Tema 11: Integrales denidas

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1 Tem : Integrles denids My 9, 7 Denición y propieddes Denición. Si f ) es un función continu en un intervlo [, b] y denid positiv, f ), l integrl denid en ese intervlo l denimos como: f ). Si f ) > l integrl denid represent el áre encerrd entre f ), el eje OX, y ls rects verticles = y = b. El número se llm límite inferior de integrción y b límite superior, y se lee: integrl denid entre y b de l función... Propieddes. f ) =. Un line verticl no tendrá áre). Si: ) f ) y continu en [, b] f ). El áre es: f ) b) f ) y continu en [, b] f ). El áre es: f ) 3. Si c [, b] f ) = c f ) + c f ).. f ) = f ). Si intercmbimos los límites de integrción cmbi el signo. b 5. Con ls propieddes de ls integrles: ) f ) ± g )) = f ) ± g ). Integrl de l sum es l sum de ls integrles. b b) k f ) = k f ). L integrl de un número por un función es igul l número por l integrl de l función. Teorem del vlor medio que: Si f es un función continu en el intervlo [, b], eiste un punto c [, b], de modo f ) = f c) b ) Teorem fundmentl del cálculo integrl Si f es un función continu en [, b], y F es l función denid por F ) = f t) dt, entonces l función F es derivble en, b) y su derivd es F ) = f ), pr todo, b). Regl de Brrow Si f ) es un función continu en el cerrdo [, b] y F ) es un primitiv de f ), entonces: f ) = F b) F ) Esto es, pr clculr l integrl denid f ) seguimos los siguientes psos:. Clculmos l integrl indenid f ) = F ) + C. Tommos un primitiv culquier, mejor C =. 3. Utilizmos l regl de Brrow.

2 Ejemplo. Clculr l integrl denid: e Vemos que l función es continu en [, e], no hy problems ñdidos. Si no fuer continu, por ejemplo con un función denid trozos, hbrí que dividir el intervlo de integrción en intervlos donde fuer continu) Segundo. Integrmos: = Tercero. Ejemplo. Segundo. Regl de Brrow: e = = ln [ ln ] =e π Clculr l integrl denid: 5 sin ) = = ln e ln = Vemos que l función es continu en [, π], no hy problems. π Integrmos, y utilizmos Brrow: 5 sin = 5 π sin = 5 [cos ]π = 5 ) = Ejemplo 3. Clculr l integrl denid: e e ln ) Vemos que l función es continu si >, ecepto en ln = = e no hy problems en nuestro intervlo de integrción. Segundo. Integrmos: ln ). Vmos intentr el cmbio de vrible t = ln dt = = dt ln ) = Tercero. Brrow: e dt t) = e ln ) dt = ln t = ln ln t) = [ ln ln ]e e = ln ln e ) ln ln e ) = = ln ) + ln ) = ln + ln 3 = ln 3 Áre bjo un curv Pr clculr el áre comprendid entre l grác de un función f ) y el eje X en un intervlo en el que l grác prece por encim y por debjo del eje X, es necesrio hllr cd áre por seprdo. Si está por debjo l integrl será negtiv, y pr evitr esto el áre es positiv) se tom vlor bsoluto de tod l integrl. Relmente, si nos dn los límites de integrción, no necesitmos sber si l grác está por encim o por debjo del eje, simplemente tommos vlor bsoluto en cd trmo que pued hber sí que tenemos que sber cuándo l función cmbi de signo). Si sólo nos dicen que hllemos el áre encerrd por l curv y el eje, necesitmos sber los límites de integrción, cd trmo, y tomr vlor bsoluto. Ejemplo. Hll el áre encerrd entre l función f ) = + 3 +, el eje X y ls rects = y = 5. Clculmos los puntos de corte con el eje X resolviendo l ecución f ) = = = ± Segundo. = ± 5 = ; = Hllmos un primitiv. F ) = ) = Tercero. Clculmos ls integrles indenids entre cd pr de vlores consecutivos, tomndo vlores bsolutos. O hcemos cd un por su ldo.) A + A + A 3 = ) ) ) = F ) F ) + F ) F ) + F 5) F ) = 53.

3 Ejemplo. Hll el áre del recinto limitdo por l grác de l función f ) = ln, el eje X y ls rects =, 5 y =. Figure : f ) = ln En l gur está representdo el recinto del que nos piden el áre. Hy que clculr:,5 ln Segundo. Hllmos un primitiv integrndo por prtes. F ) = ln = ln = ln Tercero. El áre será: [ ln ],5 = [ ln, 5 ln, 5, 5)], 53u 3 Áre encerrd por dos curvs El áre del recinto limitdo por ls grács de dos curvs, f y g, y ls rects de ecuciones = y = b, siendo f ) g ), en todo [, b], viene dd por: [f ) g )] ˆ Es necesrio encontrr los puntos de corte de ls dos funciones cos que hcemos igulndo sus epresiones lgebrics). ˆ Si no ls podemos dibujr tendremos que tener en cuent que no sbemos, si en el intervlo de integrción, cuál es l función que es myor. En cd intervlo de integrción nos puede slir l integrl negtiv, tomndo vlores bsolutos tendrímos el áre. De culquier form siempre serí más sencillo si ls dibujármos. Ejemplo. Hll el áre comprendid entre ls grács de ls funciones f ) = + 9 y g ) = + ) Clculmos los puntos de corte de ls dos funciones, igulndo: { + 9 = + ) + 9 = + + = + 6 = = Segundo. Como tiene sólo dos puntos de corte, sólo puede hber un región encerrd entre ls dos curvs. Clculmos l integrl indenid: [ [f ) g )] = )] [ = + ] = Tercero. Utilizmos l regl de Brrow pr clculr ls integrles denids de f g) ) entre cd pr de vlores consecutivos de intersección en este cso sólo hy dos, sí que un integrl denid). Tommos vlor bsoluto de l integrl y nos cuidmos en slud por si fuer negtivo el resultdo: + ) ] [ ) 5 3 u 3

4 Ejemplo. Hll el áre comprendid entre ls grács de ls funciones f ) = y g ) = + Clculmos los puntos de corte{ de ls dos funciones, igulndo: = + = 6 = = 3 Segundo. Como tiene sólo dos puntos de corte, igul que ntes, sólo puede hber un región encerrd entre ls dos curvs. Clculmos l integrl indenid: [f ) g )] = [ + )] = [ 6 ] = Tercero. Utilizmos l regl de Brrow pr clculr ls integrles denids de f g) ) entre cd pr de vlores consecutivos de intersección, tomndo vlor bsoluto: 3 6 ) [ ] = 8 7 = 9 u Peg. Áres. Reserv B. ) Esboz l región encerrd entre l prábol f) = y l rect g) = +.,5 puntos) b) Clcul el áre de l región nterior. puntos) Solución. Se trt de un prábol y un rect, sí que como mucho tienen dos puntos en común, y por lo tnto un región: un único intervlo de integrción. Clculmos los puntos de corte: { =6 + 9 = + = = = 7 Clculmos l integrl indenid: ) = El áre será: ) [ ] u Interesnte. Aunque no se un áre es interesnte hcer este ejercicio de l propuest A: A. Encuentr un primitiv F ) de l función f) = + )e tl que F ) = 5.,5 puntos) Pr hllr l primitiv tenemos que integrr dos veces por prtes est integrl o un precid l hemos hecho en clse) u = + du = dv = e dv = e + )e = + )e [ e = + )e e ] e = + )e [e e ] + C En l segund iguldd hemos vuelto hcer: u = du =, dv = e dv = e ) Imponemos hor l condición F ) = 5, pr hllr l constnte de integrción. F ) = + )e e + e + C F ) = + ) e + e + C = C = 5 C = Así que l primitiv pedid es: F ) = + )e e + e + Se podrí hber simplicdo.). Reserv B. ) Esboz l región encerrd entre el eje de bsciss y ls prábols f) = y g) = +.,5 puntos) b) Clcul el áre de l región nterior. puntos) Os l dejo de ejercicio, igul que ls nteriores)

5 .3 Septiembre B. Clcul el áre encerrd entre ls grács de ls funciones f) = y g) =,5 puntos) Solución. Hllmos los puntos de corte: = = 3 + ) = = = 3 = Como hy tres puntos de corte, es posible que hy dos regiones entre ls curvs. Podéis ver l grác en l gur. Figure : Septiembre Clculmos l integrl indenid: ) = 3 + El áre pedid será: A + A = ) ). Junio [ 3 + ] [ ] + u A. ) Esboz l región encerrd entre l prábol f) = y l rect g) = 5.,5 puntos) b) Clcul el áre de l región nterior. puntos) Os dejo l grác) 5 ) ) [ ] u 5

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