Matemáticas Empresariales I. Integral Definida

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1 Mtemátics Empresriles I Lección 8 Integrl Definid Mnuel León Nvrro Colegio Universitrio Crdenl Cisneros M. León Mtemátics Empresriles I 1 / 31

2 Construcción de l integrl definid Se f un función definid en un intervlo [, b], es decir f : [, b] R Vmos construir l integrl de f en [, b] que se simboliz como f (x)dx Pr ello necesitmos uns definiciones previs. Definición Se llm prtición del intervlo [, b] un conjunto de puntos x 0, x 1,..., x n [, b] ordendos de myor menor y siendo el primer vlor y el último b. Evidentemente, utilizndo dich prtición el intervlo [, b] qued dividido en vrios subintervlos [, x 1 ], [x 1, x 2 ],...,[x n 1, b] M. León Mtemátics Empresriles I 2 / 31

3 Construcción de l integrl definid Ejemplo Se el intervlo [1, 7], un prtición del intervlo puede podrí ser [1 < 3 < 5 < 6 < 7]. Con dich prtición se divide el intervlo inicil [1, 7] en vrios subintervlos [1, 3], [3, 5], [5, 6] y [6, 7]. M. León Mtemátics Empresriles I 3 / 31

4 Construcción de l integrl definid Cd uno de los intervlos tiene un máximo (M i ) y un mínimo (m i ), que definimos de l siguiente mner: M i = Sup{f (x); x [x i 1, x i ]}i = 1, 2,..., n m i = Inf {f (x); x [x i 1, x i ]}i = 1, 2,..., n Definición Dd l prtición P = [ = x 0 < x 1 <... < x n = b] del intervlo [, b] se define l sum superior (inferior) socid P y f y se denot por S(P, f ) (s(p,f))como el número rel n n s(p, f ) = m S(P, f ) = M i (x i x i 1 ) i (x i x i 1 ) i=1 Y puesto que M i m i i entonces S(P, f ) s(p, f ) M. León Mtemátics Empresriles I 4 / 31 i=1

5 Construcción de l integrl definid - Ejemplo Se l función f (x) = x 2 definid en el intervlo [0, 5]. Se P 1 = [0 < 3 < 5] un prtición del intervlo inicil. Encuentre l sum superior y l sum inferior socids dich función y dicho intervlo. P 1 divide [0, 5] en dos: [0, 3] y [3, 5] El máximo intervlo 1 en x = 3 = f (3) = 9 El máximo intervlo 2 en x = 5 = f (5) = 25 L sum superior será: S 1 (P, f ) = f (3) (3 0) + f (5) (5 3) = (2) = = 77 El mínimo intervlo 1 en x = 0 = f (0) = 0 El mínimo intervlo 2 en x = 3 = f (3) = 9 L sum inferior será: s 1 (P, f ) = f (0) (3 0) + f (3) (5 3) = (2) = = 18 M. León Mtemátics Empresriles I 5 / 31

6 Construcción de l integrl definid Definición: Se dice que un prtición P = [ = x 0 < x 1 <... < x n = b] es más fin que un prtición Q = [ = x 0 < x 1 <... < x n = b] si todos los elementos de Q están en P. Ejemplo L prtición P = [0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5] es más fin que Q = [0 < 3 < 5] y que todos los elementos de Q están en P. Proposición Si P es más fin que Q entonces S(P, f ) S(Q, f ) y s(p, f ) s(q, f ). Esto quiere decir que medid que se tiene un prtición más fin, l sum superior se hce cd vez ms pequeñ y l sum inferior se v hciendo más grnde. M. León Mtemátics Empresriles I 6 / 31

7 Construcción de l integrl definid - Ejemplo Clcule l sum superior e inferior socid l intervlo P 2 = [0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5] L prtición P 2 divide l intervlo inicil en cinco: [0, 1], [1, 2], [2, 3], [3, 4] y [4, 5] L sum superior será: S 2 (P, f ) = f (1) (1 0) + f (2) (2 1) + f (3) (3 2) + f (4) (4 3) + f = = 55 L sum inferior será: s 2 (P, f ) = f (0) (1 0) + f (1) (2 1) + f (2) (3 2) + f (3) (4 3) + f = = 30 Comprción trnsprenci nterior M. León Mtemátics Empresriles I 7 / 31

8 Construcción de l integrl definid Definición Llmremos integrl superior de l función f en el intervlo [, b], y se denotrá por l mínimo de ls sums superiores. Definición Llmremos integrl inferior de l función f en el intervlo [, b], y se denotrá por l máximo de ls sums inferiores. Definición Diremos que l función cotd f es integrble en [, b] cundo coinciden l integrl superior y l integrl inferior. En ese cso llmremos integrl de f en [, b] y se representrá por f o tmbién f (x)dx l vlor común de ls integrles superiores e inferiores, esto es: f = = M. León Mtemátics Empresriles I 8 / 31

9 Condiciones de integrbilidd Proposición Tod función continu es integrble Aunque no es un condición necesri es un condición suficiente y por lo tnto hbrá funciones que, sin ser continus, sen integrbles. Pero, l menos, nos d un condición que permite grntizr integrbilidd en un grn número de csos, tods ls funciones continus. Así, modo de resumen, podemos ver que: Derivbilidd Continuidd Integrbilidd Derivbilidd Continuidd Integrbilidd M. León Mtemátics Empresriles I 9 / 31

10 Propieddes 1 Sum de integrles [f (x) + g(x)]dx = f (x)dx + g(x)dx 2 Producto de un esclr por l integrl kf (x)dx = k f (x)dx 3 Si f y g son integrbles y, demás, f (x) g(x) x [, b], entonces f (x)dx g(x)dx 4 Si f es integrble en [, b], entonces tmbién lo es f y demás se verific: f (x)dx = f (x) dx 5 Si < c < b, f es integrble en [, b] si, y solo si, es integrble en [, c] y en [c, b] verificándose: c f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx c 6 Si se cmbin los ĺımites de integrción, l integrl cmbi de signo f (x)dx = f (x)dx b M. León Mtemátics Empresriles I 10 / 31

11 Primer Teorem Fundmentl del Cálculo Se f continu en [, b]. Definimos l función S : [, b] R medinte S(x) = x f (t)dt Entonces S es continu y derivble y S (x) = f (x) x [, b] M. León Mtemátics Empresriles I 11 / 31

12 Segundo Teorem Fundmentl del Cálculo Sen F y f funciones continus en [, b] tles que f (x) = F (x), x [, b]. Entonces f (x)dx = F (b) F () M. León Mtemátics Empresriles I 12 / 31

13 Segundo Teorem Fundmentl del Cálculo - Ejemplo Clcule l 1 2x 0 x 2 +1 dx En primer lugr tenemos que clculr un primitiv de f (x) = 2x x Como en el numerdor prece l derivd del denomindor, estmos nte un integrl csi inmedit cuy solución es F (x) = Ln(x 2 + 1). Ahor, plicndo l regl de Brrow se obtiene que: 1 0 2x x 2 dx = F (1) F (0) = Ln(2) Ln(1) = Ln(2) + 1 M. León Mtemátics Empresriles I 13 / 31

14 Segundo Teorem Fundmentl del Cálculo - Ejercicio Clcule l π 2 0 esen(x) cos(x)dx M. León Mtemátics Empresriles I 14 / 31

15 Construcción de l integrl definid - Ejemplo Se l función f (x) = x 2 definid en el intervlo [0, 5]. Clcule exctmente el áre que dej l curv por encim del eje de bsciss compre el resultdo con ls sums superiores e inferiores obtenids con ls prticiones P 1 y P 2. El re exct se obtiene prtir de l integrl definid y l regl de Brrow con x 2 dx = x3 3 : 5 x 2 dx = F (5) F (0) = = 41,66 Se observ que l integrl definid y ls sums superiores e inferiores cumplen l relción siguiente: S(P 1 ) > S(P 2 ) > 5 0 > s(p 2 ) > s(p 1 ) 77 > 55 > 41,66 > 30 > 18 M. León Mtemátics Empresriles I 15 / 31

16 Construcción de l integrl definid - Ejercicio Se l función f (x) = x 2 + 4x definid en el intervlo [0,4]. Se pide: Se P 1 = [0, 2, 4] un prtición del intervlo. Clcule l sum superior y l sum inferior socids dicho intervlo. Se P 2 = [0, 1, 2, 3, 4] un prtición del intervlo. Es P 2 un prtición más fin que P 1? Clcule l sum superior y l sum inferior socids dicho intervlo. Clcule exctmente el áre que dej l curv por encim del eje de bsciss definiendo los teorems que utilize. Que relción hy entre ls sums y el áre clculd?. A prtir de los conceptos nteriores, represente gráficmente, defin y explique el concepto de integrl definid. M. León Mtemátics Empresriles I 16 / 31

17 Integrl definid: Integrción por prtes Integrl por prtes: Opción 1: clculr l integrl indefinid y luego resolver Opción 2: Aplicr l formul directmente sobre l integrl definid, que en este cso tomrá l form: ] x=b udv = uv vdu x= M. León Mtemátics Empresriles I 17 / 31

18 Integrl definid: Integrción por prtes - Ejemplo Clcule l integrl siguiente: 1 0 xe x dx Eligiendo u = x y dv = e x dx entonces du = 1 dx y v = e x dx = e x y sustituyendo en l expresión de l integrción por prte se obtiene que: 1 0 ] x=1 xe x dx = uv x=0 1 0 ] x=1 ] x=1 e x dx = xe x e x = e (e 1) = 1 x=0 x=0 M. León Mtemátics Empresriles I 18 / 31

19 Integrl definid: Integrción por cmbio de vrible Se f un función continu en [, b] y se g : [c, d] [, b] un función derivble tl que g(c) = y g(d) = b. Entonces f (x)dx = d c f (g(t))g (t)dt M. León Mtemátics Empresriles I 19 / 31

20 Integrl definid: Integrción por cmbio de vrible - Ejemplo Clculr 4 dx 1 x+ con el cmbio de vrible x = t2 x Utilizndo el cmbio de vrible x = t 2, se obtiene que dx = 2tdt y por lo tnto l integrl se trnsform en: dx x + x = 2tdt t 2 + t = 2dt = 2Ln t + 1 t + 1 Con lo que hemos podido clculr l integrl indefinid. Trnsformr tmbién los ĺımites de integrción = si x = 1 entonces t = 1 = 1 y si x = 4 entonces t = 4 = 2 L integrl definid qued: 4 1 dx 2 x + x = 1 ] 2dt 2 = 2Ln t + 1 = 2 [Ln(3) Ln(2)] = 2Ln t ( ) 3 2 M. León Mtemátics Empresriles I 20 / 31

21 Integrl definid: Integrción por cmbio de vrible - Ejercicio Clcule l π 2 0 sen( x)dx utilizndo el cmbio de vrible x = t 2 (Pist: obtendrá luego un integrl pr resolver por prtes) M. León Mtemátics Empresriles I 21 / 31

22 Aplicciones de l integrl: Función totl prtir de l función mrginl En lecciones nteriores hemos visto que prtir de un función podemos encontrr l función mrginl que muestr como ument o disminuye l vrible en cd punto del dominio. Evidentemente, si se tiene un función mrginl, l integrr est, es obtiene l función originl. M. León Mtemátics Empresriles I 22 / 31

23 Aplicciones de l integrl: Función totl prtir de l función mrginl - Ejemplo Supongmos que tenemos un función de costes mrginl con l form C (q) = 60q 2 80q Si queremos l función de costes totles, entonces debemos integrr C (q): C(q) = C (q) = (60q 2 80q + 35)dq = 20q 3 40q q + k El vlor de k = costes fijos Si C F = 75 = C(0) = C F (producción = cero). Sustituyendo: C(0) = k = 75 = k = 75 L función de costes totles qued: C(q) = 20q 3 40q q + 75 M. León Mtemátics Empresriles I 23 / 31

24 Aplicciones de l integrl: Función totl prtir de l función mrginl - Ejemplo - (cont.) Vrición de costes l cmbir l producción = integrl definid. Ejemplo, si l empres produce 10 y quiere producir 14 = cul será el umento en los costes? C = ] 14 (60q 2 80q + 35)dq = 20q 3 40q q = M. León Mtemátics Empresriles I 24 / 31

25 Aplicciones de l integrl: Función totl prtir de l función mrginl - Ejercicio Supong que l prim de riesgo mrginl de un economí sigue l función f (g) = g, donde g es l cntidd de gsto que determin su gobierno (se supone que l cntidd de gsto es un vrible continu). Además se sbe que l prim de riesgo tiene un componente utónomo de 1 (es decir que si el gobierno no gst nd, l prim de riesgo es un unidd monetri). Se pide: 1 Encuentre l prim de riesgo de dich economí si decide gstr 3 uniddes monetris. 2 Si el gobierno tiene fijdo como objetivo un prim de 3 u.m., Cul debe ser el nivel de gsto de dicho gobierno? M. León Mtemátics Empresriles I 25 / 31

26 Aplicciones de l integrl: Funciones que son sums de otrs lo lrgo del tiempo Funciones economics que son sums de otrs lo lrgo del tiempo. (K(t) vs I (t)) Si l cumulción de l inversión es continu, entonces el stock de cpitl, que es un sum continu de inversión se obtiene prtir de l integrl: K(t) = t donde K 0 es el stock de cpitl inicil. 0 I (x)dx + K 0 M. León Mtemátics Empresriles I 26 / 31

27 Aplicciones de l integrl: Funciones que son sums de otrs lo lrgo del tiempo - Ejemplo Supong un economí en l que l inversión sigue l form siguiente I (t) = 100t 3 4 y cuyo stock de cpitl inicil vle 50. Encuentre como evolucion el stock de cpitl lo lrgo del tiempo. Cul será el incremento en el stock de cpitl desde dentro de dos hst dentro de cutro? En primer lugr l evolución del stock de cpitl seguirá l integrl siguiente: K(t) = t 0 100x 3 4 dx + 50 = 100 t = t Pr sber como evolucion el cpitl desde t = 2 hst t = 4 se debe clculr l integrl definid K(t) = 4 100t 3 4 dt = 100 t M. León 2 Mtemátics Empresriles4I 2 27 / 31 ] 4 = 454,3

28 Aplicciones de l integrl: Clculo del excedente del consumidor Excedente del consumidor: Áre que está entre l demnd y l rect x = p, (entre x = 0 y x = x ) x 0 [d(x) p]dx M. León Mtemátics Empresriles I 28 / 31

29 Aplicciones de l integrl: Clculo del excedente del productor Excedente del productor: Áre que está entre l rect x = p y l ofert (entre x = 0 y x = x ) x 0 [p s(x)]dx M. León Mtemátics Empresriles I 29 / 31

30 Aplicciones de l integrl: Clculo del excedente del consumidor y del excedente del productor - Ejemplo Supong que un consumidor tiene un función de demnd d(x) con l form p = 10 2x. Si el precio es 2, cul es el excedente del consumidor? Con p = 2 = x = p = = 4 El excendente del consumidor será x 0 [d(x) p]dx = 4 0 [10 2x 2]dx = = [8 2x]dx = 8x x 2 ] 4 0 = M. León Mtemátics Empresriles I 30 / 31

31 Aplicciones de l integrl: Clculo del excedente del consumidor y del excedente del productor - Ejercicio Supong que l ofert de un empres viene dd por l función f (x) = e x. Clcule el excedente del productor en el cso de que ls vents sen 3 uniddes. M. León Mtemátics Empresriles I 31 / 31

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