01/07/2009. Ecuaciones dinámicas del motor. Fig. 1 circuito equivalente del motor de CD con excitación independiente.

Transcripción

1 Control de Máquinas Eléctricas Primavera Análisis vectorial de sistema trifásicos 1. Campo magnético 2. Devanado trifásico 3. Vector espacial de un sistema de corrientes 4. Representación gráfica de vectores 5. Vectores espaciales de tensión y flujo 6. Ecuaciones vectoriales del rotor 7. Potencia instantánea 8. Transformación de coordenadas 2. Control de la máquina de CD 1. Ecuaciones dinámicas de la máquina 2. Esquema básico de control 3. Control en paralelo 4. Control con rectificadores con control de fase 5. Control con chopper 3. Análisis vectorial de sistema trifásicos Ecuaciones dinámicas del motor Fig. 1 circuito equivalente del motor de CD con excitación independiente. 1

2 (1) (2) (3) (4) (5) Diagrama de bloques en LaPlace, del motor de CD con flujo constante kφ=constante Circuito de campo lento, porque τf =Lf /Rf es grande, debido a que la inductancia de campo es grande. Circuito de armadura es rápido, porque τ a =L a /R a es pequeño, porque L a es pequeña. 2

3 El lazo de control de velocidad lento contiene un lazo interno de control de corriente rápido i a (t), puede ser limitada estableciendo un límite al valor que puede tomar la corriente de referencia i a* (t), limitando la salida del controlador de velocidad Comportamiento del accionamiento al invertir la marcha Control del motor mediante un convertidor dual El convertidor I proporciona una corriente positiva, i a >0 El convertidor II proporciona una corriente negativa, i a <0 3

4 Cuando es requerido un accionamiento más rápido, el motor se alimenta mediante un convertidor CD-CD (chopper) Circuito de control para accionamiento con chopper. Formas de onda de control por chopper Control sencillo Rectificador de bajo costo La técnica de control tiene muchos años 4

5 Motor caro Mucho mantenimiento Problemas a muy alta velocidad Problemas a velocidad cero Introducción Hay diferentes formas de representar los fenómenos de los motores eléctricos El método vectorial permite un análisis matemático simple pero preciso Permite visualizar los fenómenos físicos de las variables Si una corriente circula a través de una bobina con valor instantáneo i, producirá una fuerza magnetomotríz (fmm): F=Ni (1) N es el número de vueltas La fmm tiene una dirección definida en el espacio. Por tanto, la fmm y la corriente se consideran vectores. Cumplen las leyes del álgebra vectorial y se puede escribir como: F N I (2) 5

6 El vector i está orientado en la dirección del eje magnético y está definida en el espacio por la posición actual del campo. La magnitud del vector es igual al valor instantánea de la corriente que circula por la bobina. bi Esta puede ser alterna, directa o con contenido armónico. Fmm de una bobina en posición espacial arbitraria. El devanado tiene los ejes magnéticos de sus fases defasados 120. Las distribuciones espaciales del campo y fmm son ondas senoidales Los devanados de las fases están distribuidos simétricamente a lo largo de la periferia. En un plano complejo perpendicular al eje del rotor, cada fase del devanado produce una distribución senoidal de fmms, por tanto, para cada una de ellas el vector de corriente: (3) (4) (5) 6

7 donde a y a 2 es: (6) La fmm resultante del devanado trifásico se obtiene sumando vectorialmente las fmms de las respectivas fases. Cada vector de corriente estará orientado en la dirección del eje magnético de su correspondiente fase y magnitud será igual al valor instantáneo de la corriente por fase (7) Los 3 vectores de corrientes se suman para obtener un vector resultante i i a i b i c Tomando ecs. (3), (4) y (5), se tiene: i i a ai b a 2 i c (8) (9) El vector espacial de las corrientes de estator de la máquina trifásica es: i s 2 3 i a ai b a 2 i c (10) El factor 2/3 permite la proyección del vector i s sobre los ejes magnéticos de las fases corresponda al valor instantáneo de las corrientes de fase Se considera: Eje real= eje α Eje imaginario = eje β 7

8 Se establece como referencia el eje a, coincidiendo con el eje magnético de fase a del devanado trifásico. La proyección del vector i s sobre el eje real corresponde al valor instantáneo de la corriente i a : (11) Se considera un sistema trifásico sin neutro, en el que se cumple: i a i b i c 0 También se cumple: (12) (13) (14) Considerando ψ a, ψ b y ψ c, son los flujos de las fases a, b y c del estator respectivamente, el vector de flujo es: Las tensiones para las 3 fases son: (17) El vector de tensión es: (15) (16) (18) (19) Donde v a, v b y v c son los valores instantáneo de las tensiones de fases a,b y c respectivamente (20) 8

9 La ecuación vectorial resultante es: El vector v s relaciona las variables del estator de una máquina trifásica (21) describiendo d simultáneamente t el comportamiento t de tensión, corriente y el flujo en las tres fases. La ec. 21 reduce las ecuaciones del estator a una Si el rotor tiene un sistema de devanados trifásicos entonces: (22) i ra, i rb e i rc son los valores instantáneos de las corrientes del rotor. Los vectores de flujo y tensión del rotor son: (23) (24) La ecuación vectorial de la tensión del rotor es: (25) Considerando la tensiones trifásicas El vector es: (26) (27) (28) (29) Expandiendo, es: (30) 9

10 El vector de tensiones en un sistema trifásico balanceado corresponde a un vector giratoria i de magnitud V, con velocidad angular w y sentido de giro contrario a las manecillas del reloj Las corrientes trifásicas equilibradas: (31) (32) (33) La expresión del vector de corriente es: (34) (35) El vector de corriente i es giratorio, desplazado un ángulo φ con respecto al de tensión v. En un sistema trifásico es: (36) Con los vectores de corriente y tensión, es: (37) Sustituyendo las ecs.(10) y (16) en (37): (38) 10

11 Con la restricción de la ec.(12), se obtiene: (39) Transformación de ejes trifásicos fijos al estator (a-b-c) a ejes bifásicos (α-β) Por conveniencia y para fines de control, El sistema de corrientes trifásico (a-b-c) se puede reemplazar por uno bifásico (α-β) Un eje fijo es un eje estacionario (fig. 6). En el sistema (a-b-c), el vector queda como: (40) El vector en el sistema bifásico queda: (41) Igualando (40) y (41): Fig. 6. (i) Sistema trifásico (a-b-c). (ii) Sistema bifásico (α-β). (42) 11

12 Igualando partes real e imaginarias en ec.(42) (43) Considerando que ia +ib +ic =0 se tiene: (46) En forma matricial (44) (45) Para las tensiones, se tiene: (47) Considerando que v a +v b +v c =0 se tiene: a b c Procedimiento conocido como rotación de coordenadas. (48) De lo anterior, se observa: i α =i a (49) v α =v a (50) El vector de flujo en componentes bifásica es: (51) 12

13 La proyección de v sobre x se determina: (52) v es la magnitud del vector v ρ, es el ángulo respecto al eje α θ, es el ángulo de rotación del eje x respecto a α. Expandiendo la ec. (52), se obtiene: Por otra parte: Se obtiene finalmente: (53) (54) (55) (56) También se cumple: (57) Otra forma de rotación de coordenadas: (60) Matricialmente: (58) (59) i s es el vector de corriente referido al sistema (αβ) fijo con respecto al estator Sea i st, vector de corriente con referencia a (x-y): (61) 13

14 Para expresar las tensiones trifásicas con respecto a un eje de referencia giratorio, se considera: Considerando la frecuencia angular de la fuente en sentido positivo, (61) se expresa: La proyección del vector en el eje x es: (62) (63) (64) (65) (66) Considerando ec. (47) y (48), se tiene: (67) La proyección del vector en el eje y es: (68) En coordenadas del estator se cumple: (69) (70) (71) Donde v st es el vector referido a un eje giratorio desplazado un ángulo θ con respecto al eje α del estator. θ está dado por: (72) 14

15 Ecuaciones para corriente y flujo: (73) (74) El término dψψ st /dt es la tensión inducida por la variación del flujo con respecto al tiempo. Reemplazando ecs. (71), (73) y (74) en la ec. (69), la tensión en el sistema giratorio es: (75) El término jωψ st representa a una tensión en rotación. Para expresarlo en vectores, se utilizan las relaciones básicas de conversión de la energía Expresando la relación entre energía eléctrica absorbida y la energía mecánica empleada por el rotor. En forma diferencial, esta ecuación es: dw electrica =dw perdidas +dw campo +dw mecanica (76) La energía instantánea en función de la potencia depende de los vectores espaciales de i y v (ec.37): (77) v s e i s referidos al estator, se pueden expresar en función de vectores referidos al rotor (ecs. 71 y 73) 15

16 La energía en función de los vectores espaciales del estator referidos al rotor: (78) la energía es: (80) v st depende del voltaje en la resistencia interna del devanado, más el voltaje inducido por las variaciones de flujo y el voltaje rotacional inducido (ec. 75), Reemplazando de v r ec. (25) y de de ec.(79), se obtiene: (81) Ordenando y agrupando ec. (81) es: (82) La energía magnética es independiente de la velocidad del rotor depende sólo de los valores actuales de corriente e inductancias. La energía de pérdidas producida por las resistencias i de los devanados d del rotor y estator: (83) El sistema de coordenadas giratorio está fijo al rotor La velocidad del rotor es ω con el rotor detenido (ω=0) La energía mecánica es igual a cero, ya que depende de ω. 16

17 De lo anterior y ecs. (76), (82) y (83), la energía con ω=0 es: (84) (85) (86) Primer término, energía de pérdida en los devanados Segundo término, energía almacenada en el campo magnético Tercer término, energía mecánica utilizada por el rotor. (87) La energía mecánica se expresa en función del torque τ y el desplazamiento dθ: (88) Igualando ecs. (87) y (88), el torque electromagnético en función de las variables vectoriales referidas al rotor es: (89) El torque es: En función de las variables vectoriales referidas al estator: (90) (91) 17

18 Tomando un eje de referencia giratorio (x,y) orientado en la dirección del flujo del estator (fig. 8), se obtiene: (92) (93) (94) (95) Fig. 8. Sistema bifásico giratorio (x,y) orientado en la dirección del flujo. Para expresar la energía en términos de las coordenadas d fijas en el estator t se debe tomar en cuenta: El subíndice st son variables del estator en el sistema de referencia giratorio El subíndice r son variables del rotor en el sistema de referencia giratorio El subíndice rf son variables del rotor en el sistema de referencia fijo al estator Reemplazando ecs. (71) y (73) en (80): (96) La relación entre las variables del rotor en las coordenadas fijas y giratorias son: (97) (98) (99) 18

19 De las ecs. (97) y (98) en (96), se tiene: (100) Reemplazando ecs. (97), (98) y (99) en (21), se obtiene: Sustituyendo ecs. (21) y (101) en (100), se obtiene: (102) (101) Por tanto, la energía mecánica queda: El torque: (103) (104) Sustituyendo (98), (99) y (104), queda: Esta expresión es válida para las variables del rotor expresadas en cualquier eje giratorio (105) 19