Circunferencias. d) A( 1, 5) y d = X = (x, y) punto genérico del lugar geométrico. b) dist (X, A) = d

Transcripción

1 Circunferencias 6 Halla, en cada caso, el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto A es d. a) A(, ) y d = b) A(, ) y d = 1 c) A(, ) y d = 1 d) A( 1, ) y d = X = (x, y) punto genérico del lugar geométrico. a) dist (X, A) = d x + ( y ) = x + (y ) = Circunferencia de centro A = (, ) y radio d =. b) dist (X, A) = d x + y = 1 x + y = 1 Circunferencia de centro A = (, ) y radio d = 1.

2 c) dist (X, A) = d ( x + ) + y = 1 8 ( x + ) + y = 1 Circunferencia de centro A = (, ) y radio d = 1. d) dist (X, A) = d ( x + 1) + ( y + ) = 8 ( x + 1) + ( y + ) = 9 Circunferencia de centro A = ( 1, ) y radio d =. 7 Halla el lugar geométrico de los puntos cuyo cociente de distancias a los puntos A(, 6) y B(, ) es, es decir: dist( P, A) = dist( P, B) X = (x, y) punto genérico del lugar geométrico. dist ( P, A) = dist ( P, B) x x + ( y 6) + ( y ) = x + (y 6) = (x + (y ) ) x + y 1y + 6 = x + y y + 6 x + y -y= Circunferencia de centro A = (, ) y radio d = = 8 Da, en cada caso, la ecuación de la circunferencia que tiene centro C y radio r. a) C (, ) y r = 1 b) C (, ) y r = c) C ( 1, ) y r = d) C (, ) y r = X = (x, y) punto genérico. a) dist (X, A) = r x + y = 1 x + y = 1 b) dist (X, A) = r ( x ) + ( y + ) = (x ) + (y + ) = c) dist (X, A) = r ( x + 1) + y = 8 ( x + 1) + y = 9 d) dist (X, A) = r x + ( y ) = 8 x + ( y ) = 16 9 Averigua cuáles de las siguientes expresiones corresponden a circunferencias y, en ellas, halla su centro y su radio: a) x + y 8x + y + 1 = b) x y + x + y = c) x + y + xy x + y 8 = d) x + y 16x + = a) Los coeficientes de x e y son 1. No hay término en xy. c A m + c B m C = = 7 > Es una circunferencia de centro (, 1) y radio 7. b) Los coeficientes de x e y no son iguales. No es una circunferencia. c) Hay un término xy. No es una circunferencia.

3 d) Los coeficientes de x e y son iguales y no tiene término en xy. Dividimos entre la igualdad: x + y 8x + 1 =. c A m + c B m C = = > Es una circunferencia de centro (, ) y radio =. 1 Escribe la ecuación de la circunferencia que pasa por c, 1 m y tiene centro en c 1, 1 m. X = (x, y) punto genérico. dist (X, A ) = r r = dist (P, Q ) r = c 1 m = 1 cx 1 m + cy + 1 m = 1 8 cx 1 m + cy + 1 m = 1 x x + y + y+ 1 = 1 6x + 6y 6x + y + = 9x 9x + 9y +6y + 1 = 6 11 Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto C(, ) y cuyo diámetro es igual a 1. X = (x, y) punto genérico. dist (X, C ) = r r = ( x) + ( y + ) = x + (y + ) = 1 Escribe la ecuación de la circunferencia que pasa por A(1, ) y por B(, 1) y tiene radio 1. El centro de la circunferencia está en la mediatriz de AB y dist (O, A) = 1. Mediatriz: AB = (1, 1); M AB = c, m m: x y + = x = y x = y 1 1 dist (O, A) = 1 ( x 1) + ( y + ) = 1 O es solución de: x = y ( x 1) + ( y + ) x = 1, y = 1; x =, y = = 1 Hay dos circunferencia que verifican las condiciones: (x 1) + (y + 1) = 1 y (x ) + (y + ) = 1 1 Uno de los diámetros de una circunferencia tiene por extremos A(, ) y B(7, ). Halla la ecuación de la circunferencia. El centro es: M AB = (, 1) r = dist (O, A) = ( ) + ( 1+ ) = Ecuación: (x ) + (y + 1) =

4 1 Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por A(, ), B(8, 1) y C(, 8). Mira el ejercicio resuelto 1. r : mediatriz de AB AB = (, ) (8, 1) = (6, 6) = 6(1, 1) r : tiene vector de dirección d = (1, 1) y pasa por M AB = (, 7) x r : y 7 = + 8 x y 1 = 1 1 s : Mediatriz de PR AC = (, ) (, 8) = (, ) = ( 1, ) s : tiene vector de dirección d = (, 1) y pasa por M AC = (, 6) s : x y 6 = + 8 x y 1= 1 x y 1 = Centro x = 9, y = C = (9, ) x y 1= Radio = AC = ( 9) + ( + ) = La ecuación de la circunferencia es (x 9) + (y + ) =

5 18 Determina las rectas tangente y normal a la circunferencia (x + ) + ( y + ) = 1 en el punto A(, 1). A é circunferencia. La normal es la recta que une A con el centro de la circunferencia C. C = (, ) AC = (, 1) (, ) = (, ) n : x + y 1 = x y + 8 = La tangente es perpendicular a la normal y pasa por A. t : x + y 1 = x + y + 1 =

6 Posiciones relativas de rectas y circunferencias 19 Calcula la distancia del centro de la circunferencia x + y y 1 = a la recta r : x y + =. Cuál es la posición de r respecto a la circunferencia? El centro de la circunferencia es C (, 1) y su radio es R = La distancia de C a r es: dist (C, r) = 1+ =,, 89 < 1 1 Luego la circunferencia y la recta son secantes. Estudia la posición relativa de la circunferencia de ecuación x + y 6x y + 9 = respecto de cada una de las siguientes rectas: r 1 : x + y 1 = r : x y + 9 = Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de la circunferencia y cada una de las rectas. x + y 6x y+ 9= x+ y 1= No hay solución Son exteriores. x + y 6x y+ 9= 8 x= 9, y= 18 x y+ 9 = Hay una solución única, luego son tangentes. 1 Estudia la posición relativa de la circunferencia de ecuación (x + 1) + (y ) = respecto a cada una de las siguientes rectas: r 1 : x = r : y = r : y = x + 1 Utiliza, en cada caso, los dos métodos siguientes: a) Resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por la circunferencia y cada recta. b) Comparando la medida del radio con la distancia de cada recta al centro de la circunferencia. r 1 : x = a) Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de la circunferencia y la recta. ( x+ 1) + ( y ) = No hay solución, luego son exteriores. x = b) C = ( 1, ) dist( C, r ) 1 1 = 1 = dist (C, r 1 ) > r r = r : y = Como la distancia del centro de la circunferencia a la recta es mayor que el radio, son exteriores. a) Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de la circunferencia y la recta. ( x+ 1) + ( y ) = x = 1, y = y = Hay una única solución, luego son tangentes.

7 b) C = ( 1, ) dist( C, r ) = 1 = dist (C, r ) = r r = Como la distancia del centro de la circunferencia a la recta es igual que el radio, son tangentes. r : y = x + 1 a) Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de la circunferencia y la recta. ( x+ 1) + ( y ) = y= x+ 1 8 x , y 11 7 ; x , y 7 1= + 1= + = = 11 Hay dos soluciones, luego son secantes. b) C = (, ) dist( C, r ) = r = + 1 = = 1, 16 dist (C, r ) < r Como la distancia del centro de la circunferencia a la recta es menor que el radio, son secantes. Estudia la posición relativa de la recta y = x + b y la circunferencia x + y = 1 en función del parámetro b. El centro de la circunferencia es C (, ) y su radio es r = 1. Hallamos la distancia de C a la recta s : x y + b = : d = dist (C, s) = b Para que la recta sea tangente a la circunferencia, ha de ser d = r, es decir: b = 1 b = b = b = Determina la posición relativa de la recta y = x y la circunferencia x + y = a en función del valor del parámetro a. C = (, ) es el centro de la circunferencia y R = a, su radio. Llamamos r: y = x dist( C, r) R = a = = = a 8 a= 9 Si a < 9, la recta y la circunferencia son exteriores. Si a = 9, la recta y la circunferencia son tangentes. Si a > 9, la recta y la circunferencia son secantes.

8 a) Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C( 1, 1) y es tangente a la recta x y =. b) De todas las rectas paralelas a la bisectriz del primer cuadrante, encuentra las que sean tangentes a la circunferencia hallada en el apartado anterior. a) El radio, r, de la circunferencia es la distancia del centro C ( 1, 1) a la recta s : x y = ; es decir: r = dist (C, s) = = 1 = La ecuación será: (x + 1) + (y 1) =, o bien, x + y + x y = b) Las rectas paralelas a la bisectriz del primer cuadrante son de la forma y = x + k, es decir, t : x y + k =. La recta t es tangente a la circunferencia cuando la distancia del centro de la circunferencia, C ( 1, 1), a la recta es igual al radio,. Es decir: dist (C, t ) = 1 1+ k 8 k = = 8 k = k = 8 k= + k = 8 k = Hay dos rectas: y= x+ + y= x+

9 Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (, ) y (, 1) y es tangente al eje X. El centro está en la mediatriz del segmento AB. A = (, ), B = (, 1) AB = (7, 1) 8 d = (1, 7) M AB = c1, m x ( 1 / ) y ( / ) m: = 8 7x 7 = y 8 y= 7x+ 1 7 dist (O, A) = dist (O, OX ) = r ( x+ ) + ( y ) = y Las coordenadas del centro son la solución del siguiente sistema: y= 7x ( x+ ) + ( y ) 8 x = 1 1 = 1, y 1 = 1; x = 1, y = Hay dos circunferencias que cumplen la condición: C : (x 1) + (y ) = C': (x 1) + (y 1) = 1 = 1 De la circunferencia C se sabe que tiene su centro en la recta x y = y pasa por los puntos ( 1, ) y (, 6). Obtén la ecuación de C. Si el centro está sobre la recta x y =, es de la forma C (y, y). El centro está a igual distancia de A ( 1, ) que de B (, 6). Además, esta distancia es el radio, r, de la circunferencia: r = dist (A, C ) = dist (B, C ) 8 AC = BC 8 8 ( y+ 1) + ( y ) = ( y ) + ( y 6) 9y y + y y = 9y y + y + 6 1y 8y = 8 8 y = 1 8 x = y = Por tanto, el centro de la circunferencia está en O (, 1), y su radio es: r = A O = = = La ecuación es: (x ) + (y 1) =, o bien, x + y 6x y 1 =. Determina la ecuación de la circunferencia de radio 1 que, en el punto (7, ), es tangente a la recta x y 1 =. Las coordenadas del centro son la solución del siguiente sistema: x y 1= ( x 7) + ( y ) 8 x = 1 1 = 1, y 1 = 8; x = 1, y = Hay dos circunferencias que cumplen la condición: C : (x 1) + (y 8) = 1 C' : (x + 1) + (y + ) = 1

10 6 Halla la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo de vértices A(, ), B`1, j y C` +, j. A = (, ), B = (1, ), C = ( +, ) AB = ( 1, ) (, ) = (, ) = ( )( 1, 1) Lado AB: x = y 8 x y 1 = AC = ( +, ) (, ) = ( +, ) = ( + )( 1, 1) Lado AC: x = y + 8 x + y = BC = ( 1, ) ( +, ) = (, ) = ( )( 1, ) Lado BC: y = 8 y + = Bisectriz de A^: x y 1 = x + y 8 y =, x = Tomamos x =, que es la recta interior al triángulo. Bisectriz de C^: Z ] x + y y x + y ] = + x + y = y + x + ( 1 ) y 7 = = y + 8 [ 8 8 x + y x + y = y x + ( 1+ ) y = ] = ( y + ) \ Tomamos x + (1 + )y =, que es la recta interior al triángulo. El incentro es la intersección de las bisectrices: x = 8 x =, y = 8 P = (, ) x + ( 1+ ) y = radio = dist (P, lado BC ) = Circunferencia inscrita: C : (x ) + y = 7 Halla la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo determinado por la recta y = x + y los ejes de coordenadas. Calcula la ecuación de la recta tangente a esta circunferencia en (, ). Vértices del triángulo: A 8 y = x + 8 A = (, ) B 8 x = y = x + 8 B = (, ) C = (, ) y = AB = (, ) = (1, 1), M AB = (, ) m c : y= x AC = (, ) = (, 1), M AC = (, ) m b : x = El circuncentro es la intersección de las mediatrices: y = x 8 x =, y = 8 P = (, ) x = radio = dist (P, C ) = 8 Circunferencia circunscrita, C : (x ) + (y ) = 8

11 8 Halla la ecuación de la circunferencia inscrita en el cuadrado de vértices A(, ), B( 1, ), C( 1, 1) y D(, 1). A = (, ), B = ( 1, ), C = ( 1, 1), D = (, 1) Diagonal AC : y = x Diagonal BD : y = x + Centro: Lado AB: y = y= x 8 x =, y = 8 P = (, ) y= x+ radio = dist (P, lado AB ) = 1 Circunferencia inscrita, C : (x + ) + (y ) = 1 9 Estudia la posición relativa del punto P(, ) respecto a la circunferencia (x m) + y = en función de los valores del parámetro m. (x m ) + y = Centro: O = (m, ) Radio: r = dist (P, O ) = m + 9 = 8 m =, m = m + 9 < 8 m é (, ) m + 9 > 8 m é (, ) (, ) Si m é (, ) 8 P es interior a la circunferencia C. Si m = o m = 8 P é C Si m é (, ) (, ) 8 P es exterior a C. 6 Estudia en función de k la posición relativa de la rectas : x + y + k = respecto a la circunferencia de ecuación x + y x 6y + 6 =. Depende del número de soluciones del siguiente sistema: Z y k x+ y+ k= ] x = 8 x y [ 8 + x 6y+ 6= ] x+ y x 6y+ 6= \ y k e o k + 6ky + 8k + y 7y + 96 = 8 y + (6k 7)y k + k = El número de soluciones depende del signo del discriminante. D = (6k 7) (96 + 8k + k ) = 6k 1 66k 16 y k + y e o 6y + 6= Si 6k 1 66k 16 = 8 k =, k = 8 Solución única 8 Son tangentes. Si 6k 1 66k 16 < 8 k é (, ) (, ) 8 No hay solución 8 Son exteriores. Si 6k 1 66k 16 > 8 k é (, ) 8 Dos soluciones 8 Son secantes.

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13 6 Halla los puntos de intersección de cada pareja de circunferencias y di cuál es su posición relativa: x + y 6x 16= a) b) x + y 6 x y + 9= x+ y= x+ y 6x+ y+ 9= a) x+ y 6x 16= 6x 16 = 8 6x= 1 8 x = x y y 8 y + = + = = 8 y = Las circunferencias se cortan en el punto (, ). La primera circunferencia tiene centro en (, ) y radio ; la segunda tiene centro en (, ) y radio. La distancia entre sus centros es d =. Como la diferencia entre sus radios es = = d, las circunferencias son tangentes interiores. b) x+ y 6x y+ 9= Restando ala.ª ecuación la 1.ª : x+ y 6x+ y+ 9= 6y= 8 y= x 6x + 9 = 8 (x ) = 8 x = Las circunferencias se cortan en el punto (, ). La primera circunferencia tiene su centro en (, ) y radio ; la segunda tiene su centro en (, 1) y radio 1. La distancia entre sus centros es d =, igual que la suma de sus radios. Por tanto, las circunferencias son tangentes exteriores.