PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Transcripción

1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 007 MATEMÁTICAS II TEMA : SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Junio, Ejercicio 3, Opción B Reserva, Ejercicio 3, Opción B Reserva, Ejercicio 3, Opción A Reserva, Ejercicio 3, Opción B Reserva 3, Ejercicio 3, Opción B Reserva 4, Ejercicio 3, Opción B Septiembre, Ejercicio 3, Opción B

2 0 a) Calcula la matriz inversa de A= 0 0 b) Escribe en forma matricial el siguiente sistema y resuélvelo usando la matriz x + y = apartado anterior, y + z = x + z = 3 MATEMÁTICAS II JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B A hallada en el a) Vamos a calcular la matriz inversa de A. A t d t ( A ) = = = = A b) El sistema escrito en forma matricial es: Resolviendo el sistema, tenemos: 0 x 0 y = 0 z 3 x 3 y = = z 3 0 Luego, la solución del sistema es: x= 3 ; y= ; z= 0

3 x + y + z = 0 Considera el sistema de ecuaciones: x +λ y + z = x + y +λ z =λ a) Determina el valor de λ para que el sistema sea incompatible. b) Resuelve el sistema para λ=. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO 3.OPCIÓN B. a) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero λ =λ 3λ+ = 0 λ= ; λ= λ A continuación, calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada del sistema y hacemos la discusión: λ= 3 S. Incompatible λ= S. Compatible Indeterminado λ y 3 3 S. Compatible Determinado b) Vamos a resolverlo para x= x+ y+ z= 0 λ= y= z x+ y+ z= z = z

4 Clasifica y resuelve el siguiente sistema según los valores de a, x + y + z = 0 ( a + ) y + z = y x y + ( a) z = z MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO 3. OPCIÓN A. Lo primero que hacemos es ordenar el sistema x+ y+ z= 0 x+ y+ z= 0 ( a+ ) y+ z= y ay+ z= 0 x y+ ( a) z= z x y az= 0 Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero 0 a = a a+ 6= 0 a= ; a= 3 a A continuación, calculamos el rango de la matriz de los coeficientes y hacemos la discusión: a= S. Homogéneo compatible a= 3 S. Homogéneo compatible a y 3 3 S. Homogéneo incompatible Vamos a resolverlo: x= 0 x+ y+ z= 0 Caso : a= y= z y+ z= 0 z = z 5z x = 3 x+ y+ z= 0 z Caso : a= 3 y= 3y+ z= 0 3 z = z Caso 3: a y 3 Solución trivial y solución trivial. y solución trivial

5 λ x + y + ( λ+ ) z =λ+ Se sabe que el sistema de ecuaciones lineales: x + y + z = 0 tiene más de una ( λ ) x λ y = 0 solución. a) Calcula, en dicho caso, el valor de la constante λ. b) Halla todas las soluciones del sistema. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO 3. OPCIÓN B. a) Para que el sistema tenga más de una solución, el determinante de la matriz de los coeficientes tiene que valer cero, luego: λ λ+ = λ λ= 0 λ= 0 ; λ= λ λ 0 A continuación, calculamos el rango de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada y hacemos la discusión: λ= 0 3 S. Incompatible λ= S. Homogéneo compatible λ 0 y 3 3 S. Compatible determinado b) Vamos a resolverlo: x= z x+ y z= 0 λ= y= 3z x+ y+ z= 0 z = z y solución trivial.

6 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para los valores de m que lo hacen compatible: x + my = m mx + y = m mx + my = MATEMÁTICAS II RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B. Calculamos el determinante de la matriz ampliada M = m m = + = = = 3 m m m 3m 0 m ; m m m A continuación, calculamos el rango de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada y hacemos la discusión: m= S. Compatible indeterminado m= S. Compatible determinado m y 3 S. Incompatible Vamos a resolverlo: x= y Caso : m= x+ y= } y = y Caso : x y = x m= = y = x+ y=

7 x + y + mz = Considera el sistema de ecuaciones my z = x + my = 0 a) Clasifica el sistema según los valores de m. b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. MATEMÁTICAS II RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B. a) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes m 0 m = m + m = 0 m= m 0 A continuación, calculamos el rango de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada y hacemos la discusión: m= S. Compatible indeterminado m 3 3 S. Compatible determinado b) Vamos a resolverlo: x= z x+ y= z m= y= + z y= + z z = z

8 ax + y + z = 4 Considera el sistema de ecuaciones x ay + z = x + y + z = a + a) Resuélvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado. b) Resuelve el sistema que se obtiene para a=. MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B. a) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero a a = a a a= a + a= ; a= A continuación, calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada del sistema y hacemos la discusión: a= 3 S. Incompatible a= S. Compatible Indeterminado a y 3 3 S. Compatible Determinado 3 x = x+ y+ z= 4 5 z Vamos a resolverlo para a= y= x+ y+ z= z = z b) a= Sistema compatible determinado. Luego lo resolvemos por Cramer x= = = ; y= = = ; z= = = 3 3