Procedimiento para determinar las asíntotas verticales de una función

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1 DETERMINACIÓN DE ASÍNTOTAS EN UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproimando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( o y) tienden al infinito. Una definición más formal es: DEFINICIÓN : Si un punto (, y) se desplaza continuamente por una función y=f() de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función. Las asíntotas pueden ser: asíntotas asíntotas asíntotas verticales horizontales oblicuas ASÍNTOTAS VERTICALES Las asíntotas verticales son paralelas al eje OY: y o y Entonces eiste un número a tal que: f o f A.V.: =a a Procedimiento para determinar las asíntotas verticales de una función a º Determinamos el dominio de la función, pues para los valores de dónde deja de eistir puede tener una asíntota vertical. º Si la función deja de eistir en =a, eistirá asíntota vertical =a si f o f. a a Ejemplo : Determina las asíntotas verticales de y 4 º Determinamos el dominio de la función, pues para los valores de dónde deja de eistir puede tener una asíntota vertical. Dominio: Función racional fraccionaria no eiste si el denominador se anula 4 0; ; D [ f ( )], Luego tiene como posible asíntotas verticales: = y =-.? º A.V. en =.? f o f? a a

2 8 4 0 No 4 hay eiste que hacer límites laterales Estos límites nos sirven para determinar que = es ASÍNTOTA VERTICAL pues f y f y con ellos también observamos las tendencias de la función (Observar gráfica) A.V. en =-.? f o f? a a No hay asíntota vertical, en =- la función es discontinua evitable. Gráfica: Ejemplo : Determina las asíntotas verticales de y 4 º Determinamos el dominio de la función, pues para los valores de dónde deja de eistir puede tener una asíntota vertical. Dominio: Función racional fraccionaria no eiste si el denominador se anula 4 0; 4 D [ f ( )] 4 Luego tiene como posible asíntota vertical: =4? º A.V. en =4.? f o f? a a

3 4 4 0 Este límite nos sirve para determinar que =4 es ASÍNTOTA VERTICAL pues f y f con ellos también observamos las tendencias de la 4 función 4 Ejemplo : Determina las asíntotas verticales de y log( 4) º Determinamos el dominio de la función, pues para los valores de dónde deja de eistir puede tener una asíntota vertical. Dominio: Función logarítmica sólo eiste si luego D [ f ( )],4 Puede tener como asíntota vertical cuando se acerca a la izquierda de =4 º A.V. en =4.? f o f 4? a log( 4) log( 0) a ASÍNTOTA VERTICAL, pues f Este límite nos sirve para determinar que =4 es 4 tendencia de la función (Observar gráfica) y con el también observamos la

4 ASÍNTOTAS HORIZONTALES Las asíntotas horizontales son paralelas al eje OX: o Si eiste f k o f k entonces y=k será una asíntota horizontal. Procedimiento para determinar las asíntotas horizontales de una función Se calcula el f y f si alguno de ellos toma un valor finito k, eistirá asíntota horizontal y=k. Nota: ) ) - En el caso de funciones del tipo y ) ) horizontal si grado de ) grado de ). f f =k = eistirá asíntota En estos casos: - En el caso de funciones del tipo eponencial horizontal y=0 si 0 a y f ( ) a y f ( ) f () y a eistirá asíntota - Para determinar la posición relativa de la curva y la asíntota y=k hacemos lo siguiente: Y =f() =00 y f (00 ) =-00 y f (00) Y - K Y - K > 0 Y - K < 0 Y - K > 0 Y - K < 0 Situación relativa de la gráfica y la asíntota La gráfica esta por debajo de la asíntota La gráfica esta por debajo de la asíntota Ejemplo 4: Determina las asíntotas horizontales de y º Se calcula el f : 0 El -0 indica que la curva se encuentra por debajo de la asíntota y=0 º Tenemos dos opciones: - Calcular 0 por El +0 indica que la curva se encuentra por encima de la asíntota y=0 4

5 - O directamente calculamos la posición relativa de la gráfica y la asíntota: y Y -k 00 =00 y 0, ,0099-0<0 00 Situación relativa de la gráfica y la asíntota La gráfica esta por debajo de la asíntota = y 0,00 0,00-0> 0 00 (como se observa en la gráfica adjunta) Ejemplo 5: Determina las asíntotas horizontales de y 4 º Se calcula el f 4 Luego y= será una asíntota horizontal. º Se determina la posición relativa de la gráfica y la asíntota: =00 =-00 y y Y , y 00 4,000800, >0, >0 Situación relativa de la gráfica y la asíntota (como se observa en la gráfica adjunta) 5

6 Ejemplo 6: Determina las asíntotas horizontales de y (ejemplo ) 4 º Se calcula el f 4 Luego y= será una asíntota horizontal. º Se determina la posición relativa de la gráfica y la asíntota: =00 =-00 y Y y 00 4, y , , >0 0,9809- < 0 Situación relativa de la gráfica y la asíntota La gráfica esta por encima de la asíntota La gráfica esta por debajo de la asíntota (como se observa en la gráfica adjunta) 6

7 Ejemplo 7: Determina las asíntotas horizontales de y 8 4 º Se calcula el f 8 4 Luego y=- será una asíntota horizontal. º Se determina la posición relativa de la gráfica y la asíntota: =00 =-00 8 y Y -(-) y 00 4, y 00 00, , >0 -, < 0 Situación relativa de la gráfica y la asíntota La gráfica esta por encima de la asíntota La gráfica esta por debajo de la asíntota (como se observa en la gráfica adjunta) 7

8 Ejemplo 8: Determina las asíntotas horizontales de Nota: En este caso por no ser una función del tipo calcular f y f : º Se calcula el f 0. y : 0 0 horizontal. (como se observa en la gráfica adjunta) f : º Se calcula el ) ) y ) ) por Luego y=0 será una asíntota horizontal. º Posición relativa de la gráfica y la asíntota. =-00 0 Y -(0) y y (como se observa en la gráfica adjunta) hay que Luego no eiste asíntota Situación relativa de la gráfica y la asíntota La gráfica esta por encima de la asíntota 8

9 ASÍNTOTAS OBLICUAS Son rectas asíntotas a una función del tipo y m n siendo m 0 Si una función tiene asíntotas horizontales no tiene oblicuas. Procedimiento para determinar las asíntotas oblicuas de una función f f º Se calcula m: m y m 0 o m y m 0 º Se calcula n: n f ( ) m si n o n f ( ) m si n Nota: - Si una función tiene asíntotas horizontales no tiene oblicuas. - ) ) En el caso de funciones del tipo y ) ) eistirá asíntota oblicua si grado de ) = grado de ) +. - ) ) Si m 0 en el caso de funciones del tipo y ) ) este valor es el mismo cuando + y -, por lo tanto sólo es necesario calcular el valor cuando +. º Para determinar la posición relativa de la curva y la asíntota hacemos lo siguiente: Y =f() Y =m+n Y - Y =00 y f (00) y 00m n =-00 y f ( 00) y 00m n Y - Y > 0 Y - Y < 0 Y - Y > 0 Y - Y < 0 Ejemplo 9: Determina las asíntotas oblicuas de º Se calcula m : m Situación relativa de la gráfica y la asíntota La gráfica esta por debajo de la asíntota La gráfica esta por debajo de la asíntota y ) ) - Si m 0 en el caso de funciones del tipo y este valor es el ) ) mismo cuando + y - por lo tanto sólo es necesario calcular el valor cuando +. Por lo tanto eiste una asíntota oblicua y n n y º Se calcula el n : n ( ) 9

10 Luego y será una asíntota oblicua. Para determinar la posición relativa de la curva y la asíntota hacemos lo siguiente: =00 =-00 y 00 y.00 50, y , y Y - Y situación 00 y 50,5 ( como se observa en la gráfica adjunta) 50, , y - 49, ,5 49,5 0 La gráfica esta por encima de la asíntota La gráfica esta por debajo de la asíntota Ejemplo 0: Determina las asíntotas oblicuas de º Se calcula m : y 9 9 m 9 ) ) - Si m 0 en el caso de funciones del tipo y este valor es el ) ) mismo cuando + y - por lo tanto sólo es necesario calcular el valor cuando +. Por lo tanto eiste una asíntota oblicua y = +n n = y - º Se calcula el n : n Luego y= será una asíntota oblicua. Para determinar la posición relativa de la curva y la asíntota hacemos lo siguiente: 0

11 =00 =-00 y Y= Y - Y situación 9 00 y , y , y 00 99, y La gráfica esta por debajo de la asíntota La gráfica esta por encima 99, de la asíntota ( como se observa en la gráfica adjunta)

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