Curso Básico de Computación

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1 Curso Básico de Computación Autómatas finitos y expresiones regulares Feliú Sagols Troncoso Matemáticas CINVESTAV-IPN <fsagols@math.cinvestav.mx> 2010 Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

2 2 Autómatas finitos y expresiones regulares 2.2 Definiciones básicas Un autómata finito (AFD) consiste de un conjunto finito de estados y un conjunto de transiciones de estados a estados que ocurren con la entrada de símbolos escogidos de un alfabeto Σ. Para cada símbolo que entra existe exactamente una transición que sale de cada estado. Un estado, denotado usualmente por q 0, es el estado inicial, que marca el inicio del autómata. Se designa a algunos estados como estados finales o estados de aceptación. Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

3 Una gráfica dirigida, se llama diagrama de transición, y se asocia con un AFD de la manera siguiente: los vértices de la gráfica corresponden a los estados del AFD. Si existe una transición del estado q al estado p con entrada a, entonces existe un arco llamado a del estado q al estado p en el diagrama de transición. El AFD acepta una cadena x si la secuencia de transición que corresponde al símbolo x lleva de un estado inicial a un estado de aceptación. Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

4 Ejemplo: En el diagrama de transición de un AFD (Ver figura 2.1), el estado inicial q 0, se indica por la flecha etiquetada como inicio". Existe un solo estado final, en este caso q 0, indicado con un círculo doble. El AFD acepta todas las cadenas con un número par de 0 s y 1 s. Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

5 c 1 Inicio q q a b q 2 q 1 3 d Figura 2.1 Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

6 Formalmente denotamos a un autómata finito por una 5-tupla (Q, Σ,δ, q 0, F), donde Q es un conjunto finito de estados, Σ es un alfabeto finito de símbolos (de entrada), q 0 está en Q y es el estado inicial, F Q es el conjunto de estados finales, yδes la función de transición que transforma Q Σ a Q. Es decir,δ(q, a) es un estado para cada estado q y una entrada a. Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

7 Se dice que una cadena x es aceptada por un AFD M = (Q, Σ,δ, q 0, F) siδ(q 0, x) = p para algún p en F. El lenguaje aceptado por M, denotado por L(M), es el conjunto {x δ(q 0, x) está en F}. Un lenguaje es un conjunto regular si es un conjunto aceptado por un AFD. Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

8 Ejemplo: Considere el diagrama de transición de la figura 2.1. En notación formal el AFD queda denotado por M = (Q, Σ,δ, q 0, F), donde Q ={q 0, q 1, q 2, q 3 }, Σ ={0, 1}, F ={q 0 }, yδ es: Entradas Estados 0 1 q 0 q 2 q 1 q 1 q 3 q 0 q 2 q 0 q 3 q 3 q 1 q 2 Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

9 Suponga que es una entrada para M. Note queδ(q 0, 1) = q 1 yδ(q 1, 1) = q 0. Así δ(q 0, 11) =δ(δ(q 0, 1), 1) =δ(q 1, 1) = q 0 De esta manera 11 está en L(M). Comoδ(q 0, 0) = q 2, se tiene δ(q 0, 110) =δ(δ(q 0, 11), 0) =δ(q 0, 0) = q 2 De esta manera encontramos que: δ(q 0, 1101) = q 3 δ(q 0, 11010) = q 1 Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

10 y finalmente: δ(q 0, ) = q 0 La secuencia entera de estados es: q0q 1 1q 1 0q 0 2q 1 3q 0 1q 1 0 Así está en L(M). Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

11 2.3 Autómatas Finitos No Determinísticos Si se modifica el módelo del AFD y se permiten cero, uno o más transiciones de un estado bajo la misma entrada, entonces se llega a un nuevo módelo de autómata llamado autómata finito no determinístico (AFND). Un diagrama de transición de un AFND se muestra en la figura 2.2: Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

12 Inicio q 0 0 q 0 3 q 4 1 q 1 1 q Figura 2.2 Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

13 Una secuencia de entrada a 1 a 2 a n es aceptada por un AFND si existe una secuencia de transición, que corresponda a la secuencia de entrada, que lleva del estado inicial a algún estado final. Por ejemplo, es aceptada por el AFND de la figura 2.2 porque existe una secuencia de transiciones q 0, q 0, q 0, q 3, q 4, q 4 etiquetadas por 0,1,0,0,1. Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

14 Formalmente denotamos a un AFND por una 5-tupla (Q, Σ,δ, q 0, F), donde Q, Σ, q 0 y F son los estados, entradas, estado inicial y estados finales, respectivamente, yδ es una transformación de Q Σ a 2 Q, es decir,δ(q, a) es el conjunto de todos los estados p tal que existe una transición a de q a p. Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

15 Ejemplo: Considere el AFND de la figura 2.2, su función de transiciónδ esta dada por: Entradas Estados 0 1 q 0 {q 0, q 3 } {q 0, q 1 } q 1 {q 2 } q 2 {q 2 } {q 2 } q 3 {q 4 } q 4 {q 4 } {q 4 } Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

16 Y como entrada δ(q 0, 0) ={q 0, q 3 } δ(q 0, 01) =δ(δ(q 0, 0), 1) =δ({q 0, q 3 }, 1) = δ(q 0, 1) δ(q 3, 1) ={q 0, q 1 } Similarmente, δ(q 0, 010) ={q 0, q 3 } δ(q 0, 0100) ={q 0, q 3, q 4 } y δ(q 0, 01001) ={q 0, q 1, q 4 } Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

17 Equivalencia entre AFD y AFND Como cada AFD es un AFND se tiene que las clases de lenguajes aceptados por un AFND incluye los conjuntos regulares (lenguajes aceptados por un AFD). Recíprocamente, demostraremos que para cada AFND se puede construir un AFD equivalente que acepte el mismo lenguaje. Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

18 Teorema (2.1) Sea L un conjunto aceptado por un AFND. Entonces existe un AFD que acepta a L. Demostración. Idea de la demostración: Lo que se hace es reemplazar al conjunto de estados Q por 2 Q. De esta manera la relaciónδ: Q 2 Q se convierte en una función. Sin embargo, ahora el dominio debe ser cambiado de la siguiente manera: se reemplaza δ por la siguiente función: δ : 2 Q Σ 2 Q δ(a, s) = δ(q, s) q A Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

19 Ejemplo: Sea M = ({q 0, q 1 },{0, 1},δ, q 0,{q 1 }) un AFND donde δ(q 0, 0) ={q 0, q 1 },δ(q 0, 1) ={q 1 },δ(q 1, 0) =,δ(q 1, 1) ={q 0, q 1 }. Podemos construir un AFD M = (Q,{0, 1},δ, [q 0 ], F) que acepte a L(M) como sigue: Q consiste de todos los subconjuntos de{q 0, q 1 }. Denotamos los elementos de Q por [q 0 ], [q 1 ],[q 0, q 1 ] y. Comoδ(q 0, 0) ={q 0, q 1 }, se tiene: δ ([q 0 ], 0) = [q 0, q 1 ] Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

20 Del mismo modo, Naturalmente, δ ([q 0 ], 1) = [q 1 ] δ ([q 1 ], 0) = δ ([q 1 ], 1) = [q 0, q 1 ] δ (, 0) =δ (, 1) = Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

21 Finalmente, δ ([q 0, q 1 ], 0) = [q 0, q 1 ] ya que δ({q 0, q 1 }, 0) =δ(q 0, 0) δ(q 1, 0) = {q 0, q 1 } ={q 0, q 1 } y δ ([q 0, q 1 ], 1) = [q 0, q 1 ] ya que δ({q 0, q 1 }, 1) =δ(q 0, 1) δ(q 1, 1) = {q 1 } {q 0, q 1 } ={q 0, q 1 } El conjunto F de estados finales es{[q 1 ], [q 0, q 1 ]} Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

22 Tarea: Escribir un programa que acepte como entrada un AFND y de como salida un AFD. Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

23 2.4 Autómata Finito con movimientos-ǫ Se puede extender el modelo del AFND para incluir transiciones con entrada vacíaǫ. Por ejemplo, la palabra 002 es aceptada por el AFND de la figura 2.3 con el camino q 0, q 0, q 0, q 1, q 2, q 2 con arcos etiquetados 0,0,ǫ,ǫ,2. Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

24 0 1 2 Start ε q 0 q q 1 2 ε Figure 2.3 Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

25 Formalmente, se define un autómata finito no determinístico con movimientos-ǫ como una 5-tupla (Q, Σ,δ, q 0, F) dondeδes la función transición que transforma Q (Σ {ǫ}) a 2 Q, es decir, δ(q, a) consiste de todos los estados p tal que existe una transición etiquetada por a de q a p, donde a esǫoun símbolo en Σ. Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

26 Ejemplo: La función de transición del AFND de la figura 2.3 es: Entradas Estados ǫ q 0 {q 0 } {q 1 } q 1 {q 1 } {q 2 } q 2 {q 2 } Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

27 Denotamos por ǫ-cerradura(q) al conjunto de todos los vértices p tales que exista un camino de q a p etiquetado porǫ. Ejemplo: En la figura 2.3,ǫ-CERRADURA(q 0 ) ={q 0, q 1, q 2 }. Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

28 Sea ǫ-cerradura(p) = ǫ-cerradura(q) donde P es un conjunto de estados. Definimos a δ como: δ(q,ǫ) 1 =ǫ-cerradura(q) 2 Para w Σ y a Σ, q P δ(q, wa) = ǫ-cerradura(p) donde P ={p r δ(q, w), p δ(r, a)} 3 δ(r, a) = q Rδ(q, a) 4 δ(r, w) = q R δ(q, w) para el conjunto de estados R. Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

29 Se define a L(M), el lenguaje aceptado por M = (Q, Σ,δ, q 0, F) como{w δ(q 0, w) contiene un estado en F}. Ejemplo: Considere el AFND de la figura 2.3, δ(q 0,ǫ) = Así ǫ-cerradura(q 0 ) ={q 0, q 1, q 2 } δ(q 0, 0) =ǫ-cerradura(δ( δ(q 0,ǫ), 0)) Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

30 Entonces =ǫ-cerradura(δ({q 0, q 1, q 2 }, 0)) =ǫ-cerradura(δ(q 0, 0) δ(q 1, 0) δ(q 2, 0)) =ǫ-cerradura({q 0 } ) =ǫ-cerradura({q 0 }) ={q 0, q 1, q 2 } δ(q 0, 01) =ǫ-cerradura(δ( δ(q 0, 0), 1)) =ǫ-cerradura(δ({q 0, q 1, q 2 }, 1)) =ǫ-cerradura({q 1 }) ={q 1, q 2 } Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

31 Equivalencia entre AFND con y sin movimientos-ǫ Teorema (2.2) Si L es aceptado por un AFND con transiciones-ǫ, entonces L es aceptado por un AFND sin transiciones-ǫ. Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

32 Demostración. Sea M = (Q, Σ,δ, q 0, F) un AFND con transiciones-ǫ. Se construye M = (Q, Σ,δ, q 0, F ) donde: F {q 0 } siǫ-cerradura(q 0 ) F = contiene estados de F F en otro caso yδ (q, a) es δ(q, a) para q Q y a Σ. Note que M no tiene transiciones-ǫ. La demostración se termina demostrando por inducción en x que δ (q 0, x) = δ(q 0, x). Sin embargo, esto no es cierto para x =ǫ, porqueδ (q 0,ǫ) ={q 0 } y δ(q 0,ǫ) =ǫ-cerradura(q 0 ) Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

33 Ejemplo: Si aplicamos la construcción del Teorema 2.2 a la figura 2.3, con la siguiente función de transición δ(q, a) Entradas Estados q 0 {q 0, q 1, q 2 } {q 1, q 2 } {q 2 } q 1 {q 1, q 2 } {q 2 } q 2 {q 2 } El conjunto de estados finales F incluye a q 2 porque esta en F y también incluye a q 0, porqueǫ-cerradura(q 0 ) y F tienen un estado q 0 en común. El diagrama de transición para M se muestra en la figura 2.4. Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34

34 0 1 2 Inicio q 0,1 0 q 1,2 q 1 2 0,1,2 Figura 2.4 Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares / 34