Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa CBI. Interpolación de Cuatenios con B-Splines

Transcripción

1 nversdad Auónoma Meroolana Izaalaa CBI Inerolacón de Cuaenos con B-Slnes PRESETA Carreón Franco Aydé Rosalía Lc. en Comuacon Asesor: Dr. Leonardo Traverson Domínguez

2 Índce. Reresenacón de Bézer. Polnomos de Bernsen. Dervadas. Paramerzacón sngular.4 Algormo eraédrco. Inerolacón. B- slnes. Slnes. B-Slnes. Defncón recursva de los B- Slnes.4 El algormo de De Boor.5 El eorema fundamenal.6 Dervadas y suavdad.7 Proedades de los B-Slnes.8 Inerolacón B-Slnes.9 Inerolacón con B-Slnes cúbcos 4. Suerfces 4. Producos ensorales 4. Suerfces roduco ensoral de Bézer 4. Conversón enre las formas monomal y de Bézer 4.4 Algormo de de Caselan 4.5 Dervadas 4.6 Conexones smles C r 4.7 Inerolacón C bcúbca or rozos 4.8 Suerfces de oología arbrara. 4.9 Reresenacón de Bézer de arches rangulares. 4. Polnomos de Bernsen mulvarados. 4. Smles de Bézer 5. Cuaernos 5. Consruccón de los cuaernos 5. Inerolacón de cuaernos duales 5. Inerolacón de la are roaconal 5.4 Méodo TR 5.5 Méodo TRT Reresenacón de Bézer. Toda curva olnómca adme una reresenacón medane un olígono de Bézer. Exse una esrecha relacón geomérca cercana enre una curva olnómca y su olígono de Bézer. Ambos enen los msmos unos exremos y las angenes en esos unos concden; la curva yace en la cásula convexa del olígono. Es más, los algormos más rádos y numércamene más esables ara deslegar gráfcamene una curva olnómca se basan en su reresenacón de Bézer.

3 Polnomos de Bernsen. El cálculo de la exansón bnomal u u n n n u u n nos erme nroducr los olnomos de Bernsen de grado n, B n u : n u Reresenado en la sguene fgura ara n 4 n - u,..., n, Las sguenes roedades de los olnomos de Bernsen de grado n son moranes: Son lnealmene ndeendenes De hecho dvdendo - n n b u u or u n y usando s u/ u Obenemos n b s, lo cual mlca que b b b n Son smércos B n n u B n u Las úncas raíces son y, B n n B n ara > Forman una arcón de la undad n B n u, ara odo u Є R

4 Son osvos en, B n u >, ara u Є,. Sasfacen la relacón de recurrenca n n n n B B u ub u u B u, n n Donde B Bn y B Esa relacón de recurrenca se desrende de la dendad n n n Observacón: El cálculo de los olnomos de Bernsen de grado n se uede organzar en un esquema rangular al como se muesra en la recursón dada or la regla de la derecha: B B B B... B... B... B B B..... B Los olnomos de Bernsen B n de grado n forman una base ara el esaco vecoral de olnomos de grado menor o gual que n. Por lo ano oda curva olnómca bu de grado n ene una únca reresenacón de Bézer La ransformacón afín dea nvarane el grado de b, or lo ano bu ambén ene una únca reresenacón de grado n, en érmnos de los B n.

5 Los coefcenes b en R d se denomnan unos de Bézer y son los vérces del olígono de Bézer de bu sobre el nervalo [a,b]. os refermos a como el arámero local y a u como el arámero global de b. La reresenacón de Bézer de la curva olnómca hereda las roedades de los olnomos de Bernsen. La smería de los olnomos de Bernsen mlca donde Eso hace referenca a la rmera y segunda suma como las reresenacones de Bézer de b [a, b] y [b, a] Los exremos del segmeno de curva b[a, b] son Como los olnomos de Bernsen suman uno, bu es una combnacón afín de sus dos unos de Bézer En consecuenca, la reresenacón de Bézer es afínmene nvarane, es decr, dada una alcacón afín Ф, la curva magen Фb ene a los Фb como los unos de conrol, sobre [a, b]. Como los olnomos de Bernsen son no negavos en [,], se ene que ara odo u Є [a, b], bu es una combnacón convexa de los b. Por lo ano el segmeno de la curva b[a, b] yace en la cásula convexa de los b, al como se lusra en la sguene fgura. Observacón: sando la roedad de la cásula convexa, ara cada coordenada bu se obene una caa de acoacón ara el segmeno de curva b[a, b]. Eso es

6 Como se muesra en la fgura ara una curva lana. Dervadas La dervada de un olnomo de Bernsen de grado n es fácl de calcular. De la defncón de los olnomos de Bernsen se obene: Para unfcar la noacón hemos suueso, como anes, que B n Luego dada una curva B n n. Obenemos donde b b -b denoa la rmera dferenca haca delane, ver fgura S bu se consdera un uno, enonces b u es un vecor. Al sumarle un uno a b u se obendrá un uno. En arcular bu se denomna el rmer corógrafo de b. Alcando reedamene la fórmula ara la dervada obenemos la r-ésma dervada de b,

7 donde r b r- b - r- b es la r- ésma dferenca haca delane de b : de modo análogo se obene el segundo hodógrafo y oros de orden sueror. A arr de las fórmulas de las dervadas y de la roedad de nerolacón de los unos de conrol en los exremos obenemos el sguene resulado observado or Bézer. Las dervadas r ésmas hasa orden n, de bu en deenden de los rmeros úlmos r unos de Bézer. El recíroco de esa observacón ambén es cero. Geomércamene, eso sgnfca que las recas angenes de b en y asan or b, b, y b n-, b n, resecvamene. Los lanos osculadores de b en y son generados or b o, b, b y b n-, b n-, b n, resecvamene. La fgura muesra esa roedad. Observacón: S consderamos el olígono de conrol de una curva de Bézer bu b B n, donde u -a b, como una funcón lneal or los rozos u defndo sobre [a, b], enonces La dervada u del olígono de Bézer son los unos de Bézer de b u. Eso se lusra en la fgura ara una curva funconal. Paramerzacón sngular Consderemos la curva olnómca y su dervada

8 donde el uno ndca dervacón con reseco al arámero. S b, enonces b es cero en. Sn embargo, en érmnos de la reresenacón sngular s se obene Enonces, s b, enonces b, la reca angene de b en asa or b y b como se lusra Observacón: S b b y b la angene a b en asa or b n algormo eraédrco El calculo de las dferencas y las combnacones afnes del algormo de Caselan se ueden cambar. Concreamene, la r-ésma dervada de una curva en un uno u uede ser calculada alcando el algormo de Caselan a múllos de la dferenca k b. Como el cálculo de combnacones afnes es conmuavo se ene que el oerador de dferencas haca adelane conmua con los asos del algormo de Caselan. Por lo ano, se uede calcular la dervada r- ésma en u calculando rmero n - r asos del algormo de Caselan, segudo or r dferencas y oserormene mullcando or el facor n... n r / b-a r. Enonces resula:

9 En arcular esá fórmula nos dce que la angene y el lano osclador de b en u generados or b n-, b n- y b n-, b n-, b n-,resecvamene, al como se lusra en la fgura. A lo largo del calculo de los unos r b n-k ara odo k, a ravés de los asos del algormo de Caselan y de las dferencas haca delane se generan los unos nermedos k b, k n Todos los unos se ueden ubcar esacalmene en un esquema eraédrco, al como se lusra a connuacón ara n, en la cual la regla recursva esa dada or: c a - b y d b a. La recursón aneror no es la únca forma ara calcular los k b. Oras osbldades se obenen elmnando a o b. Eso es: c b d - y c a d. Resecvamene Cuando usamos una de esas reglas, en vez del aso corresondene a la dferenca, enonces es sufcene calcular solamene los unos de los dos esquemas rangulares dados or los unos del lado nferor zquerdo o derecho del eraedro.

10 Inerolacón En modelacón geomérca, así como ambén en oras alcacones, con frecuenca hay que enconrar exresones analícas, usualmene de curvas de las cuales no se conoce la descrcón maemáca o esá muy comlcada. En ese caso se mde o se evalúa la curva en un conuno de unos y se consruye una aroxmacón o nerolacón n conuno de n funcones C u,,c n u se dce lnealmene ndeendene sobre los valores u,,u n s la marz Es no sngular. En al caso, ara cualesquera n unos,, n Є R d exse una únca curva Que nerola los unos en los u,.e.,

11 Para verfcarlo escrbmos las condcones de nerolacón en forma marcal O de forma abrevada CXP Lo que reresena d ssemas de ecuacones lneales smuláneas ara las d columnas de X. La exsenca de la solucón se desrende de la ndeendenca de C, C n sobre u, u n Observacones: S los C son olnomos de grado n-, la marz C es nverble ara cualesquera n valores dsnos u, u n. De hecho, el ssema Cx ara una sola columna x ene solamene la solucón rval x ues el olnomo cero es el únco olnomo de grado n- con n raíces. Dos unos ueden nerolarse con una reca, res con una arábola, cuaro con una cúbca, ec.

12 B Slnes. Slnes Los slnes son curvas olnomcas or rozos connuamene dferencables hasa un orden descro. El nombre Slne es una alabra en doma ngles que sgnfca lsón elásco.esos lsones eran usados or aresanos ara crear curvas, que descrben suerfces a consrur, como cascos de barcos y fuselaes de avones. La herramena de los Slnes se desarrolla ara solvenar las lmacones de las curvas de Bezer: fala de conrol local, la laborosdad requerda ara moner connudad y el hecho de que el número de unos de conrol de una curva de Bezer mone su grado. na curva su se denomna un Slne de grado n sobre la secuenca de nodos a, a m, con a a y a < a n ara odos los osbles, s su es n-r veces dferencable en cada nodo de mullcdad r y su es un olnomo de grado n sobre cada nervalo nernodal [a, a ], ara,,m-. óese que los nodos denoan valores del arámero donde la curva camba su exresón olnómca. Tambén es común referrse a un slne de grado n como slne de orden. Las fguras muesran eemlos de slnes sobre secuencas de nodos smles. Los unos de Bezer nernos y exernos se denoan or equeños círculos blancos y negros resecvamene.

13 B-slnes En analogía a la reresenacón de Bezer de curvas olnomcas ambén es convenene exresar un slne su como una combnacón afín de ceros unos de conrol c, eso es: donde los u son funcones olnomcas or rozos con soore fno se anulan fuera de un nervalo fno y sasfacen ceras condcones de connudad.

14 Shoenberg nroduo el nombre de B-slnes ara esas funcones. Sus olnomos de Bezer se ueden obener a ravés de la consruccón de Särk.La fgura muesra un B- Slne C or rozos de grado. óese que el eorema de Särk solo se requere ara las ordenadas. Defncón recursva de los B-slnes Para nroducr la relacón de recurrenca ara defnr los B-slnes, consderamos or smlcdad una secuenca a doblemene nfna de nodos smles ales que a < a ara odo. Enonces los B-slnes se defnen a ravés de la sguene relacón de recurrenca Donde es el arámero local con reseco al soore de n- Fgura de slnes de grado, y

15 En el caso de nodos múlles los B Slnes se defnen or la msma recursón enendo en cuena la conversón r- r- /a r a s a a r La sguene fgura muesra algunos B-Slnes de nodos múlles. De la defncón de B-slnes se desrenden de forma nmedaa las sguenes roedades n n n n u es olnomca a rozos y ene grado n u es osva sobre a,a n u fuera de [a,a n ] u es connuas or la derecha El Algormo de De Boor.

16 Consdere la combnacón lneal. de B-Slnes de grado n sobre una secuencas de nodos a. Sn erdda de generaldad odemos suoner que la secuenca de nodos y la sumaora se exenden de - a. Por la forma de los soores locales de los n esa suma es semre fna ara cualquer u dado. Suonemos que u e [a n,a n, enonces sando reedamene la relacón de recurrenca ara los B-Slnes y agruando érmnos obenemos: donde los C r esán dados or las combnacones afnes oe que α Є [,] ues u Є [an,an], y or lo ano, las combnacones afnes son convexas. Ese algormo fue desarrollado or De Boor en 97. Los unos C r se ueden ordenar en el sguene esquema rangular, donde la regla de recursón es la aneror recursón afín. na consecuenca morane del algormo de De Boor es que el slne su sobre un nervalo nernodal.e. enre dos nodos consecuvos es una combnacón convexa de n coefcenes consecuvos c. Por lo ano s los c reresenan unos en un esaco afín, enonces su ambén es un uno del esaco afín. Por esa razón, los c se denomnan unos de conrol de su. Es más, el slne yace en la casula convexa de los unos de conrol, lo cual ndca que

17 los B-Slnes forman una arcón de la undad. La fgura lusra la nerreacón geomérca del algormo de De Boor dada or Gordon y Resenfeld en 974. El eorema fundamenal. Los olnomos smércos nos ermrán consderar el algormo de De Boor en un conexo más amlo. Sea un slne de grado n sobre los nodos a, y sea s[u u n ] la forma olar que concde sobre su dagonal con su sobre [a,a ]. Enonces enemos una versón más general del eorema fundamenal. Los unos de conrol esán dados or Para la demosracón consdere y Enonces, como s es mulafn y smérco se ene que

18 y en arcular Para u Є [a, a ] esa consruccón concde con el algormo de De Boor y uede ulzarse ara calcular cualquer olnomo, s [u u] de grado n. Por lo ano, cualquer olnomo de grado n uede exresarse, sobre [a, a una combnacón lneal de B- Slnes n u,, n n únca, lo que rueba la aseveracón.. Conando dmensones se verfca que la exresón es Observacones: En esa demosracón se verfco que los B-Slnes n u,..., n n u forman una base ara el esaco vecoral de odos los olnomos de grado menor o gual que n. El segmeno s del slne deermna los unos de conrol c -n,..., c. Recírocamene, odo uno c esá deermnado or cualquera de los segmenos s,...,s n, eso es, se ene La rueba aneror muesra que el olnomo smérco s n [u un] se uede calcular a ravés de la versón más general del algormo de De Boor. Es sufcene susur en la recursón α u or S m, de las n varables u,..., un concden con nodos, enonces se requere sólo n-m asos recursvos ara calcular s [u,..., u n ]. Ese cálculo se uede organzar en un esquema rangular de... n-m unos.

19 Dervadas y suavdad Debdo a que los B-slnes forman una base, la dervada de un segmeno olnomco se uede escrbr como donde los vecores d a deermnar, se ueden exresar fáclmene en érmnos de los c. De hecho denoemos or s n[u,..., u n ] el olnomo smérco de s nu y sea a n a la longud del soore del B-slne n-. Enonces se desrende del eorema fundamenal que Como los d no deenden del nervalo nernodal [a n,a n la dervada del slne evaluada en cualquer u Є R se uede exresar como donde c c c - denoa la rmera dferenca haca arás. De manera smlar se ueden obener reresenacones B-Slnes de dervadas de su de orden sueror. Eso es ambén úl ara verfcar las roedades de suavdad de los B- slnes. Proedades de los B -Slnes. Los B-slnes de grado n defndos sobre una secuenca de nodos dada, que no se anulan sobre un nervalo nernodal, son lnealmene ndeendenes sobre ese nervalo. Conando dmensones se verfca que los B-slnes n,...., m n nodos a,..., a mn forman una base ara odos los slnes de grado n con soore en el nervalo [a,a mn ] y ese conuno de nodos Análogamene, los B-slnes n,...., m n con nodos a,..., a mn resrngdos al nervalo [a n, a m ] forman una base ara odos los slnes de grado n resrngdos a ese nervalo. Los slnes forman una arcón de la undad, son n segmeno de slne s[a n, a m ] de grado n con los nodos exremos de mullcdad n

20 enen los msmos unos exremos y recas angenes en esos unos de sus olígonos de conrol Los nodos exremos a y a mn no nfluyen sobre n,...., m n [a n, a m ]. Los B-Slnes son osvos en el neror de su soore el nervalo n Los B-Slnes enen soore comaco u > ara u Є a, a n su n [a,an] La dervada de un B-Slne esá dada or La reresenacón en érmnos de B-slnes de una curva slne es nvarane bao alcacones afnes. n segmeno s [a,a ] de un slne de grado n yace en la cásula convexa de sus n unos de conrol c -n,...,c. Inerolacón B-Slnes Los Slnes se ulzan frecuenemene ara resolver roblemas de nerolacón. En arcular es de nerés la uncdad del nerolane. Sean n,..., n m B- slnes de grado n sobre la secuenca de nodos a,..., a mn y sean,.... m unos que deben ser nerolados en las abscsas u <... <u m. m n u S deseamos hallar un slne s c al que enemos que resolver el sguene ssema lneal

21 que abrevaremos C P. óese que ese ssema lneal consse de varos ssemas, que ueden ser resuelos ndeendenemene, uno ara cada columna de C. La marz se denomna marz de colocacón. El eorema Schoenberg- Whney de 95 esablece cuando el roblema de nerolacón ene solucón únca La marz es nverble s y solo s ene dagonal osva,.e. n u ara oda. oe que s las n son connuas enonces la condcón n u es equvalene a que u Є a,a n. Inerolacón con Slnes cúbcos. La marz de colocacón se uede calcular fáclmene ara el caso cúbco, n, sobre los nodos a. El B-slne u con su olígono de conrol se muesra en la fgura. Escogendo las abscsas, u,, 4,...,m, m el ssema lneal se uede escrbr. oe sn embargo que los elemenos de la rmera fla no suman. Por lo ano una meor escogencas de las abscsas de nerolacón, que conduzca a un nerolane nvarane reseco a ransformacones afnes, es la sguene: El ssema lneal en ese caso esá dado or:

22 donde a /8 y b /8 Ora alernava odría ser nerolar los unos en u ara,..., m- y dervadas refadas a y b en u y u m resecvamene. El ssema lneal que resula es Esa solucón defne un slne con dervadas rescras en los exremos y se denomna slne emorado. La fgura lusra un eemlo. En algunas alcacones son de nerés los slnes eródcos su m. Enonces c m c y se ene un ssema lneal cíclco c u su

23 La fgura muesra un eemlo. Suerfces La manera más senclla de consrur una suerfce consse en barrer una curva en el esaco, or eemlo la reresenacón de Bézer. Los unos de conrol de esa curva de esa curva se mueven a su vez sguendo curvas de Bézer, cuyos unos de conrol defnen la suerfce. La reresenacón de la suerfce or medo de esos unos de conrol ene roedades smlares a la reresenacón de Bézer undervada. Por esa razón se uede rabaar con esas suerfces alcando los algormos de curvas. Tambén, se ueden consrur volúmenes muldmensonales barrendo una suerfce o un volumen en el esaco de manera que sus unos de conrol se muevan a lo largo de dversas curvas. Análogamene se obenen mallas de conrol con roedades smlares de las reresenacones de curvas. Producos ensorales. Para demosrar como se consruye una suerfce roduco ensoral a arr de curvas, sean A u,...,a m u y B v,..., B n u Dos conunos de funcones ndeendenes y consderamos la curva

24 Cada uno de los unos de conrol de esa curva yace sobre una curva de Bézer la suerfce dada or se denomna suerfce roduco ensoral. Los roducos A B son lnealmene ndeendenes. Observacones: El roduco de dos funcones es una funcón roduco ensoral esecal La exresón uv u-v es una funcón roduco ensoral. óese sn embargo que esa exresón no es el roduco ensoral de una funcón de u y una funcón de v, ver sguene fgura. Suerfces roduco ensoral de Bézer. na suerfce olnómca bu b u, v es de grado m m, n s es de grados m y n en u y v, resecvamene. La area de ransformacones afnes u c - s d s, v c d manene nvarane el grado de b, es decr, bs, bus, es ambén de grado m en s s,. El olnomo bs, se uede consderar como un olnomo de grado n en

25 cuyos coefcenes son olnomos de grado de grado m en s. Enonces bs, ene la reresenacón de Bézer o en noacón mas comaca donde,. Los coefcenes b se denomnan los unos de Bézer de bu sobre el nervalo [c, d] [ c, d] x [c, d]. Cuando esos unos se conecan como en la fgura sguene os refermos a la confguracón resulane como la malla de Bézer de b. La varane s se denomna arámero local y u es el arámero global. Como en el caso de las curvas, las suerfces ensorales de Bézer heredan las roedades de los olnomos de Bernsen. La smería de los olnomos de Bernsen mlca donde s s,, ec. La uldad rácca de la smería consse en que ara aramerzar el msmo arche omando como orgen oro vérce, smlemene se nvere el orden de odas las flas o columnas, o de ambas. Como la curva asa or su rmer y úlmo uno de Bézer, se ene que: El borde de la malla de Bézer deermna las cuaro curvas de fronera del arche b[c, d]. Por eemlo se ene

26 En arcular, resula que Las cuaro esqunas del arche y de su malla Bézer concden, eso es: bc, d b, bc, d b n, ec. Como los olnomos de Bernsen suman uno, Sus roducos ambén forman una arcón de la undad, Por lo ano bu es una combnacón afn de sus unos de Bézer y de la reresenacón de Bézer afnmene nvarane. Como los olnomos de Bernsen son no negavos en [, ], se ene que Para odo u Є [c, d], bu es una combnacón convexa de los b Por lo ano El arche b[c, d] esá conendo en la cásula convexa de sus unos de Bézer Observacón sando la roedad de la cásula convexa ara cada comonene se obene una caa de acoacón ara el arche b [c, d], donde el mnb es el uno cuya rmera coordenada es el mínmo de las rmeras coordenadas de los b ; y de modo smlar se defnen las demás coordenadas de mnb. La defncón de maxb es análoga. Ver fgura

27 Formas olares del roduco ensoral. Sean A u,...,a m u y B v,... B n v bases ara los esacos vecorales de los olnomos, hasa grado m y n, resecvamene. Denoemos or A [u... u m ] y B [v... v n ] Las formas olares corresondenes. Enonces la suerfce roduco ensoral ene una forma olar ensoral Esa forma olar sasface las sguenes res roedades. b[u,..., u m,v,..., v n ] concde con bu,v sobre su dagonal, eso es b[u,...,u,v,..., v] bu,v eso es b[u,..., u m, v,...,v n ] es smérca en las varables u y en las varables v b[s...s m,... n] b[u... um,v... vn] ara cualesquera ermuacones s,...,sm y,...,n de u,...,um y v,...,vn, resecvamene. Los unos de Bezer de bu, v sobre un nervalo [a, b] x [c, d] se ueden obener drecamene fundamenal. Para cualquer u fo, el olnomo bv bu, v ene los unos de Bezer b u b[u.. m, c. n-. cd.. d],,..., n, Y ara cada, el olnomo b u ene los unos de Bezer b u b[a.. m- a b.. b, c.. n- c d... d]. De esa manera enemos una nueva versón ara el eorema fundamenal El olnomo bu, v del roduco ensoral cuya forma olar es b[u,..., u m, v,..., v n ] ene unos de Bezer b u b[a.. m- a b.. b, c.. n- c d... d]. sobre el nervalo [a, b] x [c, d].

28 La forma olar b[u,..., u m, v,..., v n ] del roduco ensoral se uede calcular ulzando la generalzacón de algormo de Caselau a arr de los unos bu b[u... um, c. m-. cd.. d ],,...,m, y esos a su vez, se ueden deermnar a arr de los b. Como los unos de Bezer son uncos, el olnomo bu, v de un roduco ensoral de grado m, n ene la unca forma olar b[u,..., u m, v,..., v n ]. Conversón enre las formas monomal y de Bezer La forma monomal de una suerfce ensoral olnomca Se uede exresar en forma abrevada usando la sguene noacón vecoral Donde u u, v, k k, l y m m,n. Converr bu de la forma monomal a la forma de Bezer sobre [, ] x [, ] resula sencllo. Alcando dos veces la formula de conversón se obene. Donde Smlarmene se obene la formula ara converr de la reresenacón de Bezer a la monomal Observacón: S bu s es olnomo blneal, es decr, una alcacón b afn, enonces ak ara odo k,. Por lo ano, los unos de Bezer de bu esán dados or

29 b a a a b/m, /n. Esa roedad se denomna recson blneal de la reresenacón de Bezer Algormo de de Caselan. na suerfce olnomca en la reresenacón de Bezer es, Y se uede evaluar en s s, alcando el algormo de la Caselau ara curvas, m o n veces. Eso conduce al sguene algormo ara suerfces: se el algormo de de Caselau ara calcular Observacón:. los unos y. el uno bu de la suerfce dado or Por eemlo, consdere el olnomo bs, b B s, cuya marz de Bezer aarece en la esquna sueror zquerda de la sguene fgura. Esa fgura lusra el algormo mosrando los 8 4 * asos de de Caselau ara / y res asos ara s / en la ulma fla. Cada flecha corresonde a un aso.

30 Tambén odemos alcar el algormo de de Caselau Bezer rmero a la fla de Bezer ara s / y oserormene a las columnas ara / al y como se lusra con las marces y flechas a rozos. Es más, se uede alernar arbraramene las oeracones sobre flas y columnas, como se lusra en la fgura aneror con marces y flechas uneadas, lo cual es morane ues el core del algormo vara s m es dsno de n. Dervadas. Las dervadas de una suerfce ensoral ambén se ueden obener usando los algormos ara curvas. La rmera dervada arcal de una suerfce ene la reresenacón de Bezer Donde b b, b, vea la sguene fgura Dervando reedamene se obene la formula general

31 Donde qr q-, r q, r - y m! m!n! y q q, r. En arcular, se ene que b, b, b generan el lano angene de b en u, v, y que la orsón cruzada esá dada or Ver sguene fgura B s, mn b mn b - b b b Observacón: Por la smería de los olnomos de Bernsen la roedad aneror es ambén válda en las oras res esqunas del arche defndo sobre [, ] x [, ]. Conexones smles C r El eorema de Särk conduce ambén a una condcón necesara y sufcene ara garanzar la conexón C r de dos arches bu y cu dados or mallas de Bezer b,..., b m y c,..., c m sobre [u, u ] x [v,v ] y [u, u ] x [v,v ], resecvamene: Las dervadas de b y c concden hasa orden r sobre u u s y solo s los unos B m r,,..., b m c,..., c r Forman el olígono de Bezer comueso de una curva de grado r sobre [u, u, u ] ara odo,..., n. La fgura lusra una conexón C smle ara m y n y donde u

32 Inerolacón C bcúbca or rozos. Los esquemas de nerolacón ara curvas ambén se ueden exender fáclmene a los roducos ensorales. Dados m x n unos a nerolar que corresonden a los valores de los arámeros u, v, ara,...,m y,...,n, nuesro obevo es consrur una suerfce roduco ensoral, su, v bcubca C or rozos al que su, v. En concreo, ara cada, consrumos unos de Bezer b,,...,b, que defnen el segmeno de s sobre [u, u ] x [v, v ]. Sea P [ ] la marz m x n formada or los unos de nerolacón. oese que los elemenos de P son unos y no escalares. Sean S y T las marces m x m y n x n de los esquemas de nerolacón lneales sobre las abscsas u,..., u m y v,..., v n, resecvamene. Enonces la nerolacón ensoral basada en las marces S y T se descrbe en dos asos.. nerole cada columna de P, calculando A S P.. Inerole cada fla de A, calculando B AT. Enonces los unos de Bezer buscados son los elemenos de la marz B [b ] S PT como en la sguene fgura.

33 oe que la nerolacón de las flas y de las columnas es nercambable. Eso es, or nerolacón de flas se obene C PT y or nerolacón de columnas resula enonces B S C S PT. Claramene su, v b,, y s S y T generan neroladores C, su, v es dferencable en u, y como los asos y conmuan, ambén es dferencable reseco a v. Suerfces de oología arbrara. La nerolacón roorconada or suerfces roduco ensoral es excelene ara nerolar las vérces de una malla recangular, cada nodo de la malla ncden exacamene 4 cuadrláeros. Sn embargo no oda la suerfce se uede descomoner en arches recangulares, al que sus froneras formen una malla regular. Como la fgura. En esos casos, una solucón es refnar la malla y ransformarla en una malla no recangular de cuadrláeros como en la sguene fgura.

34 Aun así, resula comlcado consrur una suerfce C con rozos recangulares que formen una malla arbrara. Paramerzacón sngular. Consdere un arche de Bezer Con una sngulardad en u, v, eso es, con b b b b al como se lusra en la fgura ara m n. Las dervadas arcales b u y b v son cero en u, v,, o sea, la aramerzacón de b es sngular en, y la exresón de Taylor de b alrededor, es de la forma Donde a a a. En general, el lano angene de b en, no esá defndo. Sn embargo, s b, b, b, enonces bu, v adme una aramerzacón regular de una vecndad de,. En arcular, en ese caso bu, v ene un lano angene ben defndo.

35 Reresenacón de Bezer de arches rangulares. La reresenacón de Bezer sobre rángulos es la generalzacón naural de la reresenacón de Bezer unvarada y es úl arcularmene en el caso de daos dsersos. Con la excecón de la roedad de varacón decrecene, báscamene odas las roedades ueden ser generalzadas. Conocendo la reresenacón de Bezer sobre un rangulo, los resulados se ueden exender fáclmene a dmensón mayor obenéndose la reresenacón de Bezer sobre un smles muldmensonal. Polnomos de Bernsen mulvarados. Debdo a su smería, la meor descrcón de los olnomos de Bernsen es en coordenadas barcénrcas. Sea A un rangulo con vérces a, a, a en R y sea u [u v w] las coordenadas barcenrcas de un uno x Є R con reseco a A. Enonces escrbmos x Au a u a v a w. El calculo de la exresón rnomal. Donde,, k, k n, conduce a los olnomos de Bernsen de grado n Esos se ueden abrevar como Donde,, k Є {,,...,n} y k n. La sguene fgura muesra dos eemlos.

36 Lsado cónco de los olnomos de Bernsen de grado n. óese que sólo dos de las res varables de los B n u son ndeendenes. Como es usual u reresena arámero local con reseco a A y x es el arámero global. Los olnomos de Bernsen en dmensón d verfcan las roedades sguenes: Los olnomos de Bernsen de grado n son lnealmene ndeendenes. Eso se verfca dvdendo b u Por u n, lo cual conduce a d b v... v d, Donde v k u k /u. Como los monomos son lnealmene ndeendenes se ene que odos los b son cero, lo cual ermna la verfcacón. Exsen n d d olnomos de Bernsen de grado n. En consecuenca dchos olnomos Forman una base ara el esaco de olnomos de grado oal n, sobre d varables Son smércos, eso es, B n u B n π π u ara cualquer ermuacón π Sus raíces yacen sobre las caras del smlex A. En arcular

37 Donde е,..., е d son las columnas de la marz dendad de dmensón d Forman una arcón de la undad Son osvos ara u >, Sasfacen la relacón de concurrenca Donde B y B n s ene alguna coordenada negava y е n- Smles de Bézer. Como los olnomos de Bernsen forman una base, oda suerfce olnomca bx ene una únca reresenacón de Bezer, Con reseco a un smles de referenca a... a d. Los coefcenes b se denomnan unos de Bezer de b y son los vérces de la malla de Bezer de bx sobre el smles A vea sguene fgura. Donde d y n. Las roedades de smería de los olnomos de Bernsen se raducen en roedades corresondenes ara las reresenacones de Bezer de suerfces: Los unos b π son los unos de Bezer de b con reseco a π - a... a d ara cualquer ermuacón π Los unos de Bezer de bx resrngdo a cualquer cara de dmensón nferor de A concde con la cara de la malla de Bezer. bx es una combnacón afín de sus unos de Bezer la reresenacón de Bezer es nvarane or ransformacones afnes bx es una combnacón convexa ara odo u.

38 La suerfce ba yace en la casula convexa de sus unos de conrol. Cuaernos. Exse un conuno de números que exende a C úmeros comleos cuya Consruccón no esá movada en la resolucón de una ecuacón. Ese conuno se denoa or H, en honor a su creador, el rlandés Wllam Rowan Hamlon y es llamado el conuno de cuaernos. El uene de Brongham cruza el canal Real de Dublín y, a smle vsa, es sólo un uene más; sn embargo, el camnane observador uede dsngur, allada en su esrucura de edra, algo semeane a la sguene relacón: I J K IJK -. Cuena la leyenda que un día soleado en el año de 84, aseaba Hamlon uno al canal Real cuando le vno a la mene la esrucura de los cuaernos. Guado or el mulso, omó su navaa y alló sobre la edra de un uene la roedad fundamenal de ésos, aquel uene era el uene de Brongham. Consruccón de los cuaernos Los cuaernos se defnen como el conuno de números de la forma H { a bi cj dk : a, b, c, d R }, en donde I, J y K son ales que I J K IJK -. Es claro que los comleos ueden denfcarse con cuaernos ara los cuales c d. La consruccón de los cuaernos no endría sendo s no exseran I, J y K con las roedades esecfcadas. na osbldad es defnr: I, J y K Dada esa consruccón, un cuaerno h Є H uede ensarse como la marz de números comleos dada or h b c d

39 a a b b c c d d a d b c. b c a d Defnmos así la suma y roduco enre cuaernos medane la arméca usual de las marces y de los números comleos. La suma y la resa de cuaernos se realzan comonene a comonene. La mullcacón de dos cuaernos es dsrbuva con reseco a la suma y se defne or las sguenes reglas de mullcacón de undades: k - k -k k -k - k Enonces el roduco Q * Q esá dado or: Q * Q c o c c c k * c c c c k c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c k Puede comrobarse roedades de un camo con excecón de la conmuavdad del roduco. Eso no nos debe sorrender ya que sabemos que la mullcacón de marces no es, en general, conmuava. Sn embargo, amoco odas las marces oseen un nverso mullcavo menras que odos los cuaernos dferenes del cero s son nverbles. En general, un conuno que osee odas las roedades de un camo exceo la conmuavdad del roduco se conoce como un anllo con dvsón o un camo asmérco. La consruccón de los cuaernos or Hamlon fue el rmer eemlo de ese o de esrucura. La exsenca del nverso mullcavo de un cuaerno no nulo uede comrobarse de manera semeane a como se realza ara los comleos como sgue. Recordemos que ara cualquer número comleo z a b se defne su norma como z a b y su conugado como z a b. Tenemos enonces zz zz z a b Recordemos que el cuaerno h a bi cj dk uede ensarse como una marz comlea a d b c b c. a d o ben como marz z z z z.

40 donde a d, b c Є C En analogía con los números comleos, defnmos la norma de un cuaerno h a bi cj dk or h a b c d y el cuaerno conugado como h a bi ci dk. z z z z Puede verse que. hh.. d c b a d c b a. h h h Ahora odemos consrur el nverso mullcavo de cualquer cuaerno h. Sea. h h h oemos que h - esá ben defndo dado que h mlca h. La roedad del nverso se cumle ueso que: h h h h h h. Inerolacón de cuaernos duales Dado que un deslazameno esacal, roacón y raslacón, uede ser reresenado or un cuaerno dual, una funcón de cuaernos duales Q : [, ] -> H[ε] reresena un movmeno connuo con arámero. Podemos consrur una curva de ese o se

41 enemos una sere de cuaernos de referenca P, con sus resecvos arámeros, y llevamos a cabo una nerolacón con ellos. Planeando meor el roblema, se enen m deslazamenos, reresenados or los cuaernos duales: θ θ P, ε, s * cos, r sn s, r R con los arámeros de emo Є R, < < : : : < m,...m. Enonces, la curva que deseamos obener debe cumlr con la condcón: Q λ P,..., m Los facores λ son arbraros, ya que la mullcacón de un cuaerno de la forma or una consane no alera el movmeno que reresena, además, los méodos que se descrben a connuacón semre resulan consanes λ Los méodos TR y TRT, ara la nerolacón de cuaernos duales, se basan en la resolucón de un ssema lneal de ecuacones. Ambos méodos realzan rmero una nerolacón de la are roaconal de los unos, es decr, de los cuaernos θ θ R cos, r sn. La dferenca radca en la forma en la que esa curva roaconal es combnada con las ares raslaconales. Inerolacón de la are roaconal. El rmer aso ara la nerolacón de los cuaernos R,,...,m es elegr los sgnos de forma adecuada ara cada uno de ellos. Eso se debe a que los cuaernos Q y -Q reresenan la msma roacón, ero sus dsancas eucldanas con reseco a algún oro cuaerno or lo general son dferenes, en ese caso elegmos los sgnos de forma al que las dsancas eucldanas enre dos cuaernos consecuvos sean las menores. En oros érmnos, s el cuaerno R cumle R R * R R R R * R R enonces se manene nalerado, s no cumle con esa desgualdad, se camba or -R. El sgno de R es arbraro. na vez que se ene la secuenca R con los sgnos correcos, se lanea y resuelve el ssema de ecuacones: m C R,,...,m que desarrollada queda

42 m m m m m R m R R C C C.. y enonces la curva de cuaernos que descrbe la are roaconal queda: m ro C Q Aunque hay que señalar que esa curva roaconal ene que ser normalzada anes de oder ser ulzada en alguna alcacón, ya que en general la norma de Q k ara algún k dferene de los arámeros del movmeno no ene norma unara, aunque s es muy cercana a. Méodo TR Ese méodo consruye la curva de cuaernos duales Q comonendo la curva roaconal Q ro con una raslaconal Q ras l de la sguene forma: Q Q rasl * Q ro Donde, m ranl Q ε enonces, la exresón m ene que nerolar a las candades de s de los deslazamenos, es decr, se requere resolver el ssema de ecuacones: m o s,,...,m na caracerísca de ese méodo radca en que las ares roaconal y raslaconal son comleamene ndeendenes y or lo ano se eva el uso de las exresones. Méodo TRT Ese méodo es mucho más elaborado que el aneror ya que realza la combnacón de Q ro con dos segmenos raslaconales Q rasl y Q rasl de la sguene forma: * * Q Q Q Q rasl ro rasl donde

43 ,, l rasl P Q ε,, l rasl P Q ε o smlfcando la noacón l rasl Q ε l rasl Q ε Enonces, desarrollando el roduco se ene * * l m l C Q ε ε 4 4 * * * X Y XY X Y Y X Y X ε ε ε ε ε ε ε ε y or lo ano odemos hacer las asocacones, Q 4 Q " Y X ara oder obener las ares roaconal y raslaconal 4 4 Q Q Q Ro * Q Q Q Trasl ero como TraslQ debe de ser un cuaerno dual que reresena una raslacón, debe de ener la forma Q v, ε,v y enonces obenemos la exresón ara los vecores de raslacón corresondenes: X Y V 8 8 X Y X Y enonces, evaluando en los momenos, los arámeros del movmeno, se uede formar un ssema lneal usando los unos s de que ndcan la raslacón en :

44 s Y X,,..., m ero como es gual a, ya que esamos nerolando cuaernos unaros, odemos rescrbr el ssema como: X Y s ; ; : : : ;m 4 Anes de susur las exresones ara X, Y y en la ecuacón aneror, hay que noar que como los cuaernos R son consanes, odemos reemlazar, el roduco de cuaernos Y e R Y er or el roduco marcal R Y T T que desués uede ser exanddo al esablecer el ssema lneal anes menconado. Enonces, el ssema lneal que nos erme enconrar la are rasnaconal queda l l s R,... m De ese ssema uede noarse que como enemos l ncógnas y l ncógnas,debemos ener la sguene gualdad l l m ara que el ssema ueda ener solucón únca. Eso nos lleva a esablecer que l y l deben cumlr la sguene relacón l l m- Enonces, ara ener un eemlo concreo, s se enen ocho oscones a nerolar s, s 7, se uede hacer l l y al escrbr el ssema en la forma A s usando B-lnes de grado, se ene: a

45 s s s s s s s s donde reresena a R ; : : : ; 7 El ssema conene algunas marces como coefcenes, sn embargo, s se escrbe de la sguene forma l l s R I,,..., m donde I es la marz dendad de X, se ve nmedaamene que uede ser exanddo de un ssema de dmensón m a uno de dmensón m. na vez que ya se enen las dos ares raslaconales del movmeno se combnan con la are raslaconal según y al fnal se alcan las formulas ara obener la are raslaconal defnva.