CRITERIOS DE CONVERGENCIA

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1 CRITERIOS DE CONVERGENCIA 1.- CRITERIO DE COMPARACIÓN ( MEDIANTE ACOTACIÓN ) Sea una Serie de Términos positivos, y una Serie ( Auxiliar ) de términos positivos. P Si œ n 0 ù y CONVERGE CONVERGE P Si œ n 0 ù y DIVERGE DIVERGE [ Para aplicar este criterio, mayoraremos con una Serie Convergente y minoraremos con una Serie Divergente, pues de los contrario no obtendremos criterio para ] DEMOSTRACIÓN i) Si œ n 0 ù y CONVERGE Al ser CONVERGENTE Como es monótona creciente ( es de términos positivos ) y Acotada Superiormente S n # S' œ n 0 ù Es Sucesión CONVERGENTE ES UNA Serie CONVERGENTE ii) Si y DIVERGE Al ser DIVERGENTE de términos positivos, así, $ = +4 DIVERGE En casos de aplicación práctica de este criterio debemos indicar que, con las hipótesis del criterio Criterios de Convergencia Página 1

2 * Si œ n 0 ù y DIVERGE el criterio no decide nada acerca de œ n 0 ù DIVERGE y también * Si œ n 0 ù y CONVERGE el criterio no decide nada acerca de œ n 0 ù DIVERGE y también 2. CRITERIO DE COMPARACIÓN ( Mediante límite ) Sea una serie de términos positivos. Si : k 0 ú + # k œ n 0 ù Converge CONVERGE Si : k 0 ú + $ k œ n 0 ù Diverge DIVERGE Las demostraciones son muy sencillas: En efecto : Si k 0 ú + / # k œ n 0 ù a n # ka b n œ n 0 ù. Como CONVERGE CONVERGE Aplicando el primer criterio de comparación CONVERGE Si k 0 ú + / $ k œ n 0 ù a n $ ka b n œ n 0 ù. Como DIVERGE DIVERGE Aplicando el primer criterio de comparación DIVERGE Establezcamos el resultado con la estructura operativa del CRITERIO Sea una serie de términos positivos y una serie auxiliar de terminos positivos Sea Criterios de Convergencia Página 2

3 1. Si R 0, 4 y Tienen el mismo carácter 2. Si R = 0 y CONVERGE CONVERGE 3. Si R = 4 y DIVERGE DIVERGE Demostración. 1.- Sea R 0 y CONVERGE Por definición : œ g > 0 n 0 ( g) / si n $n 0 < g ] - g < < g ] ] œ n $n 0 en virtud de la comparación mediante acotación CONVERGE y por tanto CONVERGE. Si de la desigualdad œ n $n 0 elegimos y DIVERGENTE a n > (R - g) b n DIVERGE y DIVERGE 2.- = 0 y CONVERGE Por definición : œ g > 0 n 0 ( g) / si n $n 0 < g ]( ) < g en virtud del criterio de comparación Como CONVERGE CONVERGE CONVERGE. 3.- = 4 y DIVERGE Por definición : Criterios de Convergencia Página 3

4 œ k 0 ú + 0 n 0 ( k) / si n $n 0 > k ] utilizando el criterio de comparación Como DIVERGE DIVERGE DIVERGE CRITERIO DEL COCIENTE En efecto, sea por definición, œ g > 0 n 0 ( g) / si n $n 0 < g ] - g < < g ] ] œ n $n 0, en particular, tomemos un> 0 / R + g 1 < 1 n 1 ( g 1 ) / œ n $n 1.. Si llamamos r = R + g 1 < 1 œ n $n 1 a n+1 < r A a n a n+2 < r A a n+1 < r 2 A a n... a n+p < r p A a n Consideremos la Serie = que es una Serie Geométrica cuya razón r < 1 y por tanto CONVERGE CONVERGE CONVERGE CONVERGE ( Añadiendo un nº finito de términos ) * Si R 0 ú Efectuamos una demostración análoga a la anterior con g 1 / R - g 1 > 1 y una construcción idéntica. Criterios de Convergencia Página 4

5 * Si * Si R = 1 pero R A partir de un n 0 en adelante a n+1 $ a n con lo cual es una Sucesión monótona creciente de términos positivos no puede tener límite cero DIVERGE. CRITERIO DE LA RAÍZ Demostración * R < 1 œ g > 0 n 0 ( g) / si n $n 0 < g ] - g < < g ] En particular, sea g 1 > 0 / R + g 1 < 1 n 1 si n $ n 1 ] Es una Serie Geométrica CONVERGENTE ( R + g 1 < 1 ) CONVERGE CONVERGE * R > 1 R 0 ú Con el mismo razonamiento anterior g 2 > 0 / R - g 2 >1 n 2 si n $ n 2 Es una Serie Geométrica DIVERGENTE ( R - g 2 = R - g 2 > 1 ) DIVERGE Criterios de Convergencia Página 5

6 DIVERGE * R > 1 R = 4 œ k > 0 n 0 ( g) / si n $ n 0 > k, en particular, para un k 1 > 1 n 1 ( g) / si n $ n 1 > k ] a n > k n es una Serie Geométrica DIVERGENTE ( k = k > 1 ) mediante Criterio de Comparación DIVERGE DIVERGE *, R = 1 +, R Si R 61 + $ 1 a partir de un n 0 en adelante a n $ 1 n a partir de un n 0 DIVERGE CRITERIO DE KUMMER Sea una Serie de términos positivos, y sea una Sucesión de números reales positivos. Sea si k $ 0 / K n $ k œ n 0 ù CONVERGE si K n # 0 œ n 0 ù DIVERGE DIVERGE Veamos : 1. k $ 0 / K n $ k œ n 0 ù Si K n $ k k n A a n - k n+1 A a n+1 $ k A a n+1 œ n 0 ù Criterios de Convergencia Página 6

7 Sumando Asignando a n los valores n = 1,..., p-1 k 1 A a 1 - k 2 A a 2 $ k A a 2 k 2 A a 2 - k 3 A a 3 $ k A a 4 k 3 A a 3 - k 4 A a 4 $ k A a 5... k p-1 A a p-1 - k p A a p $ k A a p+1 k 1 A a 1 - k p A a p $ k A ( a 2 + a a p ) k ( a 2 + a a p ) # k 1 A a 1 - k p A a p # k 1 A a 1 œ p 0 ù Sea a la sucesión de Sumas Parciales asociada a tendremos que S p # œ p 0 ù es una Sucesión de términos positivos y acotada Superiormente CONVERGENTE es una Serie Convergente. 2. si K n # 0 œ n 0 ù y DIVERGE œ n 0 ù Como Es DIVERGENTE y es de términos positivos k n+1 A a n+1 $ k n A a n œ n 0 ù k n+1 A a n+1 $ k 1 A a 1 k 1 A a 1 > 0 Como DIVERGE aplicando el CRITERIO DE COMPARACIÓN CONVERGE Versión mas utilizada del criterio de Kummer Criterios de Convergencia Página 7

8 1. Si existe CRITERIO DE RAABE Demostración : Basta con tomar k n = n en el criterio de Kummer CRITERIO DE LA INTEGRAL Sea f una función real, continua, positiva, monótona decreciente en un intervalo [a, +4 [, =0 si y tienen el mismo carácter. Demostración Sea " = [a] "# a < " + 1 Consideremos un intervalo de la forma [ m, m+1 ] con m $ " + 1 Como f es decreciente œ x 0 [ m, m+1 ] f(m+1) # f(x) # f(m) Además, f es POSITIVA ( Área ) Criterios de Convergencia Página 8

9 Si tomamos m = " + 1, " +2,..., n... Sumando término a término : * Si es CONVERGENTE existirá y será FINITO œ n 0 ù Las Sumas parciales de la Serie están ACOTADAS superiormente es una SERIE CONVERGENTE * Si es DIVERGENTE = +4 y por tanto... CRITERIO DE COMPARACIÓN Mediante LÍMITE. Sea una Serie de términos positivos y una Serie (Auxiliar ) de términos positivos Criterios de Convergencia Página 9

10 CRITERIO DE PRINGSHEIM Sea una Serie de términos positivos y Demostración. Basta con aplicar el Criterio de Comparación mediante límite a las Series y (Serie Armónica ) TEOREMA Dada una serie semiconvergente puede ser REORDENADA del tal modo que la serie obtenida sea : 1. CONVERGENTE y tenga por Suma un número " 0 ú 2. DIVERGENTE 3. NO SUMABLE Demostración. * Sea una Serie Semiconvergente y " 0 ú Sean las Series Auxiliares [ formada por los términos positivos de ORDENADOS en la forma en la que aparecen en ] y ( idem.. Por los términos negativos cambiados de signo y también ordenados ) Ambas series son de TÉRMINOS POSITIVOS Criterios de Convergencia Página 10

11 es SEMICONVERGENTE Sea " 0 ú un número real cualquiera Es DIVERGENTE y de términos positivos la Sucesión de Sumas parciales asociada, no está acotada superiormente [ œ k 0 ú n 0 / k ] En particular, para " 0 ú tomemos n 1 0 ù / S' 1 # S' 2 #... # # " < Es la primera Suma parcial de en ser mayor que ". " < p 1.+ p Es DIVERGENTE y de términos positivos RESTANDO de p 1.+ p un nº suficiente de términos q 1, q 2,... Obtendremos una cantidad MENOR que ". Sea n 2 la menor de ellas / p 1.+ p q 1 - q < " < p 1.+ p Añadamos ahora los términos positivos sucesivos hasta conseguir sobrepasar de nuevo a " y sea n 3 el menor de estos números / p 1.+ p q 1 - q > " Restemos ahora el número imprescindible de términos de sucesivos a los anteriores para que el número obtenido sea inferior a ", sea n 4 / p 1.+ p q 1 - q < " < (I) Prosiguiendo de manera indefinida, construimos una nueva Serie con los términos de Criterios de Convergencia Página 11

12 p 1.+ p q 1 - q Si llamamos a la Sucesión de Sumas parciales de esta nueva serie = - < 1 # n # n 1 + n 2-1 = - < n 1 +n 2 # n # n 1 + n 2 +n 3-1 = - < n 1 + n 2 +n 3 # n #... así sucesivamente Si 2. Para obtener a partir de la Serie dada una Serie divergente hacia 4 reordenando términos... p 1.+ p / p 1.+ p > q p 1.+ p q 1 > 1 p 1.+ p q q 2 >2 Si llamamos a la Sucesión de Sumas parciales obtenidas, tendremos que : es tal que La Serie obtenida DIVERGE Análogamente podemos reordenar las términos de la Serie para obtener una Serie hacia -4 Podemos descubrir una Serie reordenada como CONVERGENCIA CONDICIONAL E INCONDICIONAL Criterios de Convergencia Página 12

13 Una Serie es INCONDICIONALMENTE CONVERGENTE si es CONVERGENTE y cualquier Serie deducida de ella mediante una reordenación cualquiera de sus términos, también lo es. es CONDICIONALMENTE CONVERGENTE si es CONVERGENTE pero existe una reordenación de sus términos para la cual la Serie es divergente. ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE ] SEMICONVERGENTE ] CONDICIONALMENTE CONVERGENTE TEOREMA Sea una Serie de términos positivos es incondicionalmente convergente. la Serie. La Suma de una Serie de términos positivos no se modifica al reordenat de cualquier manera los términos de * Sea una Serie de términos positivos y sea la serie resultante de practicar una reordenación cualquiera de sus términos. Sean las Sucesiones de sumas parciales asociadas a y a respectivamente. Sea m = máx { F(j) j = 1, 2,... n } S' n # S m Como es CONVERGENTE está acotada superiormente por la Suma de la Serie, S œ n 0 ù m 0 ù / S' n # S m # S Está acotada superiormente por S Es CONVERGENTE y su suma S # S Las Series de términos positivos son incondicionalmente convergentes. Como es una serie de términos positivos CONVERGENTE y son suma S podemos obtener mediante la reordenación recíproca de F, F -1 S # S S = S' Criterios de Convergencia Página 13

14 TEOREMA Una Serie de términos reales cualesquiera es INCONDICIONALMENTE CONVERGENTE ] ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE. Por reducción al absurdo: Sea, a n 0 ú una serie INCONDICIONALMENTE CONVERGENTE si No fuese absolutamente convergente sería una serie semi.convergente, para la cual existirían reordenaciones que la harían perder el carácter de convergente, en contra de la conver.? Z Si es ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE Las Series Asociadas y serán convergentes. Reordenando y Serán convergentes Convergente incondicionalmente convergente SERIES Descomposición de factoriales Se suman con esta técnica aquellas series cuyo numerador es un polinomio en n y el denominador es una expresión con factorial ( n!, (n+1)!, etc ) La técnica adecuada se apoya en un resultado del cálculo infinitesimal, procedente del desarrollo en Serie para la función f(x) = e x Como tomando n = 1 es decir : Planteemos pues, la técnica adecuada para sumar,,... * Sea p = grado P(n) Como hemos de expresar en una SUMA de Factores propondremos como suma de p+1 factores : Criterios de Convergencia Página 14

15 ... P-términos * Hallar los coeficientes * A continuación, ajustar cada una de las p+1 series obtenidas al desarrollo conocida. P Sumar los valores obtenidos NOTA En el numerador, se empieza la factorización en sentido descendente con el elemento del denominador que aparece con el factorial Ejemplo : Serie [ Se comprueba que la Serie es Convergente ] Suma por descomposición en factoriales Tal como hemos propuesto : Igualando coeficientes = = = Desarrollando cada suma por separado : = e ( pues ) Criterios de Convergencia Página 15

16 Veamos otro ejemplo : Obtener la Suma de la serie Convergente : * Suma por descomposición en FACTORIALES : grado de 3n + 2 = 1 Descomposición propuesta : Por tanto : Un poco mas sencillo verdad? SUMA CON TÉRMINOS DE LA ARMÓNICA Recordemos que la suma de los n primeros términos de la Serie Armónica viene dada por la expresión H n = log n + C + g n Donde C es la llamada constante de Euler-Masqueroni g n es un infinitésimo ( ) Criterios de Convergencia Página 16

17 A partir de la cual notaremos Suma n.primeros términos armónica H n Suma primeros términos pares armónica hasta 2n Suma primeros términos impares armónica hasta 2n-1 El proceso de suma con ayuda de esta técnica consiste en descomponer la fracción en suma de fracciones simples, a continuación efectuar la suma de los n primeros términos ( o los que convenga ) y, a continuación, supuesto que los términos no se anulan, aplicar la fórmula que hemos obtenido. Ejemplo : Estudiar el carácter y estudiar la convergencia de la serie : i) Convergencia Convergencia absoluta Como = Aplicando el criterio de Pringsheim Sea " 0 ú / La Serie Converge Es absolutamente Convergente es CONVERGENTE ii) Suma Propongamos en primer lugar, una descomposición en suma de fracciones simples Si 1 = A (n+2) + B (n-1) Criterios de Convergencia Página 17

18 falta acabar Ejemplo : Estudiar el carácter y estudiar la convergencia de la serie : i) Convergencia Al ser una Serie Alternada, estudiemos la convergencia absoluta = Aplicando el criterio de Pringsheim Sea " 0 ú / La Serie Converge Es absolutamente Convergente es CONVERGENTE ii) Suma Propongamos en primer lugar, una descomposición en suma de fracciones simples Si 1 = A (n+3) + B (n+2) = = Damos valores a n Criterios de Convergencia Página 18

19 ... Criterios de Convergencia Página 19

20 Criterios de Convergencia Página 20