Criterios de Convergencia

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1 Semaa - Clase 3 7/09/08 Tema : Series. Itroducció Criterios de Covergecia Sólo podremos calcular la suma de alguas series, e la mayoría os será imposible y os tedremos que coformar co saber si coverge o o, o peor aú, si ua suma parcial coverge si poder calcular el valor de esa suma. Los térmios de ua serie puede ser positivos, egativos o úmeros complejos y las series puede coverger (decrecer o crecer hacia u valor fiito) diverger (icremetar o decrecer idefiidamete) u oscilar, Existe ua serie de criterios y teoremas de aplicació geeral que expodremos a cotiuació. 2. Covergecia Absoluta o Codicioal Para estudiar la covergecia de ua serie dada i.e. a i siempre podremos asociarle otra de la forma a i, es decir la serie de valores absolutos, co lo cual garatizamos la positividad (y que sea úmeros reales) de los térmios de la serie. Si la serie de los valores absolutos a i coverge, etoces tambié covergerá la serie origial a i y diremos que esa serie es absolutamete covergete. Si embargo si la serie de valores absolutos diverge, o podremos decir que a i siempre coverja. De hecho si coverge diremos que es codicioalmete covergete y, co u rearreglo de sus térmios podrá coverger, diverger u oscilar. Teorema: Si a coverge, etoces tambié coverge a y se tiee que a a = = Para ua serie de térmios positivos el criterio de covergecia más ituitivo (ecesario pero o suficiete) es que e límite cuado el térmio -ésimo tieda a cero. Co lo cual teemos que si esta codició o se satisface, la serie diverge. Teorema: Si la serie a coverge, el térmio -ésimo tiede a cero, esto sigifica que: lím a = 0. Héctor Herádez / Luis Núñez Uiversidad de Los Ades, Mérida

2 Semaa - Clase 3 7/09/08 Tema : Series Notemos que para la serie = / se tiee que lím = 0, si embargo, como ya vimos ateriormete, esta serie diverge. Esto sigifica que el teorema sumiistra ua codició suficiete para que exista la divergecia de la serie, es decir, si para el térmio -ésimo de la serie a o se cumple que tiede a cero cuado, etoces la serie a diverge. 3. Criteterio de Comparació E segudo lugar de simplicidad está el criterio de comparació etre u par de series de térmios positivos. Si coocemos el comportamieto de ua de ellas comparamos el de la otra. Esto es, supoga que cosideremos dos serie, ua de prueba =0 a y ua serie coocida y covergete (o divergete) =0 ã, etoces Si ã coverge y se tiee que ã a =0 ã =0 =0 a a coverge =0 Por otro lado Si ã diverge y se tiee que 0 ã a =0 ã =0 =0 a a diverge =0 Para ilustrar esta estrategia cosideremos las siguietes series s = = E ese caso compararmos co ua serie coocida =0 =! +! = 0! +! + 2! + 3! + = + + 2! + 3! + = + e }{{} e y es claro que la serie idicada o es otra cosa que e, co lo cual la serie claramete coverge y su suma es + e. Héctor Herádez / Luis Núñez 2 Uiversidad de Los Ades, Mérida

3 Semaa - Clase 3 7/09/08 Tema : Series 4. Criterio de la Raíz Dada ua serie de térmios positivos s = =0 a, el criterio de la raíz (o tambié de la raíz de Cauchy) puede resumirse e el siguiete par de afirmacioes. Si: (a ) ρ < para u suficietemete grade y ρ idepediete de = coverge (a ) > para u suficietemete grade y ρ idepediete de = diverge (a ) = para u suficietemete grade y ρ idepediete de = (?) Otra forma, más compacta de expresarlo sería Si ρ = lím (a ) etoces: ρ < = coverge ρ > = diverge ρ = = (?) Es fácil ver que si utilizamos el criterio de comparació, etoces cuado ρ < la serie coverge (a ) ρ a ρ cuado ρ la serie diverge Dada la siguiete serie: por lo tato: [ ] (a ) = = + La serie coverge. =0 5. Criterio de D Alembert [ ] 2 + ( ) + ρ = lím ( +, ) = e <. Dada ua serie de térmios positivos s = =0 a, el criterio de D Alembert o tambié llamado criterio del cociete, compara el valor relativo de u térmio de la serie co el que Jea Le Rod D Alembert París, Fracia Matemático fracés pioero e el estudio de las ecuacioes difereciales y su utilizació e la Física, e particular e el estudio de los fluídos Más detalles e Héctor Herádez / Luis Núñez 3 Uiversidad de Los Ades, Mérida

4 Semaa - Clase 3 7/09/08 Tema : Series le precede. Este criterio se resume tambié fácilmete ρ < = coverge ( ) a+ Si ρ = lím etoces: ρ > = diverge a ρ = = idetermiado Nótese que si ρ < ρ < r < a + a < r a + = a r Etoces para u N <, pero tambié suficietemete grade, tedremos que los térmios de la serie a partir de ese N será a N + a N+ + a N+2 + a N+3 = a N + ra N + r 2 a N + r 3 a N = a N ( + r + r 2 + r 3 + r 4 ) y que o es otra cosa que ua serie geométrica co razó r < y por cosiguiete coverge. Es claro que u argumeto similar se puede utilizar para probar la divergecia. U ejemplo imediato lo costituye la serie = co lo cual tiee que coverger. = [ ρ = lím 2 2 ( = 2 2 )] = 2 <, + = 2 ( + ), 6. Criterio de la Itegral de Maclauri El criterio de la Itegral de Maclauri 2 es otro criterio de comparació, pero esta vez se compara la serie co ua itegral. Así supodremos que existe ua fució f(x) cotíua y moótoamete decreciete para u valor de x x 0 y que, adicioalmete, se cumple que para algú valor etero x = el valor de la fució es igual a u térmio de la serie. Esto es f() = a. Etoces se tedrá que si el límite lím N N dx f(x) existe y es fiito, etoces = a coverge. Por el cotrario si el límite o existe o es ifiito, etoces diverge. 2 Coli Maclauri 698, Argyllshire, Escocia Ediburgo, Escocia. Matemático escocés quie escribió el Tratado de los Fluxioes el primer tratado que expuso de ua maera sistemática y rigurosa el cálculo diferecial ideado por Newto. Este tratado fue como respuesta a la crítica de Berkeley sobre la falta de rigurosidad de los métodos Newto. Héctor Herádez / Luis Núñez 4 Uiversidad de Los Ades, Mérida

5 Semaa - Clase 3 7/09/08 Tema : Series La idea de este criterio es comparar la itegral de f(x) (es decir, el área bajo la curva) co la suma de rectágulos que represeta la serie. Etoces, la suma parcial Pero: s i > i+ dx f(x) s i = i a = i+ i f(). s i a < i dx f(x) dode a = f(), co lo cual, al hacer i tedremos que si el límite de la itegral existe, etoces la serie = a coverge. s dx f(x) a = = dx f(x) s i i dx f(x) + a dx f(x) + a. U ejemplo imediato podría ser determiar si la siguiete serie coverge N ( ) ( ) = 3 2 f(x) = ( ) 2 x 3 2 lím dx ( ) N 2 x 3 2 lím N N 3 = co lo cual claramete coverge Este criterio es muy útil para acotar (etre u ífimo y u supremo) el residuo de ua determiada serie. Vale decir a = = N a + = =N+ a } {{ } Residuo N+ dx f(x) =N+ a N+ dx f(x) + a N+ 2. Comprobar que la fució Zeta de Riema, ζ(p) = = p, efectivamete coverge. E este caso f(x) = x p, etoces x p+ ζ(p) = p dx x p p+ Para p = = l x Para p = y es claro que para p > el límite existe y es fiito, por lo tato, la fució Zeta de Riema, ζ(p) = = p, coverge para p >. Héctor Herádez / Luis Núñez 5 Uiversidad de Los Ades, Mérida

6 Semaa - Clase 3 7/09/08 Tema : Series 7. Series alterates y covergecia codicioal Hasta ahora todos los criterios que aalizamos era para ua serie de térmios positivos s = =0 a por lo cual todos esos criterios os llevaba al cocepto de series absolutamete covergete. Esto es, si =0 a coverge, etoces =0 a tambié coverge. Si embargo, muchas veces os tedremos que coformar co que ua serie sea simplemete covergete y o requerir que sea absolutamete covergete. Este es el caso de las series alterates. Series e las cuales se alteras térmios positivos y egativos. So series del tipo a a 2 + a 3 a 4 + a 5 a a 2 a 2 + = ( ) + (a ) co a 0 Etoces, si la serie es moótoa decreciete para u suficietemete grade teemos lo que se deomia el Criterio de Leibiz: a > a > N ( ) + (a ) coverge, si: = a 0 = cuado De otro modo la serie oscilará. Estas codicioes so fáciles de ver si reorgaizamos la serie de los primeros 2m térmios, a partir de u determiado N par y N >, etoces s 2m = (a N a N ) + (a N 2 a N 3 ) + + (a N+2m 2 a N+2m ) dode todos los parétesis so positivos, co lo cual s 2m > 0 y se icremeta al icremetar m. Ahora bie, si rearreglamos la serie tedremos que s 2m = a N (a N a N 2 ) (a N 3 a N 4 ) + (a N+2m a N+2m 2 ) a N+2m dode, otra vez los parétesis so positivos y es imediato comprobar que etoces s 2m < a para todo m. Como a 0 cuado, la serie alterate ecesariamete coverge. La series alterates ya era coocidas desde hace mucho tiempo, como por ejemplo la serie = a = x x2 2 + x3 3 x ( ) ( ) x +. Esta serie coverge y su suma es log( + x) para < x. Para x positivo es ua serie alterate y e el caso particular de x = se tiee: ( ) ( ) + = log(2) Héctor Herádez / Luis Núñez 6 Uiversidad de Los Ades, Mérida

7 Semaa - Clase 3 7/09/08 Tema : Series Otra relació iteresate es: ( ) ( ) 2 Teorema: alterate + = π 4 Si {a } es ua sucesió moótoa decreciete co límite igual a cero, la serie ( ) a, coverge. Si S es su suma y s su suma parcial -ésima, se tiee que: = 0 < ( ) (S s ) < a + para. Estudiemos la serie ( ) ( ) = , = Sabemos que / es ua sucesió moótoa decreciete y que: lím = 0, por lo tato, de acuerdo al teorema aterior la serie coverge; como ya hemos visto. Sea a 2 = 2 y a 2 = Por otro lado, se tiee tambié que: + dx x para =, 2, 3,.... lím a = 0, y que a es moótoa decreciete, por lo tato la serie ( ) a, = Héctor Herádez / Luis Núñez 7 Uiversidad de Los Ades, Mérida

8 Semaa - Clase 3 7/09/08 Tema : Series coverge. La suma parcial (2 ) se puede escribir de la siguiete maera: y obteemos s 2 = 2 dx x dx 2 x + + dx x + = s 2 = dx x = l(). lím ( ) l() = γ, dode γ se cooce como la costate de Euler, γ 0, Héctor Herádez / Luis Núñez 8 Uiversidad de Los Ades, Mérida

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