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1 MA5 Clase 3: Series de térmios positivos. Criterios de covergecia. Series de térmios positivos Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos Gozález La característica fudametal de ua serie cuyos térmios so todos positivos es que su sucesió de sumas parciales siempre es o decreciete, co lo cual es suficiete co demostrar que dicha sucesió es acotada para establecer la covergecia de la serie. Teorema Ua serie de térmios positivos es covergete si, y sólo si, su sucesió de sumas parciales es acotada superiormete. E este caso, la suma de la serie es ua cota superior de la sucesió de sumas parciales. Demostració: Sea a ua serie tal que a 0, para cada, y supogamos que la sucesió de suma parciales (s ) es acotada superiormete. Como s + = s +a + s, ya que a + 0, de dode la sucesió (s ) es tambié o-decreciete. E virtud de la Proposició de la clase, teemos que (s ) coverge. Ejemplo Demuestre que la serie es covergete.! Solució: Veamos que su sucesió de sumas parciales es acotada. E efecto, para cada k, k! k, co lo cual k! y ahora sumado estas desigualdades para k variado de hasta, teemos que k s = k= k! k= k = ( ) = ( ) <, co lo cual! s. Defiicio Sea (a ) y (b ) sucesioes cualesquiera. Decimos que (b ) es u reordeamieto o permutació de (a ), si existe ua biyecció π : N N tal que a π() = b, para todo. E este caso, tambié decimos que la serie b es u reordeamieto o permutació de Departameto de Matemáticas b es ua subserie de a si (b ) es ua subsucesió de (a ). a. Decimos que

2 Es claro que la relació ser ua permutació de es ua relació de equivalecia, es decir, se cumple las tres codicioes siguietes: Es reflexiva: Toda serie es ua permutació de si misma. (porque la idedidad I : N N es ua biyecció). Es simétrica: Si (b ) es ua permutació de (a ) etoces (a ) es ua permutació de (b ) (porque la fució iversa π existe y es biyectiva, siempre que π es biyectiva). Es trasitiva: Si (a ) es ua permutació de (b ) y (b ) es ua permutació de (c ), etoces (a ) es ua permutació de (c ) (porque la composició de fucioes biyectivas es biyectiva). Teorema Ua serie de térmios positivos coverge si, y sólo si, cada uo de sus reordeamietos coverge. E este caso, todas las series e cuestió coverge al mismo valor. Demostració: Sea la suma S = a ua serie de térmios positivos covergete. Etoces,e virtud del teorema, a existe y s S, para cada. Sea Departameto de Matemáticas b algú reordeamieto de la serie Para cada k, los térmios b,b,...,b k so tambié térmios de la sucesió (a ), co lo cual existe u etero m(k) k tal que los térmios b,b,...,b k aparece e la lista a,a,...,a m(k). Por lo tato, k j= es decir, la sucesió de sumas parciales de b j m(k) j= a j = s m(k) S, a. b está acotada superiormete por S. Como, además, los térmios de (b ) so positivos, teemos que la serie b coverge y su suma es meor o igual que S. Este argumeto fucioa e setido cotrario para demostrar que tambié la suma de o igual que S y, por lo tato, S = b. b es mayor Corolario Ua serie de térmios positivos coverge si, y sólo si, cada ua de sus subseries coverge. Demostració: Procedemos por reducció al absurdo. Sea a ua serie de térmios positivos y supogamos que existe ua subsucesió (a k ) k= tal que k=a k diverge. Etoces, e virtud del teorema, las sumas parciales de k= a k o tiee ua cota superior o, equivaletemete, igú etero es ua cota superior de dicha sucesió. Por lo tato, para cada etero l, existe u etero m(l) > 0 tal que m(l) k= ml a k l. Como los térmios de la sucesió (a ) so positivos, etoces a k k= m(l) k= a k l, co lo

3 cual la sucesió de sumas parciales de (a ) o es acotada superiormete y, e cosecuecia, la serie a diverge. Esta cotradicció viee de supoer que El Criterio de comparació Departameto de Matemáticas a tiee ua subserie divergete. Teorema 3 (Criterio de comparació) Sea (a ) y (b ) sucesioes tales que 0 a b, para cada. Etoces, la serie la serie b diverge siempre que la serie a coverge siempre que la serie Demostració: Observemos que ambas series a diverge. a y b coverge o, equivaletemete, b tiee térmios o egativos y, e cosecuecia, so covergetes si, y sólo si, sus sucesioes de sumas parciales respectivas so acotadas superiormete. Para esto, supogamos que de su sucesió de sumas parciales, es decir, j= a j j= b es covergete. Etoces, existe ua cota superior C > 0 j= b j C, para cada, co lo cual la serie Ejemplo Demuestre que la serie 5 + coverge. b j C. Como a j b j, para cada, teemos que a tambié coverge. Solució: E efecto, observemos que , para cada, y es covergete, ya que 5 ) es ua serie geométrica de razó r = 5 (de <, hecho 5 = 5 =. Por lo tato, usado el 5 criterio de comparació, teemos que 5 tambié coverge. + Ejemplo 3 Demuestre que la serie l( + ) diverge. l( + ) Solució: E efecto, por ua parte, como l(+), para cada, teemos que, para cada, y por otra parte, hemos visto que la serie armóica diverge. Por lo tato, e virtud del l( + ) criterio de comparació, diverge. 3

4 Teorema 4 (Criterio de comparació usado límites) Sea (a ) y (b ) sucesioes de térmios a positivos. Supogamos que C existe. Teemos lo siguiete: b i) Si 0 < C <, etoces la series ii) Si C = 0 etoces iii) Si C = etoces la serie a y a coverge siempre que b coverge ó diverge simultáeamete; a diverge siempre que b coverge, y Departameto de Matemáticas b diverge. Demostració: Para demostrar i), supogamos que 0 < C <. Etoces, para cada ε > 0, existe u etero N > 0 tal que a C b < ε, siempre que N. Como a C b < ε C ε < a < C + ε (C ε)b < a < (C + ε)b, b teemos que (C ε)b < a < (C + ε)b, para cada N +, de modo que el criterio de comparació os dice ahora que N+ a coverge si, y sólo si, N+ b coverge. Esto es equivalete al euciado, ya que dos series que sólo difiere e ua catidad fiita de térmios coverge o diverge simultáeamete (ver el Teorema 4 de la clase ). Las demostracioes de ii) y iii) so parecidas y se deja como ejercicio para el alumo. Ejemplo 4 Demuestre que la serie Solució: Observemos que Como coverge ( + )( + ) =. ( + ) ( + ) coverge, tambié lo hace El criterio de la itegral Sea f ua fució que es cotiua, decreciete y positiva sobre [,). Etoces, f es itegrable e cada itervalo [, ], para cada etero >, y la itegral impropia f (x). Si dicho límite existe y es fiito, decimos que la itegral impropia f (x) se puede defiir como el límite f (x) coverge 4

5 y, e otro caso, decimos que diverge. Este tipo de itegrales impropias está relacioadas co las series e la forma siguiete: podemos estimar el área bajo la gráfica de f (x) para x etre los eteros y +, mediate los rectagulos de base [, + ], co alturas f () y f ( + ), respectivamete (observemos que f () f ( + ), ya que f es decreciete), como lo muestra la figura siguiete: O y x Figura : Estimació del área bajo la gráfica de f. Departameto de Matemáticas O y A partir de esto, es claro, al meos ituitivamete, que las sumas parciales de la serie asitóticamete equivaletes a las itegrales simultáeamete. Este es el coteido del siguiete: f () so f (x), e el setido que sus límites coverge o diverge Teorema 5 (Criterio de la itegral) Sea f ua fució que es cotiua, decreciete y positiva sobre [,) y sea (a ) ua sucesió tal que a = f (), para cada etero. Etoces, la itegral impropia f (x) coverge si, y sólo si, la serie a coverge. Demostració: Como f es decreciete y positiva, teemos que, para cada etero k, f (k) f (x) f (k ), para todo x [k,k], es decir, a k f (x) a k, para todo x [k,k], y, e cosecuecia, o, equivaletemete, Ahora bie, como k= a k y k= k= a k k= k= a k k k f (x) f (x) a k k= k= a k. () a k so claramete o-decrecietes, teemos que tales sucesioes coverge x 5

6 si, y sólo si, so acotadas. Más aú, las desigualdades () os dice que k= a k lo es, co lo cual ambas sucesioes coverge o diverge simultáeamete. Ejemplo 5 Demuestre que k= diverge si p y coverge si p >. p Departameto de Matemáticas k= a k es acotada si, y sólo si, Solució: Si p 0, etoces 0, co lo cual la serie diverge. Supogamos etoces que p > 0. p Etoces, la fució f (x) = es cotiua, decreciete y positiva e [,), y el Criterio de la itegral xp os dice que la serie k= p coverge si, y sólo si, lo hace la itegral impropia. Dejamos como xp ejercicio para el estudiate completar la demostració, mostrado que la itegral impropia ( ) x p coverge si p > de hecho coverge a, y diverge si p. p Ejemplo 6 Demuestre que la serie = coverge para p > y diverge para 0 < p. (l) p Solució: Para cada p > 0, la fució es cotiua, decreciete y positiva sobre [,). Por lo x(lx) p tato, el criterio de la itegral os dice que la serie coverge si, y sólo si, la itegral impropia = (l) p coverge. Por otra parte, haciedo e cambio de variable u = lx, du =, teemos que x(lx) p x du lu +C si p =, l(lx) +C si p =, x(lx) p = u p = u p p +C si p, = (lx) p +C si p. p Ahora bie, para p =, teemos que x(lx) Para p, teemos que m x(lx) p m m m x(lx) m [l(lx)]m x= [l(lm) l(l)] =. m [ x(lx) p (lx) p m p ] m x= [ ] (lm) p (l) p, m p p (lm) p si p < etoces p > 0, co lo cual =, mietras que, si p > etoces p < 0, m p (lm) p (l) p de dode = 0. E suma, la serie coverge a si p >, y diverge e m p x(lx) p p otro caso. 6

7 4 Los criterios del cociete y la raíz Ahora pasamos a discutir dos criterios basados e la comparació co series geométricas. Sea (a ) a =0 ua sucesió de térmios positivos tal que = C, co 0 < C <. Etoces, r a + a r r + r = r a a + a + r r a = r C C = r. Es decir, si ua sucesió (a ) =0 se comporta como ua serie geométrica, podemos determiar la razó a + de dicha serie geométrica mediate el límite. Esta idea os proporcioa el siguiete: Teorema 6 (Criterio del cociete) Si existe, etoces Demostració: Como a a es ua serie de térmios positivos y el límite R a + a a coverge siempre que R < y diverge siempre que R >. a + a = R teemos que: Dado ε > 0 existe N > 0 tal que a + < ε, para cada N. a Esta última desigualdad equivale a (R ε)a < a + < (R + ε)a, para cada N. Si R < sea ε = R (R + ) etoces a N+ < a N. Así a N+ < ( R + )k a N+ < ( R + ) a N. Iductivamete teemos a N+k < ( R + )k a N para k y como R + < resulta que a coverge. Si R > sea ε = R (R + ) etoces a N+ > a N y a N+k > ( R + )k a N y como R + > teemos que a diverge. El criterio del cociete o dice ada cuado R =, para ver esto cosidere a = y a = Ejemplo 7 La serie a + a 3! 3! coverge, ya que ( + ) 3 ( + )! ( + ) 3! 3 ( + )! ( + ) 3! 3 ( + )! ( + ) 3 = 0 <. Otra forma de recuperar la razó a partir de la sucesió (a ), mediate el uso de u límite, es la a siguiete: si C existe y 0 < C <, etoces r a a Departameto de Matemáticas A partir de esta idea obteemos el siguiete: r r = r a r = rc0 = r. 7

8 Teorema 7 (Criterio de la raíz) Sea Etoces, Ejemplo 8 La serie. a ua serie de térmios positivos tales que a = R existe. a coverge siempre que R < y diverge siempre que R >. ( ) coverge, ya que + ( ) + + = <. Departameto de Matemáticas Correccioes y gráficos: Boris Iskra February, 0 8

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