Criterios de convergencia para series.
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- Ramona Soriano Botella
- hace 6 años
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1 Criterios de covergecia para series. Para series e geeral, existe ua serie de criterios de covergecia:. Primer criterio de comparació.- Si ( ) y (b ) so dos sucesioes de úmeros reales tales que m N, tal que 0 b para todo atural m. Etoces, si la serie es covergete, la serie es covergete. Y si la serie es divergete, la serie es divergete..- Segudo criterio de comparació.- Si ( ) y (b ) so dos sucesioes de úmeros reales tal que 0 y b > 0 para todo N y supogamos que lim Etoces, si L 0, las series Si L = 0, y la serie covergete. y tiee el mismo carácter. es covergete, etoces la serie b = L R. tambié es 3. - Criterio de ltegral.- Si f : [,+) R es ua fució decreciete y positiva y, para cad N, se cumple que = f(). Etoces, la serie y ltegral impropia f x.dx tiee el mismo carácter de covergecia o divergecia. [, ) 4. - Criterio del cociete.- Si ( ) es ua sucesió de úmeros reales, y L = lim Etoces, si L < la serie coverge. Y si L > la serie diverge. 5.- Criterio de Raabe.- Si ( ) es ua sucesió de úmeros reales y sea L = lim. Etoces, si L > la serie coverge. Y si L < la serie diverge.
2 6.- Criterio de la raíz.- Si ( ) es ua sucesió de úmeros reales o egativos y sea L = lim. Etoces, si L < la serie coverge. Y si L > la serie diverge. Si lim # Demostració: lim. Además, lim = lim. Este criterio se puede utilizar para hallar lim hallado el lim.- Si b para todo m, etoces las sumas parciales eésimas verifica: A B para todo atural. Luego, si la serie es covergete lo es la tambié la sucesió (B ), y estará acotada superiormete, luego tambié lo estará (A ), y teiedo e cueta que (A ) es moótoa creciete y acotada, Será: (A ) ua sucesió covergete la serie Y si la serie es covergete es divergete lo será tambié la sucesió (A ), que por ser moótoa creciete, o está acotada superiormete, luego por tato, tampoco estará acotada superiormete la sucesió (B ), y teiedo e cueta que es moótoa creciete y o acotada, será: (B ) ua sucesió divergete la serie.- Si L 0, m N tal que para todo m se verifica: Y por tato: L b 3 L L.b a 3.L.b es divergete Además, si la sucesió de sumas parciales eésimas B coverge, se cumple L.b y 3.L.b tambié coverge, lo que implica que la serie de sumas parciales eésimas A tambié
3 coverge. Luego la serie es covergete. Y si la la serie es divergete, como la sucesió A diverge, etoces, las sucesioes L.b y 3.L.b tambié diverge, lo que implica que B tambié diverge. Luego la serie es divergete Luego resulta que las tres series, L., 3.L. y tiee el mismo carácter de covergecia. Y por tato las series carácter. y tiee tambié el mismo Si L = 0, u m N tal que para todo m se verifica el resultado se sigue tambié del primer criterio de comparació. 3.- Por ser f decreciete, será para cada k N: f(k+) a k+ x=k f x.dx f (k). x=k x=k f x.dx a k x=k Y sumado desde k = hasta k =, obteemos: A k+ - a x=k f x.dx A x=k b y, por tato, < b y Y tomado límites a ambos miembros de la desigualdad, se obtiee el resultado pedido. 4.- Supogamos que L = lim >. Etoces, a partir de u cierto atural o. Se cumplirá que >. Es decir + > 0 par o. Luego será lim 0. Y la serie o cumplirá el criterio ecesario de covergecia, por lo que será divergete.
4 Supogamos que L = lim existe u m N tal que: < x. par m. + <.x. par m. Y e particular a m+ < a m.x. a m+ < a m+.x < a m.x a m+k < a m.x < < a m.x k. Luego se verifica: < < y sea x u úmero real tal 0 < x <. Etoces. x i x = a m. x <. Ahora bie teiedo e cueta, que la suma de ua serie fiita de térmios fiitos es fiita +. x i = x + a m. x <. 5.- Supogamos que L > y sea x u úmero real tal que L > x >. Etoces, m N tal que para todo m N y para todo m se verifica:. x Y por tato: Luego:. ( - + ) > x.. m.(a m -a m+ )+(m+).(a m+ -a m+ )+...+.( -+ ) > x.(a m +a m+ +a m ). m.a m + a m > x.(a m +a m ). Y de aquí resulta: Co lo que: a m... m x. a. a m m x. a m x x a... a...a m m x.a m x
5 acotada. verifica: Y la serie es covergete, por que la sucesió de sus sumas parciales está Supogamos ahora que L <. Etoces, existe u m N tal que para todo > m se Y por tato: Luego:. (-) <.+. m. a m+ < ( m + ) a m+ <... < ( - ). a m m. a m Y como la serie - es divergete, por el primer criterio de comparació resulta que la serie es divergete. 6.- Supogamos que L < y sea x u úmero real tal que L < x <. Etoces, m Ntal que < x para todo m. Y la covergecia la serie se sigue del primer criterio de comparació, pues por ser 0 < x <, la serie x coverge. Supogamos ahora que L >. Etoces, > parfiitos valores de y o se cumple, la codició ecesaria de que lim = 0, para que se cumpla la covergecia de la serie # Observacioes y ejemplos: E el caso del segudo criterio de comparació, si L = 0 y la serie diverge, o se puede afirmar ada sobre la serie. Por ejemplo, si = 0 y b =, será L = 0, y la serie coverge. Mietras, que si = / y b =, será L = 0, y la serie diverge.
6 La serie es covergete si p >, y divergete si p. Puesto que ltegral i p idefiida i.dx p es covergete si p >, y divergete si p. x Del primer criterio de comparació, se sigue que la serie puesto que covergete. 0 se x 3 Por el segudo criterio la serie.. 3 lim ² se x 3 es covergete, para todo N. Y la serie i 3 =. Y la serie i. Es covergete, ya que es covergete. E el criterio del cociete, o se puede afirmar ada si L =, ya que por ejemplo, para las series y i seguda covergete. i es L =, y la primera serie es divergete, mietras que la E el criterio de la raíz, o se puede afirmar ada si L =, ya que por ejemplo, para las es series y i seguda covergete. i es L =, y la primera serie es divergete, mietras que la # Ejemplo: La serie!, es covergete, ya que: i! lim =lim =0! A veces el criterio del cociete, o justifica el carácter de ua serie y, e cambio, co el de la raíz se decide la cuestió: Por ejemplo, co la serie ={ } si esimpar a si es par
7 Aplicado el criterio del cociete: tiee: lim = 8 lim = Que o aclara el carácter de la serie, mietras que por el criterio de la raíz, se lim = Lo que demuestra que la serie coverge. De hecho el criterio del cociete es meos potete que el de la raíz, ya que: Lim if (+ / ) Lim if ( ) / Lim Sup ( ) / Lim sup (+ / ).
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