CURVAS CARACTERÍSTICAS Y SIMILITUD EN LAS TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

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1 PROYETO DE INSTALAIONES IDROMEÁNIAS (MÁINAS IDRÁLIAS) 004 RVAS ARATERÍSTIAS Y SIMILITD EN LAS TRBOMÁINAS IDRÁLIAS RVAS ARATERÍSTIAS Y SIMILITD EN LAS TRBOMÁINAS IDRÁLIAS Itroducció Las leyes de similitud permite predecir el fucioamieto de las máquias hidráulicas aú o costruidas e diferetes codicioes de salto y caudal, y costituye ua herramieta fudametal al teer que verificar, a través del esayo e modelos e escala reducida, si ua turbomáquia efectivamete va a cumplir co las expectativas de potecia, salto, caudal, redimieto y grado de seguridad respecto al desarrollo de la cavitació. Las leyes de similitud tambié permite maejar iformació de turbias que ha operado satisfactoriamete y utilizar esta iformació e forma de coeficietes adimesioales para predimesioar el diámetro y úmero de vueltas de las máquias. urvas características de las turbias hidráulicas El cocepto de curva característica está referido a la maera particular e que se relacioa las variables de operació de ua turbomáquia (caudal, salto, velocidad de giro, redimieto, potecia) cuado se produce la modificació de u parámetro determiado, como podría ser ua mayor apertura del distribuidor e ua turbia, por ejemplo. Esta viculació de variables es propia o característica de cada diseño particular, de allí que se deomia curvas características a las represetacioes gráficas de estas variacioes. A ivel teórico platearemos las ecuacioes que describe cómo se comporta las variables de operació fudametales, auque este plateo difícilmete resulte exacto e relació a cómo luego opera realmete la máquia. Esta aproximació a ivel teórico aporta a la descripció coceptual, dado que permite observar cómo se relacioa las variables de operació a partir de la ecuació de Euler, pero e la mayoría de las situacioes prácticas que tiee que ver co el maejo de iformació de las máquias hidráulicas, o es de gra utilidad. Ejemplo de esto es que las bombas so presetadas por los fabricates e forma de datos putuales de salto, caudal, potecia, redimieto, etc. o e forma de curvas características, y o e forma de ecuacioes teóricas. Lo mismo es válido e cuato a las turbias hidráulicas: de los esayos se obtiee los valores del caudal, salto, potecia y redimieto, que so graficados para mostrar cómo fucioa ua turbia. Distito es hablar de la utilidad del efoque teórico cuado se trata del diseño de las turbias y bombas, ya que éste es imprescidible para modelizar el comportamieto esperado asociado a ua geometría determiada. E el campo del diseño es fudametal la modelizació matemática del escurrimieto, mietras que e el campo de la selecció y operació (o explotació), tiee mayor relevacia el maejo adecuado de iformació experimetal co susteto e la teoría de la similitud.

2 PROYETO DE INSTALAIONES IDROMEÁNIAS (MÁINAS IDRÁLIAS) 004 RVAS ARATERÍSTIAS Y SIMILITD EN LAS TRBOMÁINAS IDRÁLIAS E forma teórica, la ecuació fudametal de Euler para las máquias hidráulicas os expresa u puto de fucioamieto, que si o es el de máximo redimieto, es decir, si tomamos u puto geérico, estará dado por: g η [] u u u Debemos buscar ua maera de que aparezca las variables que os iteresa relacioar, que se utiliza para describir el fucioamieto de las turbias y bombas:,,, P y redimieto. a) Aalicemos primero el térmio u π Expresado r, aparece como variable, etoces 60 π 0 r u u [] Viculado las velocidades del agua e el igreso al rotor co las de la salida del distribuidor (asumiedo la distribució de velocidades de u torbellio irrotacioal - o sea fluido ideal-): r o r o cte para cada puto de fucioamieto dode o mo ctgα co mo la velocidad meridiaa a la salida del distribuidor y α o el águlo que forma la direcció tagecial co la velocidad absoluta a la salida del distribuidor. Y además mo πdob o que expresa la velocidad meridiaa e el distribuidor e fució del caudal, co d o el diámetro del distribuidor y B o la altura del mismo. De maera que: u r ctgαo [] πd B o o o DISTRIBIDOR o uo o mo O o Borde de Etrada Ro Borde de Salida ÁLABE

3 PROYETO DE INSTALAIONES IDROMEÁNIAS (MÁINAS IDRÁLIAS) 004 RVAS ARATERÍSTIAS Y SIMILITD EN LAS TRBOMÁINAS IDRÁLIAS b) Aalicemos ahora el térmio : e este caso os coviee utilizar el triágulo de velocidades e la salida del rotor, del que se obtiee mctgβ [4] mctgβ [5] Tambié aquí podemos provocar que aparezcar y como lo hicimos ates: π r 60 y la velocidad meridiaa a la salida se puede escribir como: m dode A idica la secció de salida del rodete (fució del diámetro de A salida o diámetro característico del rodete), de maera que la ecuació [5] se puede escribir: π π ( ) r ( ) r ctgβ [6] 0 0 A c) Reemplazado las expresioes obteidas e a) y b), la ecuació de Euler queda: π π π gu η ctgαo ( ) r ( ) r ctgβ 0 π [7] dobo 0 0 A o, sacado factor comú a : π π gu η ctgαo + ( ) r ( ) r ctgβ [8] 0 dobo 0 0 A Así, hemos obteido ua ecuació que vicula las variables geométricas y operativas de ua turbia, para u puto de operació determiado, e el cual se obtiee u salto rotórico: r u η y ua potecia Pγ e kgm/s ó P9.8 e kw co e m /s y e m. Esta ecuació permitiría represetar ua curva característica de la turbia. Podríamos, por ejemplo, fijar ua apertura de distribuidor α ο y platear diferetes saltos útiles como datos, para obteer, a partir de la ecuació, el valor del caudal que podrá pasar por la turbia que estamos aalizado para cada salto. Pero os ecotramos co u obstáculo importate: es prácticamete imposible aticipar e forma teórica el valor del redimieto (η) para cada puto de fucioamieto, ya que este valor será la combiació de: pérdidas de carga debidas a la fricció sobre ua

4 PROYETO DE INSTALAIONES IDROMEÁNIAS (MÁINAS IDRÁLIAS) 004 RVAS ARATERÍSTIAS Y SIMILITD EN LAS TRBOMÁINAS IDRÁLIAS superficie compleja como es la geometría particular del rodete, distribuidor y tubo de aspiració de cada turbia, pérdidas volumétricas (por los itersticios o luces ecesarias para el movimieto de rotació), al despegamieto o choque del flujo co los cotoros geométricos cuado el fucioamieto se aleja del puto de diseño (y por lo tato la direcció de la velocidad relativa ya o coicide co la de β ) y fialmete al roce mecáico e el eje; valores éstos depedietes a su vez de la escala geométrica. Todo ésto supoiedo que o hay desarrollo de la cavitació, porque sio además se icorpora otra variable debida al cambio de estado del fluido. Esto explica porqué la descripció aalítica tiee limitacioes cuado se quiere aticipar el comportamieto para diferetes estados de operació de ua turbia o ua bomba. aspecto que se puede aalizar e forma cualitativa, a partir de la ecuació expresada como [7], es cómo varía e forma teórica el redimieto, para diferetes velocidades de giro de la turbia. Esto da ua forma como la idicada e el gráfico, que está caracterizada por u valor de redimieto máximo, y dos valores ulos: para velocidad cero y para ua velocidad que será la máxima posible de la turbia, a la que se deomia velocidad de embalamieto. Esta variació fudameta la existecia de ua max velocidad óptima, y de ua velocidad máxima para la cual o se puede obteer potecia útil e el eje (la potecia cosumida iguala a la eergía debida a las pérdidas, y o hay cambio de direcció efectivo del flujo). 0 0 optimo e A cotiuació veremos cómo la teoría de la similitud resulta fudametal para orgaizar la iformació experimetal que permite describir el fucioamieto de las turbias y las bombas. Similitud geométrica, ciemática y diámica a) La similitud geométrica sigifica mateer las mismas proporcioes geométricas e todas las direccioes de los cotoros hidráulicos. Tambié esta similitud se puede expresar a través de la igualdad de todos los águlos característicos. Tomado como subídice m al modelo y p al prototipo: D D cte. [8] m p b) La similitud ciemática implica que las trayectorias del agua sea geométricamete semejates, esto es, que siga iguales patroes de desplazamieto absoluto y relativo (lo que lleva implícita la similitud de fuerzas y la similitud geométrica). Esto implica que los triágulos de velocidades sea 4

5 PROYETO DE INSTALAIONES IDROMEÁNIAS (MÁINAS IDRÁLIAS) 004 RVAS ARATERÍSTIAS Y SIMILITD EN LAS TRBOMÁINAS IDRÁLIAS geométricamete semejates, y que por lo tato se matega las proporcioes etre velocidades absolutas y tageciales: p p m cte [9] m Se debe mateer para todas las velocidades: igualdad de los águlos: αm α p β m cte, lo que se garatiza co la c) La similitud diámica sigifica poer e escala las fuerzas domiates e el escurrimieto - situació que por otra parte es ecesaria para que exista similitud ciemática -. Para el caso de las turbomáquias estas fuerzas so las de masa o iercia, dado que los itercambios de eergía se produce por aceleració del flujo y/o cambios de direcció del mismo (recuérdese que la ecuació de Euler se obtiee plateado la variació del mometo de la catidad de movimieto debido a estas fuerzas). Las demás fuerzas presetes e algua medida e los escurrimietos a presió, expresa la ifluecia de la viscosidad, la tesió superficial y la compresibilidad. Estas o so domiates, pero al o cosiderarlas e la similitud, deberemos evaluar de qué maera afectará los resultados, para efectuar correccioes por efecto de escala. Deduciremos las expresioes características de la similitud e las turbomáquias hidráulicas a partir de las hipótesis plateadas. Las fuerzas de iercia se escribe como: F ma m [0] t m ρ V: volume V F ρv reemplazado el volume, por el caudal e el itervalo de tiempo, t F ρ F ρa dode A: área p h k γ Por otra parte, las presioes deriva del salto útil co u relació de proporcioalidad: g β p 5

6 PROYETO DE INSTALAIONES IDROMEÁNIAS (MÁINAS IDRÁLIAS) 004 RVAS ARATERÍSTIAS Y SIMILITD EN LAS TRBOMÁINAS IDRÁLIAS g h k k k k g cte [] que es la expresió de la codició diámica de semejaza. Si combiamos ahora las expresioes de similitud ciemática co la codició diámica, dado que debe satisfacerse simultáeamete, de las ecs. [9] y [] queda: g cte [] Es coveiete presetar las costates de similitud co las variables de utilizació más directa e la selecció y aálisis de la operació de las turbias y bombas:,,, P y η: Teiedo e cueta que ω D/ π D/60, luego pasado las costates al segudo miembro y elevado al cuadrado, os queda: D cte [] Semejaza diámica maera de expresar la similitud ciemática es haciedo uso de las siguietes ecuacioes: ωd / πd / 60 y o lo cual queda: m πd / 4 m 60 4 πd πd cte. [4] Semejaza ciemática D Si icorporamos ahora la potecia geerada (o demadada si es ua bomba) a las expresioes de similitud: 6

7 PROYETO DE INSTALAIONES IDROMEÁNIAS (MÁINAS IDRÁLIAS) 004 RVAS ARATERÍSTIAS Y SIMILITD EN LAS TRBOMÁINAS IDRÁLIAS [ kw] P gηu turbia gu P [kw] bomba η Reemplazamos y por sus expresioes [] y [4]: k (D), k D ue queda: P gηk D k D P cte. 5 [5] D Las leyes de similitud permite obteer expresioes útiles icorporado las variables operativas de las bombas y las turbias, como,,, P, para u diámetro dado D, de maera de poder relacioar valores e dos situacioes de utilidad: a) ua turbomáquia co otra geométricamete semejate (caracterizadas por diferetes diámetros D p y D m y b) ua máquia operado e dos estados homólogos, como veremos más adelate co ejemplos. Veremos el caso de dos turbomáquias de diámetro diferete D y D : Las relacioes a utilizar para putos homólogos so: D D cte. D D cte. P P cte. 5 5 D D Estas expresioes se aplica a dos turbias o dos bombas que cumple las codicioes de similitud, es decir, so geométricamete semejates y opera e codicioes diámicas y ciemáticamete semejates. E la práctica estas fórmulas se utiliza para pasar iformació de los modelos e escala reducida a los prototipos de diferetes escalas geométricas. La codició de semejaza diámica se había plateado a partir de cosiderar que las fuerzas domiates so las ierciales, de maera que los efectos secudarios, pricipalmete las fuerzas origiadas por la viscosidad, se cotempla como u efecto de escala sobre el redimieto de la máquia. Para su correcció se utiliza fórmulas que tiee e cueta el hecho de que el modelo y el prototipo o tiee e escala estas fuerzas (lo que se lograría co la igualdad del úmero de Reyolds): 7

8 PROYETO DE INSTALAIONES IDROMEÁNIAS (MÁINAS IDRÁLIAS) 004 RVAS ARATERÍSTIAS Y SIMILITD EN LAS TRBOMÁINAS IDRÁLIAS Moody, propuso ua ecuació para las turbias Fracis, ηp DM ηm DP utto, propuso para turbias Kapla y élice, la siguiete expresió: /5 / η D ν P M p M + η ν M D P M P dode ν es la viscosidad ciematica del fluido modelo y prototipo. abíamos dicho que la seguda forma de utilizar la similitud es para pasar de u estado de fuciomieto a otro homólogo detro de ua misma turbia o bomba. Este caso es de gra utilidad e las bombas, e las cuales es frecuete teer como parámetro idepediete a seleccioar al úmero de vueltas. E este caso la escala de diámetros es y queda: cte. cte. P P cte. Se puede observar que cosiderado u úmero de vueltas de referecia, al llevar la bomba o la turbia a otro úmero de vueltas, por ejemplo > el caudal aumetará liealmete co la relació /, lo hará cuadráticamete el salto y e forma cúbica la potecia, tambié e relació a los úmeros de vueltas. Esta seguda forma de utilizar la similitud o tiee e cueta que ua vez apartada la máquia de su fucioamieto e el puto de diseño o omial, el redimieto o se matiee, sio que se reduce cada vez más a medida que se aleja el del puto de diseño. E la práctica el uso de las fórmulas plateadas tiee u etoro de validez, que se hará mayor o meor de acuerdo al tipo de máquia. De todas maeras so muy utilizadas para teer valores aproximados cuado se trata de predecir codicioes de fucioamieto de las cuales o se tiee iformació. /5 8

9 PROYETO DE INSTALAIONES IDROMEÁNIAS (MÁINAS IDRÁLIAS) 004 RVAS ARATERÍSTIAS Y SIMILITD EN LAS TRBOMÁINAS IDRÁLIAS Parámetros uitarios y adimesioales Las leyes de semejaza so la base de la teoría de los modelos hidráulicos, que e el caso particular de las turbias y bombas, represeta ua fuete de iformació prácticamete imprescidible para los fabricates y tambié para quiees debe maejar iformació estadística de turbias semejates. Para uificar la maera de presetar la iformació de las turbias y bombas esayadas (o sea co datos experimetales), se utiliza los llamados parámetros uitarios y los parámetros adimesioales. Los parámetros uitarios se basa e llevar los valores de y P, mediate las fórmulas de la similitud, a ua turbomáquia hipotética, de metro de diámetro, que operará co u salto útil de metro. Llevado a la expresió [], esto queda: m. cte dode a se lo llama ( uo uo ) e alusió a la ( ) D m referecia uitaria de diámetro y salto, de maera que se expresa: D [6] Recuperado la ecuació [4], dode poemos el diámetro uitario, queda: e la cual e lugar de poemos D (m ) cte. de modo que la c. [7] queda: cte. D D D m cte. D D m m [7] D Operado co ambas ecuacioes obteemos pa potecia uitaria, la cual es: P P cte. / [8] D 9

10 PROYETO DE INSTALAIONES IDROMEÁNIAS (MÁINAS IDRÁLIAS) 004 RVAS ARATERÍSTIAS Y SIMILITD EN LAS TRBOMÁINAS IDRÁLIAS Los parametros adimesioales, se deduce de igual maera que la presetada y los parámetros que se obtiee se deomia, cifra de Velocidad, ifra de audal y ifra de Potecia. Las ecuacioes so: ifra de Velocidad ifra de audal ifra de Potecia ωr µ [9] g ϕ [0] πr g ωt λ [] ρπr ( g ) / Mediate las leyes de similitud, operado de maera que o itervega parámetros que determie dimesioes, se puede obteer ua ecuació exclusivamete e fució de los parámetros de operació de ua turbia (o bomba). Este parámetro así determiado es deomiado úmero especifico, de gra utilidad para la selecció y predimesioado de turbias y bombas. / P Número específico segú potecia s 5/ 4 [] / Número especifico segú caudal q / 4 [] Tambié se utiliza el úmero especifico adimesioal: o / ( / π) ( g ) / 4 ω [4] La iterpretació física del úmero específico es que el mismo represeta ua combiació de parámetros de operació que se matiee costate e máquias co codicioes geométricamete semejates, idepedietemete del tamaño de las mismas. Veremos que tambié este úmero, cuado se restrige su defiició al cálculo para los parámetros de operació cuya combiació da como resultado el mayor redimieto, resulta muy útil como referecia de u diseño determiado. Se puede justificar ésto aalizado que si el úmero específico de dos turbias es diferete, evidetemete o tiee exactamete la misma geometría (porque de teerla hubiera arrojado patroes de escurrimieto homólogos y resultados que verifica la similitud). El cocepto de úmero específico, además de resultar aplicable como herramieta de similitud, ofrece la posibilidad de: 0

11 PROYETO DE INSTALAIONES IDROMEÁNIAS (MÁINAS IDRÁLIAS) 004 RVAS ARATERÍSTIAS Y SIMILITD EN LAS TRBOMÁINAS IDRÁLIAS a) clasificar los tipos de turbomáquias segú su úmero específico y b) seleccioar y dimesioar las turbomáquias coveietes para codicioes de operació propuestas