Introducción Movimiento Turbulento

Transcripción

1 Introducción Movimiento Turbulento 1 Escalas de la turbulencia os torbellinos más grandes están caracterizados por la velocidad U y la longitud tal que el número de Reynolds ( U) /ν À 1. a frecuencia de estos torbellinos es f U/. a energía, por unidad de masa y tiempo, que ha de disiparse es ε ( U) 3 /. a energía se transfiere a escalones intermedios de velocidad característica v` y tamaño característico `, talesque`v`/ν À 1, además y v 3` ` ( U)3 f` v` ` U v` U ` ` 1/3 U, 2/3 2/3 f À f. ` En la escala de Kolmogorov de velocidad v η y tamaño característico η, es donde se disipa la energía, de modo que ηv η /ν 1. Además η 1/3 2/3 v η U ; f η f η y, por lo tanto, de modo que ηv η ν U ν v η η η 4/3 Re 1, U η Re3/4 ; v η U Re 1/4 ; f η f Re 1/2. Si se quiere mallar un volumen de dimensión característica y capturar la disipación viscosa, hay que hacer una malla de tamaño característico η (y con algo de resolución η/3). Por lo tanto el número de celdas será tal que número de celdas Re 9/4. η/3 η Para un número de Reynolds del orden de 10 4 se obtiene un número de celdas del orden de (diez mil millones de celdas) y con Re 10 5 son necesarias del orden de varios billones de celdas. a turbulencia se caracteriza por: 1

2 Amplios rangos de tamaños (desde hasta η) y de frecuencias (desde f hasta f η ). Disipación. Transporte y mezcla. Tridimensionalidad. 2 Valores medios. Ecuaciones de Reynolds Una magnitud fluida cualquiera ϕ (~x, t) se escribe en la forma: ϕ (~x, t) =Φ (~x, t) +ϕ 0 (~x, t), donde Φ (~x, t) es el valor medio de ϕ (~x, t) y ϕ 0 (~x, t) su fluctuación. Por definición ϕ 0 =0. Φ = ϕ = 1 T Z t+t/2 t T/2 ϕdt. a energía cinética es 1 2 v iv i = 1 2 (V i + v 0 i )(V i + v 0 i )=1 2 V iv i v0 i v0 i = K + k, donde K = 1 2 V iv i es la energía cinética media y k = 1 2 v0 i v0 i la energía cinética de las fluctuaciones turbulentas. q vi 0v0 i = 2k; mientras que el nivel de turbulencia es: a intensidad de la turbulencia es: q q v 0 i v0 i Vi V i = k K. Para escribir la ecuaciones de Reynolds del movimiento de un fluido incompresible suponemos v i = V i + v 0 i ; p = P + p 0 ; T = T + T Ecuación de la continuidad a ecuación de la continuidad para los valores instantáneos toma la forma y tomando valores medios se tiene v i =0, v i = (V i + vi 0) = V i =0, de modo que la ecuación de la continuidad es la misma para los valores medios que para los valores instantáneos. V i =0. (1) 2

3 2.2 Ecuación de la cantidad de movimiento Promediando la ecuación de cantidad de movimiento so obtiene ρ V i t + ρ (V iv j ) = P + μ V i ρvi 0 x v0 j, (2) j donde el término v 0 i v0 j proviene del promedio v i v j = (V i + vi V 0) j + vj 0 = V i V j + vi 0v0 j. A las cantidades ρv 0 i v0 j, que modifican los esfuerzos viscosos μ V i/, se les denomina esfuerzos aparentes de Reynolds y aparecen como nuevas incógnitas en las ecuaciones para determinar las magnitudes medias. 2.3 Ecuación de la energía a ecuación de la energía, despreciando la disipación viscosa, toma la forma ρc T t + ρc Vi T k T ρct x 0 vi 0 i =, (3) donde el término T 0 v 0 i proviene de promediar v i T = (V i + v 0 i ) T + T 0 = V i T + v 0 i T 0. A la las cantidades ρct 0 vi 0 se les denomina flujo de calor aparente de Reynolds. También aparecen como nuevas incógnitas para la determinación del flujo medio. 2.4 Ecuación de la energía cinética media y turbulenta Para el caso estacionario, la ecuación (2) puede escribirse en la forma ρv j V i = τ ij, (4) siendo τ ij = P ij +2μS ij ρv 0 i v0 j ycons ij = 1 2 Vi + V j. a ecuación para la energía cinética media se obtiene multiplicando (4) por V i, resultando K τ ij ρv i = V i = (V iτ ij ) V i τ ij, pero V i τ ij = τ ij S ij =2μS ij S ij ρvi 0 x v0 j S ij = Φ v ρvi 0v0 j S ij, j de modo que la ecuación para la energía cinética del movimiento medio queda ρv i K = (V iτ ij ) + ρv 0 i v0 j S ij Φ v. (5) 3

4 a ecuación de la energía cinética turbulenta se obtiene promediando la ecuación de la energía cinética instantánea y restándole la energía cinética del movimiento medio (5). Se obtiene k ρv i = p x 0 vi 0 1 i 2 v0 i v0 j v0 j +2μv0 j s0 ij ρvi 0v0 j S ij 2μs 0 ij s0 ij, (6) siendo s 0 ij = 1 2 v 0 i + v0 j. En las ecuaciones (5 y 6) puede observarse el traspaso de energía desde la corriente media ρvi 0v0 j S ij a los torbellinos de las escalas intermedias + ρvi 0v0 j S ij. Esta energía es del orden de ρε. 3 Viscosidad turbulenta Para determinar las incógnitas que aparecen en las ecuaciones promediadas de Reynolds, se supone que los esfuerzos aparentes de Reynolds son de la misma forma que los esfuerzos viscosos, pero con una viscosidad turbulenta ν T, que hay que determinar; esto es v 0 i v0 j = ν T S ij. (7) Para la evaluación del flujo de calor turbulento se tiene T 0 v 0 i = α T T, (8) donde α T es la difusitividad térmica turbulenta. El número de Prandtl turbulento, Pr T = α T /ν T, se toma con frecuencia igual a la unidad, de modo que α T ν T. Tanto ν T como α T tienen dimensiones de velocidad por longitud, de modo que se trata de definir la velocidad y longitud apropiadas al movimiento turbulento, para obtener el valor de ν T ν T = C [V ] []. (9) a teoría del camino de mezcla de Prandtl es uno de los primeros intentos de la determinación de la viscosidad turbulenta, 3.1 Teoría del camino de mezcla de Prandtl a teoría del camino de mezcla de Prandtl supone que siendo ϕ = Φ + ϕ 0. ϕ 0 (y) Φ (y 1 ) Φ (y 2 ) y dφ, dy y 2 4

5 y 2 Φ(y) Δy y 1 de esta forma se tiene y en consecuencia de modo que siendo u 0 y p dy ; = `1 p 0 v 0 = `2 dy = `2 0 v 0 = ν T dy, ν T = `2 dy. dy dy, dy, a longitud ` depende del problema. Para flujos cercanos a una pared suele ser la distancia a la pared; para corrientes libres es el diámetro del chorro o la estela, etc. a hipótesis de semejanza de Kármàn proporciona una estimación de la longitud ` en la forma ` = κ /dy d 2 U/dy 2, donde κ Modelos de turbulencia os modelos de turbulencia utilizados en la práctica son los modelos algebraicos, en los que la viscosidad turbulenta se modeliza mediante ecuaciones algebraicas, por lo que no es necesario integrar ninguna ecuación adicional. Están basados en la teoría de mezcla de Prandtl, pero mucho más elaborado. El más utilizado es el de Baldwing-omax. os modelos de una ecuación se caracterizan porque la velocidad típica es k,lavelocidad asociada a la energía cinética turbulenta. En este caso ν T = ` k, y la longitud ` se toma análoga a la de los modelos algebraicos.. Estos modelos se denominan de una ecuación porque es necesario integrar una ecuación diferencial adicional, la que proporciona k, que es una versión simplificada de la (6). En los modelos de dos ecuaciones, el más popular es el denominado modelo k ε. En este modelo la velocidad es k ylalongitudesk 3/2 /ε, demodoque ν T = C k2 ε. 5

6 Estos modelos se caracterizan porque es necesario integrar dos ecuaciones diferenciales más, una para la energía cinética turbulenta, k, y otra para la disipación, ε. os modelos anteriores suponen, en cada punto e instante, un valor único de ν T, lo que presupone la no existencia de direcciones privilegiadas, lo que es válido para la viscosidad molecular, pero no siempre lo es en los movimientos turbulentos. Como consecuencia de esto se empiezan a utilizar otros tipos de modelos que definen un valor diferente de ν T para cada esfuerzo. Con la simulación directa de las ecuaciones no sería necesaria ninguna hipótesis sobre la turbulencia, pero eso implica llegar a tamaños como los de la escala de Kolmogorov, impracticable todavía en aplicaciones industriales. os modelos denominados arge Eddy Simulation (ES), representan un estado intermedio entre la simulación directa y los modelos clásicos de turbulencia. Se resuelve exactamente hasta las escalas más pequeñas que es posible numéricamente, que son las más afectadas por las condiciones de contorno, y se hacen hipótesis sobre las escalas menores. 4 Flujos turbulentos esbeltos Consideremos el caso bidimensional estacionario de un líquido para el flujo medio en el que las variables fluidas son U (x, y), V (x, y)) y P (x, y). Sielflujo es esbelto supondremos que la longitud característica,, en la dirección del eje x es muy grande frente a la longitud característica,, en la dirección del eje y. a ecuación de la continuidad toma la forma x + V =0; U V ; V U U. a ecuación de cantidad de movimiento según el eje x es U x + V + u 2 x 0 + u {z } {z } 0 v 0 = 1 P ρ x + {z } U 2 ν 2 U x {z 2 + ν 2 U } {z 2 } dado que, la ecuación anterior se reduce a U x + V + u 0 v 0 = 1 P ρ x + ν 2 U 2, (10) donde u 0 v 0 U 2 (/) U 2. a ecuación de cantidad de movimiento según y queda U V x + V V + u x 0 v 0 + v 2 {z } {z } 0 = 1 P ρ + {z } V 2 νu 2 νu 2 ν 2 V x {z 2 + ν 2 V } {z 2 } reduciéndose a 1 P 2 + ρv ρ 0 = U V x + V V ν 2 V 2 V 2. (11) 2 De (11) se tiene P + ρv 0 ρv 2 y de (10) se tiene P ρu 2,demodoque P + ρv 0 2 P V 2 2 1, U 6 νv 2 νv 2

7 lo que nos permite sustituir la ecuación de cantidad de movimiento según y por P 2 + ρv 0 0; P + ρv 0 2 = P e (x); P x = dp e dx 2 ρ v0 x, que llevado a (10) toma la forma U x + V + u 0 v 0 = 1 dp e ρ dx + ν 2 U 2, (12) ya que v0 2 x u 0 v 0. Dentro de la aproximación de flujos esbeltos, podemos considerar la turbulencia libre, que se muestra a continuación y la apa límite turbulenta, que se mostrará más adelante. 5 Turbulencia libre En la turbulencia libre, la presión exterior es constante, de modo que dp e /dx 0: Ademáshay ausencia de paredes, por lo que el término viscoso ν 2 U/ 2 0 v 0 /. as ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento toman la forma x + V =0; U x + V = 0 v Estela (bidimensional) lejana Ũ U + Ũ x + V Ũ = U = U + Ũ ; Ũ<<U ; v 0 Ũ. Z + Ũ x + V =0; V Ũ x, 0 v 0 Ũ ; U x U Ũ x >> Ũ Ũ x V Ũ Ũ 2 x, Ũ U x = 0 v 0 ; Ũdy = D = I ; y ± : Ũ 0, u ρu 0 v 0 0. U x Ũ r r Ix ; Ũ I IU ; Ũ U x. Solución autosemejante r r Ix IU (x) =a ; u s (x) =b U x ; Ũ (x, y) = s (x) f (η) ; 0 v 0 = u 2 s (x) g (η) ; η = y (x), donde a y b son constantes que se han de determinar. Ũ U x = U u s f + η df 2x ; 0 v 0 = u2 s dg U f + η df = dg 2xu s, 7

8 U 2xu s = a 2b ; f + η df = 2b dg a. Modelo de turbulencia as relaciones 0 v 0 Ũ = ν T = ν T u s df 0 v 0 = ν T Ũ ; ν T u s, f + η df = f + η df + d2 f 2 =0; Z + Ũdy = I = u2 sg (η) ; 2b ar T d 2 f 2 ; g (η) = ν T df u s = 1 df R T. 2b ar T =1. f ( ) =f () =0: f = exp Z + f = ab =1/ 2π y 2b/a = R T, I u s = 1 ab = 2π. η2. 2 determinan a y b ya que R T 12.5 es un valor experimental.. El resultado es a =0.25 y b =1.58. En la estela de un cilindro circular los valores experimentales muestran que Ũ = sf (η) para x>80 diámetros y 0 v 0 = u 2 sg (η) para x>200 diámetros. 5.2 Chorro (bidimensional) lejano ya que x + V =0; U x + V = 0 v 0 ; U 2 dy = M ρ = m, U x + V 2 dy x + (UV) dy = d U 2 dy = d dx 0 v 0 =0. De las ecuaciones se tiene V U x ; U 2 x u0 2 U r x ; U 2 m. Con x se tiene U max p m/x. Utilizando la función de corriente U = ψ ; buscamos soluciones de semejanza de la forma = ax ; ψ = b mxf (η) ; V = ψ x, 0 v 0 = m x G (η) ; η = y. Por lo tanto U = ψ = b r r m df m a x ; V = ψ x = b 1 x 2 F + η df ; 8

9 U x + V = b2 m 2a 2 x 2 Modelo de turbulencia x = b r m 1 ax x 2 " df df + η d2 F 2 # 2 + F d2 F 2 b 2 d 2a 0 v 0 = ν T ; ν T = u s (x) (x) R T F df ; = = b2 m d 2a 2 x 2 = dg b a 2 x F df ; u s (x) =U (x, 0) = b a r m x ; d 2 F 2 ; 0 v 0 = m dg ax 2 df r m η=0 x, 0 v 0 = ν T = b2 F 0 (0) m d 2 F a 2 R T x 2 = m x G (η) ; G (η) F 0 (0) d 2 F =b2 a 2 R T 2, d F df + d2 F 2 =0 con 2F 0 (0) =1 ycon F (0) = F 00 (0) = 0 y F 0 ( ) =0. ar T Integrando una vez se tiene llegándose a F (η) = 2tanh η/ 2 F df + d2 F 2 =0, ; F 0 (η) =sech 2 η/ 2 = 4 e η/ 2 + e η/ 2 2. Dado que F 0 (0) = 1 se tiene a =2/R T (R T 25.7).Porotroladosetiene U 2 dy = m pero, dado que F 0 (η) es conocida, se tiene df 2 = a b 2, df 2 = 4 2 = a 3 b 2 b En resumen se tiene r m (x) 0.078x ; u s (x) =U (x, 0) 2.60 x ; ψ mxf (η) ; η = y (x). 9