ax + b (x 1)(x 4). c) (2.0 pto.) Sabiendo que f(0) = 2, escriba el desarrollo de Taylor de orden 3 para f en torno a x 0 = 0.

Transcripción

1 Pauta Control 1 MA1002 Cálculo Diferencial e Integral Fecha: 21 de Abril de 2017 Problema 1. Considere la función f : R \ {1, 4} R, tal que su derivada es f (x) = ax + b (x 1)(x 4). a) (1.0 ptos.) Sabiendo que f tiene un punto de inflexión en x 0 = 2 y que f (x 0 ) = 1, calcule los valores de las constantes a y b. b) (3.0 ptos.)estudie la monotonía y y convexidad de f. Determine además si f tiene máximos o mínimos locales. Justifique sus respuestas. c) (2.0 pto.) Sabiendo que f(0) = 2, escriba el desarrollo de Taylor de orden 3 para f en torno a x 0 = 0. Solución: a) Calculemos la segunda derivada de f. Entonces f (x) = = a(x 1)(x 4) (ax + b)(x 1 + x 4) (x 1) 2 (x 4) 2 a(x 1)(x 4) (ax + b)(2x 5). (x 1) 2 (x 4) 2 Como f (2) = 1, entonces obtenemos que 2a + b = 2 y como en x 0 = 2 f tiene un punto de inflexión, entonces f (2) = 0 lo con lo cual se tiene que a = 1 y b = 0. b) Para la monotonía estudiamos el signo de la primera derivada, es decir, de la función f (x) = Realizando el análisis de signo, se tiene que Así, obtenemos x (x 1)(x 4). f (x) > 0 si x (0, 1) (4, + ) f (x) < 0 si x (, 0) (1, 4). f es creciente si x (0, 1) (4, + ) f es decreciente si x (, 0) (1, 4). 1

2 Para la convexidad de f, analizamos el signo de la segunda derivada, es decir, de Luego, Así, obtenemos f (x) = 4 x 2 (x 1) 2 (x 4) 2. f (x) > 0 si x ( 2, 1) (1, 2) f (x) < 0 si x (, 2) (2, 4) (4, + ). f es convexa si x ( 2, 1) (1, 2) f es cóncava si x (, 2) (2, 4) (4, + ). Del análisis de signo de la primera derivada, se tiene que f tiene un mínimo local en x = 0 y no tiene máximos. Lo anterior también se puede realizar analizando el signo de la segunda derivada en los puntos críticos de f, es decir, f 4 (0) = (x 1) 2 (x 4) > 0, 2 por lo que x = 0 es un mínimo local de f. c) Para poder escribir el desarrollo de Taylor de orden 3 nos falta calcular la tercera derivada de f: f (x) = 2x(x 1)2 (x 4) 2 (4 x 2 )[2(x 1)(x 4) 2 + 2(x 1) 2 (x 4)] (x 1) 4 (x 4) 4 = 2x(x 1)2 (x 4) 2 2(4 x 2 )(x 1)(x 4)[x 4 + x 1] (x 1) 4 (x 4) 4 = 2x(x 1)(x 4) 2(4 x2 )(2x 5) (x 1) 3 (x 4) 3 = 2(x3 12x 20) (x 1) 3 (x 4) 3 Luego, f(0) = 2 f (0) = 0 f (0) = 1 4 f (0) = 5 8 Por lo tanto, el desarrollo de Taylor de orden 3 para f es T f (0) = ! x ! x3 + o(x 4 ). 2

3 Problema 2. a) (4.0 ptos.) Entre todos los triángulos rectángulos con perímetro 2p, determine las dimensiones del que tiene área máxima. b) (2.0 ptos.) Demuestre que arc sen(x) + arc cos(x) = π, para todo x [ 1, 1]. 2 Solución: a) Denotemos por y la base del triángulo, x la altura y por z la hipotenusa. Entonces, se tiene que De (1) se tiene que x + y + z = 2p (1) x 2 + y 2 = z 2 (2) A = xy 2. (3) z = 2p x y z 2 = 4p 2 + x 2 + y 2 4px 4py + 2xy usando (2): 4p 2 = 4px + 4py 2xy y = 2p(p x) 2p x. Reemplazando el valor de y en (3), obtenemos que el área viene dada por Entonces, derivando se tiene que A(x) = (px x2 )p 2p x. A (x) = (x2 4px + 2p 2 )p (2p x) 2. Para que se anule la primera derivada, debemos tener que el numerador se anule, por lo que debemos resolver la ecuación: x 2 4px + 2p 2 = 0, cuyas soluciones son x = p(2 ± 2). Notemos que > 2, por lo que x sería mayor que el perímetro. Así, tenemos que x = p(2 2), con lo cual y = p(2 2) y z = 2p( 2 1), es decir, el triángulo es isósceles. 3

4 Para ver si es un máximo calculamos la segunda derivada: A (x) = p[(2p x)2 (2x 4p) (x 2 4px + 2p 2 )(2(2p x)( 1))] (2p x) 4 = 2p x (2p x) 4 [ 4p3 ] < 0. Por lo tanto, los valores encontrados nos entregan el triángulo de área máxima. b) Sea f : [ 1, 1] R definida por f(x) = arc sen(x) + arc cos(x). Tenemos que f es continua en [ 1, 1] y derivable en ] 1, 1[, con f (x) = = 0, 1 x 2 1 x 2 es decir, f es constante sobre ] 1, 1[, y por continuidad es constante sobre [ 1, 1]. Evaluando en x = 0, se tiene que f(0) = π. Por lo tanto, f(x) = π para cada x [ 1, 1]

5 Problema 3. Sea a 0 y considere la función f : [0, 1] R tal que f a (x) = ax 3 + x 1. a) (4.0 ptos.) Demuestre la existencia y unicidad de u [0, 1] tal que f a (u) = 0. b) (2.0 ptos.) Sea g : [0, ) [0, 1] la función que a cada a 0 le asocia única la solución u [0, 1] de la ecuación f a (u) = 0. Pruebe que g es una función continua en todo su dominio. Indicación: Pruebe que para todo a, b 0, au 3 + u 1 = 0 bv 3 + v 1 = 0 [ b(u 2 + uv + v 2 ) + 1 ] (u v) = u 3 (b a). Solución: a) Notemos en primer lugar que la función f a es un polinomio, por lo que es continua en su dominio, además se tiene que f a (0) = 1 y f a (1) = a 0. Luego del Teorema del Valor Intermedio se concluye que existe, al menos un u [0, 1] tal que f a (u) = 0. Veamos la unicidad, supongamos que existen u, v [0, 1] tales que f a (u) = f a (v) = 0, luego es decir au 3 + u 1 = av 3 + v 1, 0 = a(u 3 v 3 ) + (u v) = a(u v)(u 2 + uv + v 2 ) + (u v) = (u v) { a(u 2 + uv + v 2 ) + 1 }, (4) pero como u, v [0, 1] se tiene que a(u 2 + uv + v 2 ) 0, se concluye que { a(u 2 + uv + v 2 ) + 1 } 1, así 0 = (u v) { a(u 2 + uv + v 2 ) + 1 } (u v) = 0, de donde se tiene la unicidad del cero de f a en [0, 1]. 5

6 b) Consideremos ahora la función g definida como g(a) = u, donde f a (u) = 0. Para probar la continuidad basta mostrar que dado a 0 y {a n } n [0, ), una sucesión tal que lím a n = a, n entonces lím g(a n ) = g(a). n Notemos de la indicación que como ag(a) 3 + g(a) 1 = 0 y a n g(a n ) 3 + g(a n ) 1 = 0 implican que [ an (g(a) 2 + g(a)g(a n ) + g(a n ) 2 ) + 1 ] (g(a) g(a n )) = g(a) 3 (a n a). por lo tanto g(a) g(a n ) = g(a) 3 (a n a) [a n (g(a) 2 + g(a)g(a n ) + g(a n ) 2 ) + 1] g(a) 3 (a n a) an a, y como lím a n = a se concluye que necesariamente lím g(a n ) = g(a), lo que demuestra la n n continuidad de la función g. Veamos ahora que la indicación se cumple. Sean u y v tales que au 3 + u 1 = 0 bv 3 + v 1 = 0, luego restando ambas ecuaciones se tiene que 0 = au 3 bv 3 + u v = au 3 bu 3 + bu 3 bv 3 + u v = u 3 (a b) + b(u 3 v 3 ) + (u v) = u 3 (a b) + b(u v)(u 2 + uv + v 2 ) + (u v) = u 3 (a b) + (u v) {b(u 2 + uv + v 2 ) + 1} y es decir lo que completa la demostración. u 3 (b a) = (u v) { b(u 2 + uv + v 2 ) + 1 }, 6