MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASES #23 y #24

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1 MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASES #23 y #24 (Tomado de: Stewart, James. "Precálculo". Quinta edición, secciones 4.1, 4.2 y 4.3) Funciones Exponenciales De nición Si x 2 R;la función de nida por se llama función exponencial con base a: Grá ca de una Función Exponencial f (x) = a x ; con a constante, a > 0 y a 6= 1; Tracemos las grá cas de las funciones f (x) = 2 x y g (x) = x 1. 2 x y = 2 x 3 1=8 2 1=4 1 1= x y = 2 x =2 2 1=4 3 1=8 Como g (x) = grá ca de f. x 1 = x = 2 x = f ( x) ; entonces la grá ca de g es la re exión respecto al eje y de la En general, si f (x) = a x, a > 0, a 6= 1 se tiene: D f = R f(x) > 0 para todo x 2 R, es decir, R f = (0; 1). La grá ca de f (x) = a x pasa por el punto (0; 1) ; pues f(0) = a 0 = 1. 1

2 Si a > 1, la grá ca de f (x) = a x tiene la siguiente forma: Además, a medida que la base a aumenta, la grá ca de f es "más empinada" ("está más cerca al eje y", ó "crece más rápido") para x > 0 y está más cerca del eje x ("crece más lentamente") para x < 0. Si 0 < a < 1, la grá ca de f (x) = a x tiene la siguiente forma: 2

3 Además, a medida que la base a disminuye, la grá ca de f es más "empinada" ("está más cerca al eje y", ó "decrece más rápido") para x < 0 y está más cerca del eje x ("decrece más lentamente") para x > 0. Las grá cas de y = a x y y = x 1 para a > 1, son simétricas con respecto al eje y. a Ejercicios 1. Trace la grá ca de f(x) = 3 x y a partir de ella y en el mismo plano cartesiano, trace la grá ca de la x 1 función g(x) = : 3 2. Considere las funciones f(x) = 2 x y g(x) = x 2 : (a) Trace las grá cas de f y g y compare su crecimiento a medida que x aumenta. (b) Evalúe ambas funciones en x = 2; x = 3; x = 5; x = 10; x = 20 y x = 30 y compare las tasas de crecimiento de f y g. Observación Algunas aplicaciones en las que aparecen las funciones exponenciales son: crecimiento de poblaciones, desintegración de sustancias radiacticas, cálculo de interés compuesto, entre otras. Se puede demostrar que las leyes de los exponentes ya estudiadas, son también válidas cuando los exponentes son números reales. 3

4 Ejemplo Trazar la grá ca de h (x) = funciones. 2 x + 1 a partir de la grá ca de y = 2 x ; utilizando transformaciones de Solución Partiendo de la grá ca de y = 2 x, una secuencia para trazar la grá ca de h es: 1. y = 2 x. 2. y = 2 x (Re exión de la grá ca anterior con respecto al eje y). 3. y = 2 x (Re exión de la grá ca anterior con respecto al eje x). 4. y = 2 x + 1 (Traslación de la grá ca anterior, 1 unidad hacia arriba). Cualquier número positivo a se puede usar como base de la función exponencial. Si a = 1; f(x) = 1 x = 1 es la función constante f(x) = 1 para todo x 2 R: Una base muy importante, que se usa en muchas aplicaciones, es el número irracional e; cuyo valor aproximado es 2:718: 4

5 Función Exponencial Natural La función exponencial natural es la función exponencial con base e f (x) = e x : Como 2 < e < 3; la grá ca de f (x) = e x está entre las grá cas de y = 2 x y y = 3 x. Ejercicios Utilizando transformaciones de funciones, trace la grá ca de las siguientes funciones y para cada una de ellas halle su dominio y rango: 1. f(x) = 2 x 3 : 2. f(x) = 6 3 x : 3. f(x) = e x f(x) = 2 e x : Funciones Logarítmicas Sea a > 0, a 6= 1. Por la prueba de la recta horizontal, la función exponencial f(x) = a x es una función uno a uno y por lo tanto existe su inversa f 1, que se llama función logarítmica con base a y se denota log a. De nición Sea a > 0, a 6= 1: La función logarítmica con base a, denotada log a ; está de nida por log a x = y () a y = x: Así, log a x es el exponente (y) al que se debe elevar la base a para obtener x. 5

6 Ejemplo log = 2; porque 10 2 = 100. log 2 8 = 3; porque 2 3 = 8. log = 2, porque 3 2 = = 1 9. log 36 6 = 1 2 ; porque (36)1=2 = p 36 = 6: Propiedades de los Logaritmos Sea a > 0, a 6= log a 1 = 0; porque a 0 = log a a = 1; porque a 1 = a. 3. log a a x = x, x 2 R; porque a x = a x. 4. a log a x = x, x > 0; porque log a x es el exponente al cual se debe elevar a para obtener x. Las propiedades 3. y 4. resultan también de aplicar las propiedades de una función f y su inversa f 1 : En efecto, si f(x) = a x y f 1 (x) = log a x, a > 0; a 6= 1 (f 1 f)(x) = f 1 (f(x)) = f 1 (a x ) = log a a x = x; x 2 R (f f 1 )(x) = f(f 1 (x)) = f(log a x) = a log a x = x; x > 0: Ejemplo log 3 1 = 0; porque 3 0 = 1. log 2 2 = 1; porque 2 1 = 2. log = 2 porque 7 2 = log p 5 3 = p p p 3 porque log 5 3 es el exponente al que debemos elevar a 5 para obtener 3. Grá ca de la Función Logarítmica Como la función logarítmica con base a es la inversa de f(x) = a x ; a > 0; a 6= 1; entonces D loga = R f = (0; 1) R loga = D f = R: Además, su grá ca se obtiene re ejando la grá ca de f(x) = a x con respecto a la recta y = x: 6

7 En la siguiente gura se muestra la grá ca de y = f 1 (x) = log a x para a > 0 : Tarea Trace las grá cas de y = log 3 x, y = log 4 x y compárelas con las grá cas de y = log 2 x. Cómo se comportan entre ellas? Logaritmos Especiales El logaritmo con base a = 10, se llama logaritmo común y se denota log. log x = log 10 x: El logaritmo con base a = e, se llama logaritmo natural y se denota ln. ln x = log e x: Si en las propiedades de los logaritmos hacemos a = e obtenemos: ln 1 = 0; ln e = 1; ln e x = x; x 2 R; e ln x = x; x > 0: Ejemplo log 100 = 2; porque 10 2 = 100. log 0:1 = 1; porque 10 1 = 0:1. ln e 2 = 2, porque e 2 = e 2. e ln 15 = 15, porque ln 15 es el exponente al que debemos elevar a e para obtener 15. 7

8 Leyes de los Logaritmos Las siguientes propiedades de los logaritmos, llamadas leyes de los logaritmos, se deducen fácilmente de las leyes de los exponentes. Sea a > 0, a 6= 1; x > 0 y y > log a (xy) = log a x + log a y. x 2. log a = log y a x log a y. 3. log a (x r ) = r log a x. Importante: Al trabajar con logaritmos debe tenerse en cuenta que: log a (x + y) 6= log a x + log a y: log a x log a y 6= log a x : y (log a x) r 6= r log a x: Cambio de Base Dado y = log b x, queremos expresar y en términos de log a x : Como y = log b x () b y = x; log a b y = log a x () y log a b = log a x () y = log a x log a b : Y así, Ejemplo log b x = log a x log a b. 1. Calcule el valor exacto de las siguientes expresiones: (a) log log 4 32 (b) log 2 80 log 2 5 (c) log log log 5 2: 2. Escriba los siguientes logaritmos como un cociente de logaritmos naturales: (a) log 5 8 (b) log

9 Solución 1. (a) log log 4 32 = log 4 (2 32) = log 4 64 = (b) log 2 80 log 2 5 = log 2 = log = 4. (c) log log log 5 2 = log 5 (10 20) log = log = log = log 5 25 = Usando cambio de base obtenemos: (a) log 5 8 = log e 8 log e 5 = ln 8 ln 5. (b) log 3 10 = log e 10 log e 3 = ln 10 ln 3. 9