el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de funciones elementales pág. 1

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1 el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de funciones elementales pág. 1 FUNCIONES LINEALES 1.- FUNCIÓN CONSTANTE Una función constante es aquella en la cual el valor de la variable dependiente siempre es el mismo sea cuál sea el valor de la variable independiente. Su gráfica es una línea recta paralela al eje de abscisas, X. Su epresión matemática es =b. Para representar esta función, como sabemos que pasa por el punto (0,b), pues si =0, =b. Por tanto sólo falta obtener otro punto, que se consigue dándole un valor a obteniendo el correspondiente valor de (que también será b)..- FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD La función de proporcionalidad: = m : - Es una recta, pues a variaciones iguales de corresponden variaciones iguales de. - Pasa por el punto (0,0), pues si =0, entonces =m 0=0. Por tanto, para representarla solo falta obtener otro punto. Ejemplo: Para representar =(3/4) hacemos: =4=(3/4) 4=3. Entonces tenemos los puntos: (0,0) (4,3). 3.- FUNCIÓN LINEAL: REPRESENTACIÓN DE LA GRÁFICA A PARTIR DE SU ECUACIÓN Las funciones de la forma m n se llaman funciones lineales. Se caracterizan porque su crecimiento es constante, por tanto, se representan mediante rectas (por eso, en la tabla de valores sólo nos hace falta calcular dos puntos). La ecuación m n se representa por una recta con estas características: - Su pendiente es m (la pendiente es el coeficiente de la en la ecuación m n ). Representa la variación de por cada unidad de. - Su ordenada en el origen es n. Es decir, si = 0, entonces = n. Por tanto, corta al eje Y en el punto 0,n. 4.- ECUACIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA. OBTENCIÓN DE LA PENDIENTE El parámetro m (constante de proporcionalidad), que puede ser positiva o negativa, se llama pendiente de la recta, tiene que ver con su inclinación: Si m > 0, la recta, la función, es creciente. Si m < 0, la recta, la función, es decreciente. Dada la ecuación de la recta, la pendiente es el coeficiente de la cuando la está despejada.

2 el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de funciones elementales pág. La pendiente (coeficiente de la ) es la variación (positiva o negativa) que eperimenta la cuando la aumenta una unidad. Para hallarla, se divide la variación de la por la variación de la entre dos de sus puntos. 5.- PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES Los puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas se calculan de la siguiente forma: Con el eje X: se hace =0 se despeja la. Con el eje Y: al hacer =0 se obtiene =n el punto es (0,c).

3 el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de funciones elementales pág. 3 FUNCIÓN CUADRÁTICA: LA PARÁBOLA 1.- FUNCIÓN CUADRÁTICA: LA PARÁBOLA Las funciones cua epresión es un polinomio de grado, a b c se llaman funciones cuadráticas. Las gráficas de estas funciones son parábolas con eje vertical (paralelo al eje Y). El vértice de una parábola se calcula encontrando su coordenada mediante la epresión: su coordenada sustituendo el valor obtenido en la ecuación de la parábola, es decir: b V, f a b a b v a, Eje de simetría de la parábola: es la recta de ecuación: respecto a dicho eje (que es una recta vertical, es decir, paralela al eje Y). b a. Cumple que la gráfica es simétrica Los puntos de corte de la parábola con los ejes de coordenadas se calculan de la siguiente forma: Con el eje X: se hace =0 se despeja la, pudiendo haber cero, uno o dos puntos de corte. Con el eje Y: al hacer =0 se obtiene =c el punto es (0,c). Para calcular los puntos de corte con el eje X resolvemos la ecuación a b c 0, que tendrá dos, b 4ac una o ninguna solución, dependiendo del valor de discriminante (radicando). Dos soluciones implica dos puntos de corte, una solución quiere decir que la parábola es tangente al eje OX ninguna solución implica que la parábola no toca al eje: está entera por encima o por debajo del eje OX. Orientación de la parábola: Si a > 0, la parábola presenta un mínimo en su vértice las ramas de la parábola van hacia arriba,, si a < 0, la parábola presenta un máimo en su vértice las ramas de la parábola van hacia abajo.

4 el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de funciones elementales pág. 4 Ejemplo 4: Representa gráficamente la parábola 6 8 f..- ESTUDIO DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA COMPLETA EJERCICIOS: 1º.- Representa gráficamente las siguientes parábolas: 1) = [V=(1,-8), P. Corte: (3,0), (-1,0), (0,-6)] ) = [V=(,-), P. Corte: (0,-6)] 3) = [ 5 59, 6 1 4) = 3-4 [ 3 5, 4 V, P. Corte: (0,7)] V, P. Corte: (-1,0), (4,0), (0,-4)] 5) = -4+3 [V=(,-1), P. Corte: (3,0), (1,0), (0,3)]

5 el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de funciones elementales pág. 5 6) = [V=(3,1), P. Corte: (,0), (4,0), (0,-8)] 7) = +4+3 [V=(-,-1), P. Corte: (-3,0), (-1,0), (0,3)] 8) = ) = +6+5 [V=(-3,-4), P. Corte: (-1,0), (-5,0), (0,5)] 10) = ) = -6+8 [V=(3,-1), P. Corte: (4,0), (,0), (0,8)] 1) = -4 [V=(0,-4), P. Corte: (,0), (-,0), (0,-4)] 3.- CONSTRUCCIÓN DE PARÁBOLAS POR TRASLACIÓN

6 el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de funciones elementales pág. 6 FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA Las funciones cua ecuación es de la forma k se llaman funciones de proporcionalidad inversa. Se representan mediante hipérbolas, cuas asíntotas son los ejes coordenados. Su dominio de definición es:, 0 0,. Su recorrido es: 0 0,,. Es creciente en todo su dominio si k < 0 decreciente si k > 0. No tiene etremos relativos. Es discontinua en =0. No corta a los ejes de coordenadas. Asíntotas: - Horizontales: =0. - Verticales: =0. Es simétrica respecto al origen de coordenadas.

7 el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de funciones elementales pág. 7 HIPÉRBOLAS DE LA FORMA FUNCIONES RACIONALES k a : Son traslaciones de la función de proporcionalidad inversa. El nuevo eje vertical es = a. Se obtiene trasladando la función a la derecha o a la izquierda según el signo de a. k a HIPÉRBOLAS DE LA FORMA b : Son traslaciones de la función k a. El nuevo eje vertical es = a. Se obtiene trasladando la función a la derecha o a la izquierda según el signo de a. El nuevo eje horizontal es = b se obtiene trasladando el eje de ordenadas ( = 0) hacia arriba o hacia abajo según sea el signo de b. En los cocientes de polinomios de grado 1 en numerador denominador, efectuamos la división de los polinomios de manera que obtenemos una epresión de la forma anteriormente visto. k b a entonces aplicamos lo Ejemplo: ; eje vertical: = 4; eje horizontal: = 1.

8 el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de funciones elementales pág. 8 Ejercicio: Encuentra la epresión algebraica para cada una de las siguientes funciones: 6 Ejercicio: Representa la función: : Se descompone la función de la forma: 1 4 Se representa: 4 Se representa:, trasladando la gráfica horizontalmente hacia la derecha dos unidades. 4 Se representa: 1, desplazando la gráfica anterior verticalmente hacia arriba una unidad.

9 el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de funciones elementales pág. 9 Caso general: Las funciones cua ecuación es de la forma P( ) f ( ), con P Q polinomios, se llaman funciones Q( ) racionales. Su dominio de definición son todos los números reales ecepto los que anulan el denominador. Es discontinua en los puntos que no pertenecen al dominio. Los puntos de corte con el eje X son los ceros de P() que pertenezcan al dominio. Asíntotas: - Verticales: se encuentran en los puntos que anulan el denominador. - Horizontales: comparamos grados: - si grado[p()] > grado[q()] no ha asíntota horizontal. - si grado[p()] < grado[q()] =0 es asíntota horizontal. Ejemplos: - si grado[p()] = grado[q()] =k es asíntota horizontal, donde a k, siendo a b b los coeficientes de los términos de maor grado de P() Q() respectivamente.

10 el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de funciones elementales pág. 10 FUNCIÓN EXPONENCIAL Las funciones de la forma f ( ) a, con a un número positivo, se llaman funciones eponenciales. Su dominio de definición son todos los números reales. Su recorrido son los reales positivos. Es continua en todo su dominio. Corta al eje OY en el punto (0,1). Si a > 1 crece siempre si a < 1 decrece siempre. Asíntotas: - Verticales: no tiene. - Horizontales: - si a > 1 = 0 es asíntota horizontal en menos infinito. - si 0 < a < 1 = 0 es asíntota horizontal en más infinito. Ejemplo: La división de bacterias se realiza por división de la célula madre en dos células hijas. Esto ocurre con la bacteria Salmonella tphimurium, causante de intoicaciones alimentarias, que necesita una hora, aproimadamente, para dividirse en dos. La tabla nos muestra el número de bacterias que van apareciendo con el paso del tiempo, en horas: Tiempo (horas) Número de bacterias La epresión matemática que se ajusta a la tabla a la gráfica de esta función es: f ( ) Ejemplo: El elemento químico denominado radio tiene un periodo de semidesintegración de, aproimadamente, 1600 años. Esto quiere decir que cada 1600 años la cantidad radiactiva de radio se reduce a la mitad. Por tanto, si partimos de 1 gr. de radio, al cabo de 1600 años o un periodo de semidesintegración habrá 1/ gr. de radio, al cabo de dos periodos (300 años) habrá 1/4 así sucesivamente. Hace 1600 años (menos un periodo de semidesintegración) había dos gramos de radio, hace dos periodos había 4 gramos, etc. La siguiente tabla nos da el número de períodos de semidesintegración en función de la cantidad de radio: Tiempo (períodos de semidesintegración) Cantidad (gramos) / 1/4 La epresión matemática que se ajusta a la tabla a la gráfica de esta función es: 1 f ( )

11 el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de funciones elementales pág. 11 FUNCIÓN LOGARÍTMICA Las funciones cua ecuación es de la forma f ( ) log, con a un número positivo, se llaman funciones logarítmicas. Su dominio de definición son todos los números reales positivos. Su recorrido son todos los números reales. Es continua en todo su dominio. Corta al eje de abscisas en el punto (1,0). Si a > 1 crece siempre si 0 < a < 1 decrece siempre. Asíntotas: - Verticales: = 0. - Horizontales: no tiene. Ejemplo: La división de bacterias se realiza por división de la célula madre en dos células hijas. Esto ocurre con la bacteria Salmonella tphimurium, causante de intoicaciones alimentarias, que necesita una hora, aproimadamente, para dividirse en dos. Vamos a estudiar ahora el tiempo transcurrido en función del número de bacterias. La tabla nos muestra las horas que pasan en función del número de bacterias que tenemos: Número de bacterias Tiempo (horas) Tenemos:. La epresión matemática que se ajusta a la tabla a la gráfica de esta función es: log a Ejemplo: El radio tiene un periodo de semidesintegración de, aproimadamente, 1600 años. Un físico de un prestigioso laboratorio depositó en una urna 1 gr. de radio con el fin de que sirviera de reloj para la posteridad. La siguiente tabla nos da el número de períodos de semidesintegración en función de la cantidad de radio: Cantidad de radio (gr.) Tiempo (período de semidesintegración) / 1 1/4 Tenemos: 1. La epresión matemática que se ajusta a la tabla a la gráfica de esta función es: log 1/

12 el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de funciones elementales pág. 1 Las gráficas de la función eponencial logarítmica con la misma base, es decir, a loga son simétricas respecto a la recta =, bisectriz del primer tercer cuadrante. Las funciones con esta interesante propiedad gráfica reciben el nombre de funciones inversas.

13 el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de funciones elementales pág. 13 FUNCIONES CIRCULARES Función seno de Dominio: R. Recorrido: 1,1 Crecimiento decrecimiento: En el intervalo, 3, estrictamente decreciente en Etremos relativos: En el intervalo 0, tiene un máimo en Simetría: Es simétrica respecto al origen de coordenadas. Continuidad: No tiene puntos de discontinuidad. 0 es estrictamente creciente en 0, 3,. 3 un mínimo en Intersecciones con los ejes: Corta al eje OY en el punto (0,0), en el intervalo, al eje OX en (0,0), (π,0) (π,0). Asíntotas: No tiene. Función coseno de. 0, corta Dominio: R. Recorrido: 1,1 Crecimiento decrecimiento: En el intervalo 0, es estrictamente creciente en estrictamente decreciente en (0,π). Etremos relativos: En el intervalo, Simetría: Es simétrica respecto al eje de ordenadas. 0 tiene un máimo en = 0 un mínimo en = π.,

14 el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de funciones elementales pág. 14 Continuidad: No tiene puntos de discontinuidad. Intersecciones con los ejes: Corta al eje OY en el punto (0,1), en el intervalo, eje OX en,0 Asíntotas: No tiene. Función tangente de 3,0. 0, corta al 3 Dominio: Todos los números reales ecepto los múltiplos de. Recorrido: R. Crecimiento decrecimiento: Es siempre creciente. Etremos relativos: No tiene. Simetría: Es simétrica respecto del origen de coordenadas. 3 ( en todos sus múltiplos). Continuidad: Es discontinua en Intersecciones con los ejes: Corta al eje OY en (0,0), en el intervalo 0,, al eje OX en (0,0) (π,0). Asíntotas: Las rectas 3 0. son asíntotas verticales en el intervalo,