Respuesta. Si 100 manzanas es una muestra suficientemente grande podemos ocupar el TCL. Por lo tanto:

Transcripción

1 Curso: Estadístca Iferecal (ICO 8306) Profesores: Esteba Calvo, Pablo Huechapa y Omar Ramos Ayudates: José T. Meda, Fabo Salas y Daela Vlches PROBLEMA Cosdere que Ud. es dueño de u campo que produce mazaas, dchas mazaas so veddas e u local comercal que se ecuetra e ua cudad que lametablemete ha reducdo el cosumo de éstas (las vetas ha dsmudo). Por ello ha decdo aplcar ua estratega comercal agresva, la cual cosste e regalar al clete la mazaa que posea u dámetro feror a 6.8 cm. Su soco o está de acuerdo co su estratega, ya que cosdera que esta maobra llevará a regalar ua proporcó mportate de mazaas que o podrá ser facadas y para demostrárselo tomó ua muestra de 00 mazaas obteedo u dámetro promedo de las mazaas gual a 7 [cm] y ua desvacó estádar de 4 [cm]. Parte. Su soco cosdera que sólo se puede facar el 5% del total de mazaas que se comercalza. Utlzado la formacó dspuesta por su soco y cosderado que ua muestra de tamaño 00 es grade. Determe la porcó de mazaas que tedría que regalar co su estratega comercal y establezca s su soco tee razó o o. S 00 mazaas es ua muestra sufcetemete grade podemos ocupar el TCL. Por lo tato: Pr( Mx ( ) 6.8) Fraccó de mazaas que se deberá regalar M ( x) E( M ( x)) 6.8 E( M ( x)) Pr( Mx ( ) 6.8) Pr V ( M ( x)) V ( M ( x)) Mx ( ) Pr( M ( x) 6.8) Pr Pr( Z 0.5) / 00 4 / 00 Co esta polítca regalaríamos cerca del 3% de las mazaas, co lo que su soco tedría la razó. Parte. Determe el dámetro que debería ocupar e su promocó para o regalar más del 5% de sus mazaas. El plateameto del problema correspode a: Pr( M( x) a) 0.5 Dode a correspode al dámetro máxmo que se puede facar. M ( x) E( M ( x)) a E( M ( x)) a 7 Pr( M ( x) a) Pr Pr Z V ( M ( x)) V ( M ( x)) 4 00 De la tabla Normal teemos

2 Curso: Estadístca Iferecal (ICO 8306) Profesores: Esteba Calvo, Pablo Huechapa y Omar Ramos Ayudates: José T. Meda, Fabo Salas y Daela Vlches a 7 4 / 0.04 a 6.58 Por lo tato, se puede elegr cual medda para el dámetro de las mazaas sempre y cuado sea feror a 6.58 [cm] para realzar la promocó PROBLEMA Ua empresa desea cotratar más trabajadores para ua de sus platas, ya que ecesta aumetar su volume de produccó para el segudo semestre. Segú la empresa, por su expereca sabe que el sueldo que pde los uevos trabajadores sgue ua dstrbucó ormal. Además, de 5 etrevstas que ha realzado a alguos postulates, se ha determado que el promedo de los gresos que pde los trabajadores es de $ Parte. Determe cuál será el sueldo promedo estmado, usado el método de máxma verosmltud. Respuesta: Para usar el método de máxma verosmltud, prmero debemos calcular la fucó de verosmltud de la muestra. E este caso, sabemos que la varable sueldos, sgue ua dstrbucó ormal: x f x exp Por lo tato, la fucó de verosmltud será gual a: f x f x x exp x exp Ua vez hemos obtedo la fucó de verosmltud, procedemos a loglealzarla, para hacer más secllos los cálculos:

3 Curso: Estadístca Iferecal (ICO 8306) Profesores: Esteba Calvo, Pablo Huechapa y Omar Ramos Ayudates: José T. Meda, Fabo Salas y Daela Vlches x L exp x l( L) l exp x l l l l x Ahora que teemos la fucó e ua forma más seclla, procedemos a calcular uestro estmador: l x 0 x ˆ Mx ( ) Por lo tato, ocupado el método de máxma verosmltud, el sueldo promedo de los trabajadores será gual al sueldo promedo muestral, es decr, de $ PROBLEMA 3 La coocda Multteda FALAFERIA está evaluado la veta de tres marcas dferetes de refrgeradores: HFRIO, TOYELAO y MECONGLO. Cada ua de las marcas es gualmete compettva co respecto a las otras e cuato a la relacó caldad preco. Sea Q, Q y Q3 varables aleatoras depedetes etre sí, todas co dstrbucó ormal, y que represeta el volume de vetas de cada ua de las tres marcas, respectvamete. S las medas para estas varables so 8, y 5 co desvacoes estádar de, 3 y 5 para las marcas HFRIO, TOYELAO y MECONGLO de maera respectva. IND: Las catdades referdas está e mles [$M]. Parte Supoga que el preco de TOYELAO es u 0% más barato que el de HFRIO, metras que el de MECONGLO es u 0% más barato que éste msmo. Determe el preco de cada refrgerador s se sabe que el 60% de las veces se obtuvo u greso total etre todos los refrgerados superor a 30 ml mlloes [$MM]. Repuesta. Asumremos que el preco de HFRIO es P, etoces, el problema a resolver correspode a: Pr( P Q P Q P3 Q3 30) Pr( P[ Q 0.Q 0.8Q 3] 30) PrQ 0.Q 0.8Q3 0.6 P Para smplfcar las expresoes dremos que X Q 0.Q 0. 8Q3, por lo tato, podemos establecer que: E ( X)

4 Curso: Estadístca Iferecal (ICO 8306) Profesores: Esteba Calvo, Pablo Huechapa y Omar Ramos Ayudates: José T. Meda, Fabo Salas y Daela Vlches V ( X ) 4 (0.) De esta maera la probabldad ateror se reduce a: Pr( X 50 P Pr( X 50 P (0.8) ) Pr( X 50 P ) 0.7 ( ) ) Pr X E X P Pr P 0.4 ( ) 7.3 Z 5. V X De la tabla de dstrbucó ormal estádar ecotramos que la probabldad ateror se cumple cuado 30 P P.0 Por lo tato, teemos que el preco de HFRIO es aproxmadamete $ , el de TOYELAO es $8.000, metras que el de MECONGLO es de $ Parte Se está evaluado la posbldad de elmar la marca TOYELAO, lo cual ocurrrá s más del 50% de las veces la catdad total vedda de las otras dos más marcas supera a ésta por más de 5.5 ml udades. Se elmará la marca TOYELAO? El plateameto del problema correspode a: Pr( Q Q Q 5.5) 0.50 Se retra la marca de la teda 3 Pr( Q Q Q 5.5) 0.50 No se retra la marca de la teda 3 Es decr, debemos resolver la sguete probabldad: Pr( Q Q3 Q 5.5), que para efecto de smplcdad defremos que Y Q Q3 Q Así que E ( Y) 8 5 y que V ( Y) , por lo tato, teemos que ( ) Pr( 5.5) Pr Y E Y Y Pr Z Pr ( ) V Y Etoces, claramete la marca será sacada del mercado. Z

5 Curso: Estadístca Iferecal (ICO 8306) Profesores: Esteba Calvo, Pablo Huechapa y Omar Ramos Ayudates: José T. Meda, Fabo Salas y Daela Vlches PROBLEMA 4 Sea X la proporcó de tempo asgado por u trabajador recé cotratado, seleccoado al azar, e realzar ua prueba de apttudes durate el día. Supoga que la fucó de probabldad de X es: f x (x; θ) = { (θ + )xθ 0 x 0 ~ Dode θ >. Parte. Ecuetre el estmador de máxma verosmltud Para calcular el estmador de máxma verosmltud lo prmero que debemos hacer es ecotrar la fucó de verosmltud de toda la muestra o fucó cojuta: L(θ x,, x ) = f(x ; θ) = L = (θ + )x θ = L = (θ + ) x θ = Luego podemos calcular las codcoes de prmer orde, pero como esto es muy complcado, prmero lealzaremos la fucó (uestro máxmo o cambará ya que logartmo atural es ua fucó leal crecete): Ahora s es fácl ecotrar el máxmo: l = l(θ + ) + θ l x = l θ = θ + + l x = 0 = θ = l x = Parte. Ecuetre el estmador por el método de los mometos E el método de los mometos gualamos los mometos poblacoales co los muestrales. Por lo tato, el prmer paso es ecotrar el mometo poblacoal: 5

6 Curso: Estadístca Iferecal (ICO 8306) Profesores: Esteba Calvo, Pablo Huechapa y Omar Ramos Ayudates: José T. Meda, Fabo Salas y Daela Vlches Luego, teemos que gualar al mometo muestral: E(x) = θ (θ + )x θ dx 0 = θ (θ + ) x θ dx = θ (θ + ) ( xθ+ θ + ) 0 0 = θ (θ + ) ( θ+ θ + 0θ+ θ + ) = θ (θ + ) ( θ + ) = θ E(x) = M(x) θ = x Por lo tato, el estmador de mometos es el promedo muestral. Parte Ua muestra aleatora de 0 trabajadores arrojó los sguetes resultados: x = 0,, x = 0,7, X 3 = 0,, x 4 = 0,65, x 5 = 0,86, x 6 = 0,73, x 7 = 0,7, x 8 = 0,4, x = 0,77. Calcule el valor de ambos estmadores. Respuesta Como so 0 trabajadores, la muestra rá de a 0. Remplazado estos e la sumatora del estmador de máxma verosmltud: θ mv = = = l x,6745 = 4,3747 Y e el de mometos: θ mom = x = = 7,53 = 0,83 6