Hoja de Problemas 6. Moléculas y Sólidos.

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1 Hoja de Problemas 6. Moléculas y Sólidos. Fundamentos de Física III. Grado en Física. Curso 2015/2016. Grupo 516. UAM Problema 1 La separación de equilibrio de los iones de K + y Cl en el KCl es aproximadamente nm. (a) Calcular la energía potencial de atracción de los iones suponiendo que para esta separación los iones se pueden suponer cargas puntuales. (b) La energía de ionización del K es 4.34 ev y la afinidad electrónica del Cl es 3.61 ev. Determinar la energía de disociación, despreciando toda energía de repulsión. (c) La energía de disociación medida experimentalmente es 4.40 ev. Cuál es la energía debida a la repulsión de los iones en la separación de equilibrio? Solución Problema 1 (a) La energía potencial de atracción es U atr = ke2 r 1.440eV nm = = 5.39 ev 0.267nm (b) Para formar el K + y el Cl se requiere aportar una energía de E ion =4.34 ev ev= 0.73 ev. Así, despreciando la energía de repulsión, la energía de disociación vendrá dada por ) E d = ( ke2 r + E ion = 5.39 ev 0.73 ev = 4.66 ev (c) La energía de repulsión a la separación de equilibrio simplemente será E rep =4.66 ev ev = 0.26 ev. Problema 2 El potencial entre dos átomos en una molécula se describe en ocasiones utilizando el llamado potencial del Lenard-Jones, que tiene la expresión [ (a ) 12 ( a ) ] 6 U(r) = U 0 2 r r 1

2 donde U 0 y a son constantes. (a) Calcula la distancia interatómica r min en función de a para la cual la energía potencial es mínima. (b) Calcula el correspondiente valor de energía potencial mínima U min. (c) Para la molécula de H 2 se tiene que a = nm y U 0 = 32.8 ev. Representa en una misma gráfica la parte atractiva, repulsiva y total de U(r) para la molécula de H 2. (a) Podemos encontrar el mínimo de U(r) haciendo de donde obtenemos du dr = U [ 0 12a 12 r a 6 r 7] = 0 12a 12 r a 6 = 0 r 6 = a 6 r = a (b) La correspondiente energía potencial mínima U min se calcula simplemente sustituyendo en la expresión del potencial la condición de mínimo obtenida en (a) [ (a ) 12 ( ] a 6 U min = U 0 2 = (1 2)U 0 = U 0 a a) (c) Representación gráfica (utilizando Matlab por ejemplo) Figura 1: Representación gráfica para el apartado (c) del Problema 2. Problema 3 Consideremos una cadena unidimensional de iones positivos y negativos colocados de forma alterna. Demostrar que la energía potencial de un ión en este hipotético cristal viene dada por U 0 = α ke2 d donde α = 2 ln(2) es la constante de Madelung y d es la distancia entre los iones. 2

3 Solución Problema 3 Es útil comenzar dibujando un esquema del sistema propuesto en el enunciado Figura 2: Representación esquemática del sistema de iones del Problema 3. Para el ión negativo que está en el origen (etiquetado con 0. en el esquema), la energía potencial se puede escribir como V = (1 2ke2 12 d ) +... Si comparamos la expresión anterior con la que se utiliza para la definición de la constante de Madelung (α) V = α ke2 d tenemos que α = 2 ( ) +... Ahora, teniendo en cuenta que y que por lo tanto ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x ln(2) = obtenemos el resultados que estábamos buscando α = 2 ln(2) = Problema 4 En este problema debe determinarse la forma en que la fuerza de Van der Waals entre una molécula polar y otra no polar depende de la distancia entre las moléculas. Supongamos que el momento dipolar de la molécula polar se encuentra orientado en la dirección x y la molécula no polar está a una distancia x. (a) Cómo varía con la distancia x el campo eléctrico de un dipolo?. (b) Teniendo en cuenta que la energía potencial de un dipolo eléctrico de momento p en un campo eléctrico E es igual a U = p E y que el momento dipolar inducido de la molécula no polar es proporcional a E, determinar cómo depende la energía potencial de interacción de las dos moléculas de la distancia de separación. (c) A partir de la ecuación F x = du/dx determinar la dependencia con x de la fuerza entre las dos moléculas. 3

4 Solución Problema 4 (a) Podemos escribir el campo eléctrico creado por el dipolo asociado a molécula polar (molécula con momento dipolar permanente) del enunciado como E d = k p 1 x 3 donde p 1 = qa, siendo a la separación entre las cargas q y q del dipolo. (b) En el enunciado nos indican que para el caso de una molécula no polar p en un campo E se cumple que p = αe. Utilizando este hecho, podemos obtener el momento dipolar de la molécula no polar inducido por el campo creado por p 1 como u x p 2 = αe d = αkp 1 x 3 Por tanto, la energía potencial que nos piden en este apartado vendrá dada por la expresión u x U = p 2 E d = α (kp 1) 2 (c) Finalmente, para determinar la fuerza de interacción entre las dos moléculas simplemente hacemos F x = du dx = d [ α(k 2 p 2 1 ) ] dx x 6 = 6αk2 p 2 1 x 7 x 6 Problema 5 El camino libre medio de un electrón en un metal (λ) depende tanto de las oscilaciones de los iones metálicos como de las correspondientes a los iones de impureza, de acuerdo con la expresión 1/λ = 1/λ m +1/λ i (donde el primer término corresponde a la contribución de los iones metálicos y el segundo a los iones de impureza). Se realiza un experimento en el que se observa que la resistividad del cobre puro aumenta en Ω m con la adicción de un 1 % (relativo al número de átomos) de un cierto material impureza que se distribuye uniformemente en todo el metal. (a) Estimar λ i de esta información. (b) Calcular la sección transversal de los átomos de impureza que ven los electrones. Solución Problema 5 (a) En clase vimos que la resistividad se puede escribir como ρ = m eu F ne 2 λ Utilizando al expresión 1/λ = 1/λ m + 1/λ i que nos dan en el enunciado, podemos escribir ρ = ρ m + ρ i, donde ρ m = m eu F ne 2 λ m corresponde al caso de Cu puro (sin impurezas) ρ i = m eu F ne 2 λ i es a la contribución de las impurezas a la resistividad. 4

5 Formulando el problema de esta forma, es fácil ver que el aumento de la resistividad en Ω m que nos mencionan en el enunciado corresponde a ρ i, es decir, hacemos ρ i = Ω m. Por tanto, λ i se calcula haciendo λ i = m eu F ne 2 λ i = m = 60nm donde hemos usado que para el Cu n = electrones/m 3 y u F = (2E F /m e ) 1/2 = m/s. (b) En clase también vimos que λ = 1/(n a πr 2 ) donde n a es la densidad de centros de colisión y d = 2r es el diámetro efectivo de los mismos. Aplicando esta expresión a nuestro caso y despejando d tenemos que d = 2 ni πλ i donde n i es la densidad de impurezas, que nos indican que es 1 % de n = electrones/m 3 n i = /m 3. Así, introduciendo en la ecuación de arriba esta valor de n i y el de λ i obtenido en el apartado (a) se obtiene que d = nm. Problema 6 (a) El band-gap energético del germanio es 0.72 ev. Qué rango de longitudes de onda del visible será transmitidas a través de un cristal de Ge? (b) Ahora considera un aislante cuyo band-gap es 3.6 ev. Cómo sería su espectro de transmisión en el rango del visible? Solución Problema 6 Para responder a este problema primero nos calculamos el intervalo de energías correspondientes a fotones en el rango del visible (longitudes de onda λ entre 380 y 720 nm). Para ello utilizamos E = hf = hc/λ = 1240 ev nm/λ λ = 380 nm E = 3.3 ev λ = 720 nm E = 1.7 ev (a) Todas las frecuencias del visible pueden excitar electrones a través de band-gap de 0.72eV del Ge (los fotones de esas frecuencias serán absorbidos por el material). Por tanto, la luz visible no será transmitida a través del cristal. (b) Para el aislante del enunciado tenemos justo el caso contrario que en el apartado anterior: ningún fotón de luz visible tiene la energía suficiente como para excitar electrones a través del band-gap de 3.6 ev Por tanto, el cristal será transparente a la luz visible. 5

6 Problema 7 Un buen diodo de silicio posee la característica corriente-voltaje dada por I = I 0 (e ev b/kt 1). Sea kt = ev (temperatura ambiente) y la corriente de saturación I 0 = 1.0 na. (a) Representar gráficamente I en función de V b para valores positivos y negativos de V b. (b) Demostrar que para voltajes pequeños de la polarización inversa la resistencia es de 25 MΩ. (Pista: hacer un desarrollo de Taylor de la función exponencial alrededor de V b ). (c) Determinar la resistencia (en corriente continua) para una polarización inversa de 0.5 V. (d) Hallar la resistencia V/I para una polarización directa de 0.5 V. (e) Calcular la resistencia diferencial, dv/di, para una polarización directa de 0.5 V. (a) Representación gráfica Figura 3: Representación gráfica para el apartado (a) del Problema 7. (b) Haciendo el desarrollo de Taylor que nos indican en el enunciado tenemos Por tanto, podemos escribir la corriente I como e ev b/kt 1 + ev b kt ev b I = I 0 kt = V b R Despejando R obtenemos lo que se nos pide en este apartado R = kt ei 0 = ev e 10 9 = 25.0 MΩ A (c) Para V b = 0.5 V R = V b /I = 0.5V/10 9 A = 500 MΩ (d) Para V b = 0.5 V, tenemos I = 10 9 A (e 0.5/ ) = A. De donde obtenemos R = V b /I = 0.5/0.485 = 1.03 Ω. 6

7 (e) Tenemos que y por tanto di dv b = ei 0 kt eev b/kt R ac = dv b di = kt ei 0 e ev b/kt = 25.0 MΩ e 20 = Ω 7