2º de Bachillerato Interacción Gravitatoria

Transcripción

1 Física EA º de Bacilleato Inteacción avitatoia.- Aveiua cuál seía la duación del año teeste en el caso supuesto que la iea se acecaa al Sol de manea que la distancia fuea un 0 % meno que la eal. Y si se alejase en la misma popoción? Solución: 8 días 4 56 días.- Un tiánulo ectánulo tiene unos catetos de m y 4 m de lonitud. En los vétices del más pequeño se encuentan dos masas de 800 y 00 m. Calcula el campo avitatoio total existente en el vétice estante. Si en ese lua colocamos una masa de pueba de 0 m qué fueza avitatoia actuaía sobe ella? Solución: - 6'7 i + '8 j µm/s.- Dos masas puntuales de 50 y 80 oneladas están situadas en los puntos A (0,,7) m y B (5,5,-) m espectivamente. a) Calcula el campo avitatoio total que existiá en el punto P (0,0,0) m b) Calcula el potencial avitatoio en ese punto c) Aveiua la fueza que actuaá sobe una masa de 00 K si la situamos en el punto P d) Aveiua también su eneía potencial avitatoia Solución: 7' i - 6'9 j - 9' k nm/s - 4 9x0-7 J/K 4.- Suponiendo que la óbita teeste es cicula de 494x0 8 Km de adio y que la iea inviete 65 5 días en su evolución completa, detemina la intensidad del campo avitatoio sola en un punto que diste del Sol la centésima pate que nuesto planeta Solución: 59'6u 5.- Un cuepo A, de 5 K, está situado en el punto P (0,8,0) m y sobe él actúa una fueza avitatoia cuya intensidad es de 50 N, debido a la atacción de oto cuepo B situado en el oien de coodenadas a) Calcula el vecto en dico punto b) Deduci el valo de la masa del cuepo B c) Aveiua el potencial avitatoio en el punto P Solución: -0'77 i - 4'6 j - 0'77 k N/K 98x0 4 K 8 5 J/K 6.- Calcula la distancia a la que debe esta un punto de la supeficie de una esfea de manea que su campo avitatoio se a la mitad que en la supeficie. Si a dica esfea, supuesta omoénea, se le pivase de la mitad de su masa, cuál seia aoa el valo de la avedad en su supeficie? Solución:

2 7.- A una altua de Km sobe la supeficie de la iea está situado un cuepo de K de masa, inicialmente en eposo. Calcula a) a fueza avitatoia que actúa sobe él b) Su eneía potencial c) Si se deja cae desde esta posición qué velocidad tendía al llea a la supeficie teeste? Solución: 7 89 N - 98x0 8 J 8 76 Km/s 8.- Cuál es la velocidad mínima inicial que ay que comunica a un cuepo situado en la supeficie de la una paa que pueda escapa de su campo avitatoio? Cuál seía su velocidad cuando se ubiea alejado Km de la supeficie luna? DAOS: asa de la una 7 4x0 K adio de la una 740 Km Solución: 4 Km/s 0 76 Km/s 9.- Calcula la velocidad inicial con la que ay que lanza un cuepo veticalmente acia aiba desde la supeficie de ate paa que alcance una altua de 000 Km antes de volve a cae DAOS: asa de ate 6 5x0 K adio de ate 94 Km Solución: 4 9 Km/s 0.- Un satélite de 00 K descibe una óbita cicula alededo de la iea a una altua de Km. Calcula a) El valo de la avedad a esa altua b) a eneía total del satélite c) a velocidad con que se mueve d) El peiodo de su óbita Solución: 0 40 s - 7 6x0 9 J 57 Km/s 5 0 min 5 s.- a una tiene una masa 8 5 veces mas pequeña que la iea y su adio es 7 veces meno. Sabiendo que la avedad en la supeficie de la iea es de 9 8 m/s calcula a) a avedad en su supeficie b) a altua que loaía salta un atleta que en la iea tiene una maca de 05 m Solución: 65 m/s m.- Un satélite de 4 m descibe una óbita cicula sobe el ecuado teeste de manea que cada día pasa po encima de todos sus puntos una vez. Calcula el adio de la óbita, la velocidad del satélite, el valo de a esa altua y su eneía total Solución: 6700 Km 88 m/s 0 56 m/s - 79x0 0 J

3 .- El planeta enus tiene una masa de 4 874x0 4 K y un diámeto de 04 Km. Calcula a) a avedad en su supeficie y a 4500 de altua b) a velocidad de escape en enus c) a altua a la que se debeía coloca un satélite en obita alededo de este planeta paa que diea una vuelta cada 6 oas d) Qué tamaño tendía enus si se convitiese en un aujeo neo? Solución: 8 88 m/s 9 m/s 0 7 Km/s 960 Km 7 mm

4 POBEA Po la ª ey de Keple sabemos que los peiodos de las óbitas alededo del Sol y sus adios uadan la elación K. Si llamamos y a los adios y peiodos eales y, a los supuestos, tendemos K K a) En el caso que disminuya la distancia 0 % 0' 0' 9 65'4 65'4 ( 0'9 ) 0'9 65'4 0' 9 '8 días b) Si la distancia aumenta un 0% 0 + % + 0' ' 65'4 65'4 ( ' ) ' 65'4 ' 4 '56 días

5 POBEA m 8 0 K as masas son 5 00 m 0 K Eliiendo el sistema de efeencia de la fiua, la masa está en el punto A(0, ) y la masa en el punto B(0, 0) y el vétice estante seía P(4, 0) Y A a P B b X AP BP ( 4 0) i + ( 0 ) j 4i ( 4 0) i + ( 0 0) j 4i j a) Cálculo del campo avitatoio en P m 4 m 6'67 0 6' ( 4i j ) ( '7i + '8 j ) 5 6 ( 4i ) ( 5i ) 0 m / s 0 6 m / s El campo eléctico total seá la suma de ambos ( '7i + '8 j ) 0 5i ( 6'7i + '8 j ) 0 m/ s 0 b) Fueza sobe una masa de 0 m en P F m 0000 j 6 ( 6'7i + '8 ) 0 ( 6'7i + '8 j ) 0 N

6 POBEA En pime lua obtenemos vamos a calcula los vectoes de posición de las masas a) Cálculo de 4 K K v AP 0i + 8 j + k v BP 5i + 5 j + k '8 m 9'85 m 5 0 v 6 s 9 ( 0i + 8 j + k ) ( ' 7i 6' 7 j 'k ) 0 m 4 ' '8 / 8 0 v 6 s 9 ( 5i + 5 j + k ) ( ' 4i 0' j 8' k ) 0 m 4 ' '85 / + 9 ( ) b) Cálculo del potencial 7'i 6' 9 j 9' k 0 m / s ' 67 0 ' 60 0 J / K 0' ' 67 0 ' 69 0 J / K 9' ' 60 0 ' ' J / K c) Fueza sobe una masa de 00 K F m 00 7'i 6' 9 j 9' k d) Eneía potencial avitatoia 9 7 ( ) 0 ( 4' i '8 j 8' 6k ) 0 N E p m 00 7 ( 4' 9 0 ) 8' J

7 POBEA 4 a tecea ley de KEPE paa la iea y un planeta situado en la posición indicada en el poblema es K K y dividiendo las dos iualdades iea Sol Planeta Como 00 entonces sustituimos en la ecuación anteio ( 65' ) se Este seía el peiodo de la ipotética óbita cuyo adio es. En dica óbita se debe cumpli que la fueza avitatoia ( m v ) debe se iual a la fueza centífua m v m m m mω π m m Y finalmente, despejando el valo de π π π ' ' 6 m / s En foma vectoial 59' 6 u, donde u es el vecto unitaio adial con oien en el cento del Sol y extemo en el planeta del poblema

8 POBEA 5 En la fiua obsevamos que el vecto de posición de P es 0i + 8 j + 0k m ' 5 m Z P (0,8,0) m A O B Y X a) Cálculo de a elación ente la fueza y el campo avitatoio es F m y en módulo Fm, entonces F m / s 0i + 8 j + 0k ectoialmente u 50 0' 77i 4' 6 j 0' 77k m / s 6' 5 b) Cálculo de B 50 6' 5 B 4 B '98 0 6' 67 0 K c) Cálculo del potencial 4 B ' ' ' 7 J / K 6' 5

9 POBEA 6 a) Si tenemos una esfea de masa, el campo avitatoio en su supeficie y a una altua de ella s seá (en módulo) s + ( ) dividiendo uno po oto s ( + ) + como sucede que s Y finalmente ( ) 0' 44 0' 44 b) Al quitale la mitad de la masa su volumen disminuiá también a la mitad con lo que el adio también disminuye, vamos a ve en que popoción ' ' ' 4 π 4 ' π ' Dividiendo obtenemos y como ' ' ' De donde as avedades en las supeficies de las dos esfeas son

10 Sustituyendo ( ) Y finalmente y ' Dividiendo una po ota POBEA 7 a) Cálculo de la fueza m F ( ) 4 ( ) ( + ) N b) Cálculo de la eneía potencial m EP c) elocidad al llea al suelo 4 ( ) ( ) J Como en el fenómeno de la caída solo actúan fuezas consevativas (despeciando el ozamiento con el aie) se puede aplica el pincipio de consevación de la eneía mecánica A B El punto A es el inicial y el B el final, con lo cual el pincipio de consevación seá E + E E + E CA PA CB PB mv A m v mv B m 4 ( ) B Despejando el valo de v obtenemos que v 8758 m / s 8 76 Km / s

11 POBEA 8 a) elocidad de escape de la una a Eneía en la supeficie luna (posición inicial A) de un cuepo en eposo seá su eneía m potencial EP Paa que dico cuepo escape de la atacción que la una ejece sobe él debeía alejase una distancia muy ande (infinita) y tene finalmente una E C 0, con lo que su eneía mecánica final seía ceo (posición final B). A B ( ) Aplicando en este caso el pincipio de consevación de la eneía mecánica m E CA + EPA ECB + EPB mv A Despejando el valo de v A ( ) ( ) 400 m s va / Km / s b) elocidad a una altua de 0000 Km Se aplica iualmente el pincipio de consevación de la eneía, peo en este caso el punto B está a Km de altua m m mva mvb a masa m se puede elimina v B Despejando el valo de la velocidad final obtenemos v B 760 m / s 0 76 Km / s

12 POBEA 9 a velocidad inicial con la que se debe lanza el cuepo acia aiba se puede deduci a pati del pincipio de consevación de la eneía aplicándolo en el punto A (sobe el suelo) y el punto B (a una altua de 000 Km) A B (000 Km) E + E E + E CA PA CB PB m m mv A 0 + v A esolvemos el valo de la velocidad, que esulta v A 485 m / s 4 9 Km / s POBEA 0 a) Cálculo de la avedad a 5000 Km 657 Podemos utiliza la fómula 0 9'806 0 ' m / s b) Eneía total del satélite m E 6' ' '6 0 9 J c) elocidad del satélite Estableciendo la iualdad ente la fueza avitatoia y la fueza centífua obtenemos que m v m De aí despejamos ( + ) + 4 6'67 0 5'98 0 v 567 m / s '57 Km / s v + d) Peiodo de la óbita ( + ) ) a velocidad es v π y el peiodo π ( + ) v ( ) π 555 se min 5 se

13 POBEA a) os datos son que y que 8'5 '7 8'5 '7 ' ' 68 0' 68 0' 68 '65 m / s b) Suponemos que el atleta loaía al salta acia aiba una velocidad inicial iual que en la iea. a altua que alcanza viene dada po la ecuación del UA v v v Esta ecuación se aplica tanto en la iea como en la una y como 9'8 Despejamos la altua en la una ' 05 ' m '65 POBEA v v Si el satélite atificial pasa po encima de todos los puntos del ecuado una vez al día es que su velocidad anula obital es el doble que la velocidad anula de otación de la iea. Po tanto su peiodo obital es la mitad del peiodo de otación de la iea, es deci oas. a) adio de la óbita Como en toda óbita cicula, se cumple que la fueza centífua y la fueza de atacción avitatoia son iuales en módulo F F. m v m y como se cumple que π m m 4 ( 6'67 0 ) ( 5'98 0 ) ( 60 60) C v 4π π m 6700 Km 4π

14 b) elocidad del satélite π π v 88 m / s '88 Km / s c) Cálculo de a esa altua 4 5'98 0 6' '56 m / s d) Eneía total del satélite m E 6' ' ' J POBEA a) avedad en la supeficie y a 4500 Km de altua 4 4'874 0 ( ) 6'67 0 8'88 m / s ' ' ( ) ( ) b) elocidad de escape ( ) ( 4 6'6' 0 4'874 0 v ) 065 m s E / '9m / s 0 '7 Km / s c) Altua de un satélite paa que 6 oas Como la fueza avitatoia debe se iual a la centífua y que en el apatado a) del poblema anteio y po lo tanto π v tenemos la misma situación 4 ( 6'67 0 ) ( 4'874 0 ) ( ) 5660 m 4π 4π Como la distancia al cento del planeta es la altua sobe su supeficie más el adio de éste se deduce que m 960 Km d) amaño paa se un aujeo neo Paa que enus fuese un aujeo neo toda su masa debeía esta concentada en una esfea de 8 adio N y la velocidad de escape seía iual a la de la luz c 0 m / s v E N c Sustituimos los valoes numéicos conocidos ( ) ( 4 6'67 0 4'874 0 ) 7' 0 m 8 0 N 7 ' mm N