Límites a base de tablas y gráficas

Transcripción

1 MECU Límites a base de tablas y gráficas I. Complete las siguientes tablas y use los resultados para estimar los límites indicados. Si no eiste alguno eplique la razón.. f ; lim f f f g ; lim g g g h lim h, lim h,lim h h h

2 . k lim k, lim k,lim k,lim k k k k k. p ; lim p p p q ; lim q q q

3 7. t ; lim t t t II. Halle los límites indicados a base de las siguientes gráficas. Si no eiste alguno eplique la razón. Use la notación, cuando aplique.. a lim f d lim f b lim f e lim f c lim f f lim f

4 . a lim g b lim g c lim g. a lim h d lim h b lim h e lim h c lim h f lim h

5 . a lim m b lim m c lim m d lim m Respuestas I.. lim f. lim g. lim h ; lim h ; lim h no eiste porque los unilaterales son distintos.. lim k ; lim k ;lim k ;lim k. lim p 6. lim q no eiste porque los unilaterales no eisten 7. lim t 8 II.. a b c d no eiste porque los unilaterales son distintos e f. a

6 6 b no eiste porque los unilaterales son distintos lim f ; lim f c. a b - c d e no eiste porque los unilaterales no eisten f. a - b no eiste porque el límite unilateral de izquierda no eiste c d

7 7 MECU Límites a base de gráficas. Haga uso de las gráficas que aparecen a continuación para hallar los límites indicados. Si no eiste alguno eplique la razón. a lim f b lim f c lim f d lim f e lim f f lim f

8 8 g lim g h lim g i lim g j lim g k lim g l lim g

9 9 m lim h n lim h o lim h p lim h q lim h r lim h. Trace la gráfica de una función que cumpla con las siguientes condiciones: a f, f, lim f, lim f lim f, lim f, b g, g no está definido, lim g, lim g, lim g

10 Respuestas. a b c no eiste porque lim f lim f d 6 e f g h i j k no eiste porque lim g no eiste l m n o p no eiste porque los límites unilaterales son diferentes q r. Hay más de una respuesta posible. a

11 b

12 MECU Propiedades de los límites. Halle los límites indicados haciendo uso de las propiedades de los límites. a lim 8 b lim c lim t t t d lim r r / e lim [ q q ] q y f lim y y g lim p p p h lim h h i lim j lim y y y y r r k lim r r t t l lim t t t v v m lim v v. Halle los límites indicados para las siguientes funciones partidas. Si no eiste alguno eplique la razón. a f lim f lim f lim f

13 b g lim g lim g lim g c h lim h lim h lim h Respuestas. a 8 b 8 c d -/ e -7 f /9 g h i j k -7/ l / m. a lim f lim lim f lim lim f no eiste porque los unilaterales son diferentes b lim g lim g lim g lim lim

14 c lim h lim 7 lim h no eiste porque lim h lim h lim h lim 6

15 MECU Límites al infinito y límites infinitos. Halle los siguientes límites al infinito. Use la notación de, cuando sea posible. a lim b lim 6 c lim d lim 8 e lim f lim g lim h lim i lim. Halle los siguientes límites. Use la notación de, cuando sea posible. a lim b lim c lim d lim 8 e lim f lim 6 8

16 6 g lim h lim. Si f halle los siguientes límites: a lim f b lim f c lim f d lim f e lim f f lim f Respuestas. a b c d e f g h i -. a b c d

17 7 e f No eiste porque los valores funcionales aumentan o decrecen sin control. g No eiste porque los valores funcionales aumentan o decrecen sin control. h. a b c d e no eiste porque lim f f no eiste.

18 8 MECU Ejercicios adicionales de límite Haga uso de las propiedades de límite para hallar los siguientes límites. Si no eiste alguno eplique la razón. Use la notación o cuando sea apropiado.. lim. lim.. q lim q q lim q. lim y y. y lim y y. lim q q 6. y lim y y t. lim t t 7. z lim z z 6. t lim t t 8. lim 8v v v 7. t lim t t 9. lim 8v v v 8. p lim p p. lim8 v v v 9. lim p p p. lim 6 m m. p lim p p. lim 6 m m.. q lim q q q lim q q q q. lim. lim

19 9 Respuestas no eiste porque hay tendencia a. no eiste porque hay tendencia a

20 MECU Asíntotas I. Conteste a base de las siguientes gráficas.. f a Cuál es el dominio de esta función? b Cuál es la ecuación de la asíntota vertical? c Qué ocurre con los valores funcionales a medida que se aproima a la asíntota vertical? d Cuáles son los límites que indican la presencia de esta asíntota? e Cuál es el recorrido de esta función? f Cuál es la ecuación de la asíntota horizontal? g Qué ocurre con los valores funcionales a medida que aumenta o disminuye cada vez más? h Cuáles son los límites que indican la presencia de esta asíntota?

21 . h a Cuál es el dominio de esta función? b Cuál es la ecuación de las asíntotas verticales? c Cuáles son los límites que indican la presencia de estas asíntotas? d Cuál es el recorrido de esta función? e Cuál es la ecuación de la asíntota horizontal? f Cuáles límites indican la presencia de esta asíntota?. k

22 a Cuál es el dominio de la función? b Hay asíntota vertical? c Cuál es el recorrido de la función? d Cuál es la ecuación de la asíntota horizontal? e Cuál límite está asociado a esta asíntota? II. Utilice el concepto de límite para demostrar que las siguientes funciones tienen asíntotas en los valores dados.. f ; Asíntota vertical en, asíntota horizontal en y.. g ; Asíntota vertical en, asíntota horizontal en y.. k ; Asíntota horizontal en y. III. Halle las asíntotas de las siguientes funciones. Utilice el concepto de límite para demostrarlo.. F. G. H. K IV. Demuestre que la función p no tiene asíntota vertical ni horizontal. Haga uso del concepto de límite.

23 Respuestas I.. a,, b c Los valores funcionales aumentan o decrecen cada vez más. d lim f ; lim f. e,, f y g Se aproiman cada vez más a. h lim f ; lim f. a b, c lim h ; d e y f lim h ; lim h lim h ; lim h ; lim h. a, b No c, d y e lim k II.. Asíntota vertical: lim f ó lim f Asíntota horizontal: lim f ó lim f. Asíntota vertical: lim g Asíntota horizontal: lim g. Asíntota horizontal: lim k III.. lim F ; lim F ; ó lim g es asíntota vertical y es asíntota horizontal

24 . lim G ; lim G ; es asíntota vertical y es asíntota horizontal. No hay asíntota vertical pues no hay valor de que haga cero el denominador. lim H ; no hay asíntota horizontal. Función eponencial; no hay asíntota vertical. lim K ; y es asíntota horizontal. IV. p si. lim p lim p ; no hay asíntota vertical. ; lim p ; no hay asíntota horizontal.

25 MECU Interés Continuo. Se invierten $, durante años. a Halle la cantidad acumulada si la tasa de interés es del 6% anual capitalizado mensualmente. b Halle la cantidad acumulada si la tasa de interés es del 6% anual capitalizado continuamente.. Halle el monto de una inversión de $, a una tasa de interés continuo del ½ % anual por años. Halle, además, los intereses recibidos.. Qué cantidad se debe depositar en un fondo que paga un interés continuo del 8 ¼ % anual para tener un total de $, al cabo de 6 años?. El Sr. Vélez desea contar con $, dentro de años para darse un viaje a Europa junto a su esposa. Qué cantidad debe depositar en un fondo que paga un interés continuo del 7% anual? Respuestas. a S,. $,. 7 b S.6, e $, S., e $,9. Intereses: $,9.. P.86, e $,9. 7. P.7, e $7,7. 8

26 6 MECU Continuidad. Haga uso de la definición de continuidad en un punto para demostrar que las siguientes funciones son continuas en el valor dado. a ; f b ; g c h ;. Haga uso de la definición de continuidad para determinar los valores de para los cuales las siguientes funciones son discontinuas. a F b 6 G c H d P e Q f R g T

27 7. Determine todos los valores de para los cuales las siguientes funciones son discontinuas. Demuestre haciendo uso de la definición de continuidad. a b

28 8 c Respuestas. a f lim f f lim f f es continua en b g lim g g 7 7 lim lim lim g 7 g es continua en

29 9 c h lim h h 9 lim lim h h es continua en 9. a F es discontinua en porque F no está definido. b G es discontinua en, porque G, G no están definidos. c H es discontinua en porque H, H no están definidos. d P es discontinua en porque P, pero lim P no eiste porque lim P lim P e Q es continua en,. No hay discontinuidad. R f R es discontinua en : lim R R lim R 8 g T es discontinua en : T lim T T lim T. a f es discontinua en porque f, pero lim f lim f lim f. f es discontinua en porque f no eiste. no eiste b g es discontinua en porque g lim g. g es discontinua en porque g=, pero lim g no eiste lim g no eiste. c f es discontinua en porque f no eiste. f es discontinua en porque f, pero lim f lim f lim f. no eiste

30 MECU Diferenciabilidad. Haga uso de la definición de derivada para hallar la derivada de las siguientes funciones. a f 8 b g 7 c h d m. Si P : a Use la definición de derivada para hallar P '. b Qué interpretación geométrica se le puede dar al resultado anterior? c Es P diferenciable en? Eplique.. Determine si m ejercicio d es diferenciable en. Eplique.. Determine todos los valores de para los cuales la siguiente función no es diferenciable. Eplique.

31 Respuestas. a f ' b g ' 7 c h ' 6 d m '. a P ' b La recta tangente a P tiene una pendiente de - en el punto, ó P tiene una pendiente de - cuando. c Si porque P ' está definido.. m no es diferenciable en porque m ' no eiste.. f no es diferenciable en, porque no es continua en estos valores. f tampoco es diferenciable en, porque no eiste una recta tangente a f en estos puntos.

32 MECU Ejercicios de repaso para el primer eamen. Halle los siguientes límites haciendo uso de las propiedades de límite. Si no eiste alguno eplique la razón. a lim b lim 9 y y c lim y y y 8 d lim y y e lim z z z z f lim z z. Determine la asíntota horizontal y vertical de concepto de límite para demostrarlo. f. Haga uso del. Si F propiedades de límite. a lim F b lim F halle los siguientes límites haciendo uso de las c lim F d lim F. Determine los valores para los cuales las siguientes funciones son discontinuas. Demuestre haciendo uso de la definición de continuidad en un punto. a f b g {

33 c h d k. Halle la derivada de G, haciendo uso de la definición. Es esta función diferenciable en? Por qué? 6. En el ejercicio anterior, qué interpretación geométrica se le puede dar a G '? 7. Conteste a base de la siguiente gráfica de y f. a Halle los siguientes límites. Si no eiste alguno eplique la razón. lim f lim f lim f lim f lim f 6 lim f

34 b Halle todos los valores de para los cuales la función no es continua. Demuestre haciendo uso de la definición de continuidad en un punto. c Halle todos los valores de para los cuales esta función no es diferenciable. Eplique la razón. Respuestas. a ¼ b c d e f. No tiene asíntota horizontal porque lim f Tiene asíntota vertical en porque lim f. a lim F lim b lim c no eiste porque lim F lim lim F lim d lim. a f es discontinua en =, = - porque f y f - no eisten. b g es discontinua en = : g = -, pero lim g no eiste porque lim g lim g. c h es continua para todo valor real. d k es discontinua en = porque k no eiste.. G '. Como G' está definida, G es diferenciable en =. 6. G '. Esto implica que la pendiente de la recta tangente a la curva G en el punto donde, es. También se puede decir que G tiene pendiente de en el punto donde..

35 7. a 7 no eiste porque lim f lim f no eiste porque lim f no eiste 6 7 b y f no es continua en porque f no eiste. No es continua en porque aunque f, lim f no eiste. Tampoco es continua en porque aunque f, lim f no eiste. 7 c No es diferenciable en, y porque no es continua en estos valores. No es diferenciable en porque no eiste una recta tangente en este punto.

36 6 MECU Reglas básicas de diferenciación Halle la derivada de las siguientes funciones haciendo uso de las reglas básicas de diferenciación.. f. F. f t t. 6 F t t t...8 f h h. F h h h 6 f q q. F q q q. f a 6 a. F a a 6. g 6. G 7. g t 7 7. G h h h 8. 6 g h h 8. G t t 6 t t t 9. g q q. g a 7a 8a 9

37 7 Respuestas. f '. F ' F ' t f ' t t..9 f ' h.8h. F ' h t h 9 f ' q q. F ' q q t h 8. f ' a a a. F ' a a 8a 6. g ' 6. 6 G ' g ' t 7. G ' h h 8. g ' h h 8. G ' t t t 9. g ' q q. g ' a a 8

38 8 MECU Derivadas de productos y cocientes Halle la derivada de las siguientes funciones. Haga uso de las reglas de producto o cociente.. 6 f. z z z f. a a a a f. 9 7 h h f. 7 6 k k k f 6. m m m f 7. p p p p f 8. r r r f

39 9 Respuestas. 8 8 ' f. ' z z z f ' a a a f. 9 6 ' h h f. 7 ' k k f 6. 7 ' m m m m m m m f ' p p p p p f 8. ' r r r f

40 MECU Razón de cambio promedio y razón de cambio instantáneo Para y f :. Halle la razón de cambio promedio de y respecto a en los intervalos [, ], [,.], [,.], [,.], [,.].. A base de los resultados anteriores, cuál el límite de la razón de cambio promedio en el intervalo [, +h] si h se aproima a cero?. Halle la razón de cambio de y respecto a.. Halle la razón de cambio de y respecto a cuando =. Interprete su resultado.. Determine el cambio real en y cuando aumenta de a. 6. Estime el cambio en y cuando aumenta de a.. 7. Determine el cambio real en y cuando aumenta de a.. Respuestas. r.c.p.[,] = 6, r.c.p.[,.] =., r.c.p.[,.] =., r.c.p.[,.] =., r.c.p.[,.] =.. lim r. c. p.[, h] h. f '. f ' Cuando aumenta de a, y aumenta aproimadamente unidades.. y [,] 6 6 y aumenta 6 unidades cuando aumenta de a. 6. y f ' 7.. y aumenta aproimadamente. unidades 7. y [,.] f. f.7. 7 y aumenta eactamente.7 unidades.

41 MECU Aplicaciones de razón de cambio. Si C y R. : a. Halle la función de ganancia P, donde P R C. b. Halle la función de ganancia marginal. c. Halle la ganancia marginal cuando el nivel de producción y ventas es de unidades y de unidades. Interprete los resultados.. El costo total en dólares de fabricar cámaras digitales está dado por la función C =. 8. a. Halle la función de costo marginal. b. Halle el costo marginal cuando se han fabricado unidades. Interprete. c. Halle el costo real de fabricar la unidad #. d. Estime el costo de fabricar la unidad #.. Suponga que la ganancia diaria P de cierta tienda de discos al vender cierto disco compacto a un precio de dólares está dada por: P,. a. Determine la ganancia al vender el disco a un precio de $.. b. Determine la razón de cambio promedio en la ganancia cuando el precio del disco aumenta de $. a $.. Interprete. c. Determine la función de ganancia marginal. Halle P' e interprete el resultado. d. Halle el cambio real en la ganancia cuando el precio del disco aumenta de $. a $.. e. Estime el cambio en la ganancia cuando el precio del disco aumenta de $. a $.. f. Halle el cambio real en la ganancia cuando el precio del disco aumenta de $. a $... Las ventas anuales S, en miles de dólares, de cierta compañía están dadas por la función S.. donde representa la cantidad que la compañía invierte en publicidad, en miles de dólares. a. Halle la razón de cambio de las ventas con respecto a la cantidad invertida en publicidad. b. Halle la razón de cambio de las ventas cuando la cantidad invertida en publicidad es de $,.

42 c. Halle la razón de cambio de las ventas cuando la cantidad invertida en publicidad es de $,. d. Compare los resultados de las partes b y c. Cuándo están las ventas aumentando a un ritmo más rápido? e. Halle las ventas anuales de esta compañía cuando se invierten $, y cuando se invierten $, en publicidad. Respuestas. a. P. 8 b. P '. 8 c. P ' 6 P ' La ganancia aumenta aproimadamente $6 cuando el nivel de producción y ventas aumenta de a unidades. La ganancia disminuye aproimadamente $ cuando el nivel de producción y ventas aumenta de a unidades.. a. C '.8 8. b. C ' 7 El costo total aumenta aproimadamente $7 cuando el nivel de producción aumenta de a unidades costo aproimado de la unidad. c. C C = 7.96 Costo real de $7.96. d. C ' Cuesta aproimadamente $ a. P Ganancia diaria de $ a un precio de $ P P b. 7 Cuando el precio aumenta de $ a $, la ganancia aumenta un promedio de $7 por cada dólar de aumento en el precio. c. P ' P ' Cuando el precio aumenta de $ a $, la ganancia aumenta aproimadamente $.

43 d. P P 9 La ganancia diaria aumenta eactamente $9 cuando el precio aumenta de $ a $. e. P P'... La ganancia aumenta $. aproimadamente cuando el precio aumenta de $ a $.. f. P P. P. La ganancia aumenta realmente $. cuando el precio aumenta de $ a $... a. S'. b. S ' 8 c. S ' d. Al invertir $, en publicidad. S $,, e. S $8,,

44 MECU Reglas de cadena y potencia dy. Haga uso de la regla de la cadena para hallar. d a y u, u b y, u u c y u, u. Haga uso de la regla de la potencia para hallar la derivada de las siguientes funciones. a F 9 8 b F z z z c F p p p d F q q 6q e f F F r r 7r s s s 8 g F t t 8t 6 7 8w h F w 6 w i F v v v

45 Respuestas. a d dy b d dy c 9 d dy. a 7 79 ' F b 6 ' z z z z F c ' p p p p p F d 6 8 ' q q q q F e ' r r r r F f 7 9 ' 7 s s s s F g ' t t t F h 7 ' w w w w F i 6 ' v v v v v F v v v v

46 6 MECU Diferenciación de funciones eponenciales y de funciones logarítmicas. Halle la derivada de las siguientes funciones: a g e 7 b g w e w w z e c g z e z e d a g a e e a e g h e h h f g m m e m g g p e p h g r 8re r i g s e s s j g t e t. Halle la derivada de las siguientes funciones. a h ln b h z z ln z c h w ln w w d h a lna a

47 7 e h g ln8g 7 f h m lnm ln g h n 6n ln6n ln q h h q q i h r ln 6r j h t t lnt. Halle la derivada de las siguientes funciones logarítmicas. Use las propiedades de logaritmo antes de diferenciar. a F ln b G ln 6 c H ln 8 d K ln e M ln

48 8 Respuestas. a 7 7 ' e g b w w e w w g ' c ' e z ez e z g d ' a a e e a g a a e e e ' h e h h g f ' m m e m g m g ' p e p g p h 8 8 ' r e r g r i ' 9 s s e s s e s g j ' t e t t g. a h ' b ln ' z z z h c ln ' w w w h d ' a a a a h e 7 8 ' g g h

49 9 f m m h ' g ln6 6 6ln6 6 ' n n n h h 6 ln ' q q q h i r r r h ln 6 ' j ln ' t t t h. a ' F b 6 ' G c ' H d ' K e ' M

50 MECU Derivadas de orden mayor. Halle la tercera derivada de las siguientes funciones: a f b g c h. Halle F '' para las siguientes funciones: a F b F e c F ln. Si G determine la razón de cambio de G cuando. Respuestas. a f ''' b g ''' 6 6 c h ''' a F '' 6 b F' ' e c F ''. G '

51 MECU Ejercicios de repaso para el segundo eamen. Halle la derivada de las siguientes funciones y simplifique: a f 6 8 b g 8 6 c h 8 d k e l f m g n h p i q j k r s 8 e 6 e l t e m u e n v 7 e e 8 o w ln p f m m lnm q r f p ln6 p p f q [ln8q s f s ln s s t u f t f v t ln t ln v v ] e 8

52 . Halle la derivada que se indica: a F ''' si F b G '' si G e c H ''' si H d K '' z si K z z ln z dy. Use la regla de la cadena para hallar d a y u, u 6 b y, u u. El costo total diario de fabricar cierto producto está dado por la función C. 6, donde representa el nivel de producción. a Halle la función de costo marginal. b Halle C' e interprete su resultado. c Halle el costo real de fabricar la unidad número. Respuestas. a f ' 8 b g ' 8 c h ' d k ' 9 e l ' f m ' 6 8 g n ' h p '

53 i 8 ' q j 8 ' e e e r k 6 ' e s l ' e e t m ' e e u n 7 7 ' e v o 6 ' w p ] ln [ ' m m m f q ln6 ' p p p f r 8 ] 8[ln8 ' 9 q q q f s ' s s s s f t ' t t t t f u ' v v v f. a F 8 8 ' F 6 '' F 768 ''' F b ' e G '' e G

54 c H H ' H '' H ''' d K z 8z ln z K ' z 8 8ln z K' ' z 8 z. a dy d 9 6 dy 6 b d 8 ln z. a C '. 6 b C ' 9. 6 El costo total aumenta aproimadamente $9.6 cuando el nivel de producción aumenta de a unidades. Ó: el costo estimado de fabricar la unidad número es de aproimadamente $9.6. c $9.799

55 MECU Máimos y mínimos relativos. Para cada función determine: dominio, intervalos de continuidad, intervalos donde es creciente; donde es decreciente y las coordenadas de los etremos relativos. a f b f c f d e f f e. En las siguientes gráficas determine los intervalos donde la función es creciente, en donde es decreciente y las coordenadas de los etremos relativos, si los hay. a

56 6 b Respuestas. a Dominio:,, Creciente en:, /,, Decreciente en:,/, Ma. Rel en, -, Min. Rel en /, -/7 b Dominio:,, Creciente en:,,, Decreciente en:,,, Má. Rel en,, Min. Rel en -, y, c Dominio:,, Creciente en:,, Decreciente en:,, Min. Rel en, d Dominio:,,, Creciente en:,,, Decreciente en:,,, Ma. Rel en: -, -, Min. Rel en:, e Dominio:,,, Creciente en:,, Decreciente en:,, Min. Rel en, e

57 7. a Creciente en:,,, Decreciente en: -, -, Ma. Rel en: -, 6 Min. Rel en:, -8 b Creciente en:,,, Decreciente en: -,, Ma. Rel en: -, -, Min. Rel en:,

58 8 MECU Etremos absolutos. Halle las coordenadas de los etremos absolutos de cada función en los intervalos indicados. Halle, además, las coordenadas de los etremos relativos. a f, [-,], [,] b f, [-, ] c f, [,]. Eplique porqué g no tiene etremos absolutos en [,]. Respuestas. a En [-, ]: Máimo rel. y abs. -, 9, Mínimo rel. y abs., - En [, ]: Máimo absoluto:, 9, Mínimo rel. y abs.:, -; No hay máimo relativo. b En [-, ]: Máimo absoluto: -, y,, Mínimo rel. y abs.:, No hay máimo relativo. c En [, ]: Máimo absoluto:, /, Mínimo absoluto:, ½, No hay etremos relativos.. g no tiene etremos absolutos en [, ] porque la función no es continua en el intervalo [, ].

59 9 MECU Concavidad y trazado de curvas. Para cada función determine: intervalos donde la función es cóncava hacia arriba, donde es cóncava hacia abajo y las coordenadas de los puntos de infleión. a g 6 b h c k d p e. En las siguientes gráficas determine los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba, donde es cóncava hacia abajo y los puntos de infleión, si los hay. a

60 6 b c

61 6. Para cada función determine: dominio, interceptos, ecuación de las asíntotas si hay, intervalos donde la función es creciente, donde es decreciente, donde es cóncava hacia arriba, donde es cóncava hacia abajo y las coordenadas de los etremos relativos y de los puntos de infleión. Además, trace un esquema de su gráfica. a f b f c f. Trace la gráfica de una función con las siguientes características: a Dominio:, f, f f ' :,, f " :,, Mínimo relativo en:,-7/ Puntos de infleión en:, y,- b Dominio:,, f, f, f lim f Asíntota vertical en: f ' :,, f ' :,, f " :, f " :,,

62 6 Respuestas. a Cóncava hacia abajo:,, Cóncava hacia arriba:, Punto de infleión:,- b Cóncava hacia abajo: -., Cóncava hacia arriba:,, Puntos de infleión: -, -7,, -7 c Cóncava hacia abajo:,,, Cóncava hacia arriba:,,, Puntos de infleión:,,,.,, -. d Cóncava hacia abajo:,, Cóncava hacia arriba:, Punto de infleión:, e. a Cóncava hacia arriba:,,, Cóncava hacia abajo:, Puntos de infleión:,- y,-6 b Cóncava hacia arriba:,,, Cóncava hacia abajo: -, Puntos de infleión: no hay c Cóncava hacia arriba: -,, Cóncava hacia abajo:,, Puntos de infleión: -,. y,.. a Dominio:, Int. en y,-, Creciente en:,,, Decreciente en:,, Cóncava hacia abajo:,, Cóncava hacia arriba:,,, Mínimo relativo: -,-, 7 Puntos de infleión:,,,- 7

63 6 b Dominio:, Int. en y:, -, Creciente en: -,, Decreciente en:,,, Cóncava hacia arriba:,/, Cóncava hacia abajo: /,, Mínimo relativo: -, -8, Máimo relativo:,9, Punto de infleión: ½, ½

64 6 c Dominio:,,, Int. en :,, Asíntota vertical:, Asínt. horizontal: y, Decreciente en:,,, Creciente en:,, Cóncava hacia abajo:,,, Cóncava hacia arriba:,, Máimo relativo:,, Punto de infleión:, 8/9. a

65 b 6

66 66 MECU Criterio de la segunda derivada Use el criterio de la segunda derivada, si es posible, para hallar los etremos relativos de cada función.. f. f 9. f. f Respuestas. Mínimo relativo:, -6, Máimo relativo: -, 6. Mínimo relativo: 9, -8, Máimo relativo: -, 6/. Mínimo relativo:,, Máimo relativo: -, -. No se puede hacer uso del criterio de la segunda derivada para hallar los etremos relativos de la función.

67 67 MECU Aplicaciones de máimos y mínimos. El costo promedio por unidad al fabricar cierto producto está dado por la función C., donde representa la cantidad de unidades fabricadas. Halle el costo promedio mínimo.. Si la función de demanda para el producto de cierta compañía está dada por p q, donde p es el precio por unidad al cual se demandan q unidades al mes. Halle ingreso máimo de la compañía. A qué precio por unidad ocurre el ingreso máimo?. La función de ganancia para cierta compañía está dada por P 8, donde representa la cantidad de unidades que la compañía puede fabricar y vender a la semana. a Halle la ganancia máima semanal si la compañía puede fabricar un máimo de unidades a la semana. b Halle la ganancia máima semanal si la compañía puede fabricar un máimo de unidades a la semana.. El costo total de fabricar unidades al día de cierto producto está dado por la función C.. Si la ecuación de demanda para el mismo producto está dada por: p. donde p es el precio por unidad al cual se demandan unidades al día, halle el nivel de producción y ventas que maimiza la ganancia diaria del fabricante. Halle, además, la ganancia máima diaria.

68 68 Respuestas. El costo promedio mínimo es $78... El ingreso máimo es de $,,. El precio es de $ por unidad.. a Ganancia máima de $,. b Ganancia máima de $6,.. El nivel de producción que maimiza la ganancia del fabricante es de 8, unidades y la ganancia máima diaria es de $,.

69 69 MECU Ejercicios de repaso para el tercer eamen. Para las siguientes funciones determine: dominio, recorrido alcance, intercepto en y, asíntotas si aplica, intervalos donde la función es creciente, donde es decreciente, cóncava hacia arriba, hacia abajo, etremos relativos y puntos de infleión. Trace la gráfica. a. f b. g. Trace una gráfica que cumpla con las siguientes condiciones: a. Dominio:, Continua en:, f, f, f, f f ' en:,, f ' en:, f " en:,, f " en:, b. Dominio:,, Continua en:,, f, f lim f ; lim f f ' en:, f ' en:., f " en: 6, f " en:,,6. Halle los etremos absolutos de f 6 en [,].. El costo total en dólares de fabricar unidades de cierto producto está dado por: C.. 9. a. Halle la función de costo promedio. b. Determine el nivel de producción que minimiza el costo promedio. c. Halle el costo promedio mínimo.

70 7. Conteste a base de la gráfica de y g que aparece a continuación: a Halle las coordenadas de: el máimo absoluto el mínimo absoluto el los máimos relativos el los mínimos relativos el los puntos de infleión b Halle todos los intervalos abiertos donde g : es creciente es decreciente es cóncava hacia arriba es cóncava hacia abajo es creciente y, además, cóncava hacia abajo c Determine el signo de: g ' g "

71 7 Respuestas. a. Dominio:, Intercepto en y:, f es creciente en:,, f es decreciente en: -, f es concava hacia arriba en:, f es cóncava hacia abajo en:, Máimo relativo en -, 6, mínimo relativo en, - Punto de infleión en,. b. Dominio:, Intercepto en y:, Asíntota horizontal en y g es creciente en, ; decreciente en, g es cóncava hacia arriba en, ; cóncava hacia abajo en,, Mínimo relativo y absoluto en, Puntos de infleión: -,,,

72 7. a. b.

73 7. Máimo absoluto en,, mínimo absoluto en, a. C.. b. El costo promedio se minimiza a un nivel de producción de, unidades. c. El costo promedio mínimo es de $.6 a., -, -, -, -, b.,,,,,,,,, c. negativo positivo

74 7 MECU El integral indefinido Haga uso de las reglas básicas de integración para hallar los siguientes integrales indefinidos.. d. ed. 6 d. d. t dt t 6. dt 7. 6 ds s 8 8. ds s 9. u u du. u u u du e. e e d. p p p dp q q q. dq q. d. t dt t 6. dt t 7. e 8m dm e v 8. dv

75 7 Respuestas. C. e C. 7 7 C. C C 7. t 7 C t 6. 6 C s 6 C 7 7 7s C 8. s C s C u u 9. u C 7 u u u. 7 C e. e e e C. p p ln p C q. q ln q C. C. t t 6t t C t 6 6. C 7. e 8 C e v 8. C

76 76 MECU Integración con condiciones iniciales. Halle f sujeto a las condiciones dadas. a f ' 6 ; f b f ' ; f. Halle f sujeto a las condiciones dadas. a f " ; f ', f b f " e ; f ', f. Si R ' es una función de ingreso marginal, halle la función de ingreso. Halle además la ecuación de demanda que epresa al precio p en términos de la demanda. a R'. b R '.6. En la manufactura de cierto producto, los costos fijos son de $, al mes y la función de costo marginal está dada por C '., donde representa el nivel de producción mensual, en unidades. a Halle la función de costo total. b Determine el costo total de fabricar unidades del producto al mes.. a f 8 b f. a f b f e. a Respuestas R. ; p. b R. ; p.. a C. b $6,

77 77 MECU El integral definido Evalúe los siguientes integrales definidos.. 8d. d. t dt. t 6t dt. t dt 6. vdv e 7. dv v 6 8. p dp Respuestas ½

78 78 MECU Área bajo una curva. Aproime el área de la región bajo la curva y f en el intervalo dado, circunscribiendo rectángulos en la región. Divida el intervalo en cuatro subintervalos de igual largo y use el etremo derecho de cada subintervalo para aproimar el área. a. f 8, [,] b. f, [,] c. f, [,]. Use un integral definido para hallar el área de la región limitada por la curva, el eje de y las líneas dadas. Sombree la región haciendo uso de la gráfica de la curva. a. y 6,. b. y, c. y,, d. y e. y,, f. y,, g. y e,,. a u b u c u 6. a 7 unidades al cuadrado b unidades al cuadrado c 7 unidades al cuadrado d unidades al cuadrado e 6 unidades al cuadrado f unidades al cuadrado g e unidades al cuadrado Respuestas