Producción de hadrones en colisiones electrón-positrón por medio de la dualidad norma/gravedad

Transcripción

1 Producción de hadrones en colisiones electrón-positrón por medio de la dualidad norma/gravedad Departamento de Física, Facultad de Ciencias, UNAM. Genaro Toledo Departamento de Física Teórica, Instituto de Física, UNAM. October 22, 2009 Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Producción UNAM. Genaro de hadrones ToledoenDepartamento colisiones electrón-positrón de Física Teórica, por m

2 Plan Introducción

3 Plan Introducción Producción de hadrones en la teoría de norma

4 Plan Introducción Producción de hadrones en la teoría de norma Descripción holográfica

5 Plan Introducción Producción de hadrones en la teoría de norma Descripción holográfica Cálculo de la función de correlación

6 Plan Introducción Producción de hadrones en la teoría de norma Descripción holográfica Cálculo de la función de correlación Resultados

7 Plan Introducción Producción de hadrones en la teoría de norma Descripción holográfica Cálculo de la función de correlación Resultados Discusión

8 Introducción, Producción de hadrones La polarización del vacío recibe correcciones de QCD que, en el límite de bajas energías, está dominado por las resonancias hadrónicas. Observables como la constante de acoplo electromagnética α(s), o el momento magnético anómalo del muón, han sido medidos y resultan ser altamente sensibles a estas contribuciones. En la búsqueda de predicciones teóricas robustas, se echa mano de las observaciones experimentales para la sección eficaz hadrónica en procesos de aniquilación electrón-positrón.

9 Introducción, Producción de hadrones Una forma estándar de parametrizar las contribuciones de QCD está dada por el cociente R(s) σ(e+ e hadrones) σ(e + e µ + µ ) relacionado con la polarización del vacío Π(s) por medio de y a temperatura cero R(s) = 12πImΠ q (s + iɛ), Π q (q 2 ) = Tr(Πµν q (q)) q 2. d

10 Introducción, Método no perturbativo A bajas energías nos gustaría tener un cálculo no perturbativo para esta cantidad. Es en este contexto que la correspondencia norma/gravedad ofrece una buena alternativa como método computacional.

11 Introducción, Método no perturbativo La teoría dual a QCD no se conoce como tal, pero podemos hacer cálculos en teorías super Yang-Mills (SYM) SU(N c ) acopladas a N f sabores de materia fundamental cuya masa desnuda es un parámetro que podemos ajustar. Ciertamente estas teorías son muy distintas la una de la otra, pero el cálculo que queremos realizar es en el régimen altamente acoplado de QCD y podríamos esperar al menos observar algunas propiedades comunes. A manera de confrontación de esta suposición, veremos como se compara nuestro cálculo con las mediciones de R(s).

12 Producción de hadrones en la teoría de norma El contenido de materia en las teorías en la que vamos a trabajar consiste en campos tanto en la representación fundamental como en la adjunta. Los primeros cuentan con N f sabores de ferminoes Ψ a y escalares Φ a, a = 1,..., N f, a los que nos referiremos colectivamente como quarks. Para aproximarnos tanto como sea posible a QCD acoplaremos al electromagnetismo sólo los campos fundamentales, para lo cual remplazamos la derivada covariante SU(N c ) por D µ = D µ iea µ cuando actúe sobre los campos fundamentales y agregamos un término cinético para el fotón.

13 Producción de hadrones en la teoría de norma Con esto tenemos una teoría SU(N c ) U(1) em con Lagrangiano L = L SU(Nc) 1 4 F 2 µν + ea µ J EM µ, donde F µν = µ A ν ν A µ y la corriente electromagnética esta dada por J em µ = Ψγ µ Ψ + i 2 Φ D µ Φ i 2 (D µφ) Φ.

14 Producción de hadrones en la teoría de norma En esta teoría calculamos Π µν q (q) por medio de Π µν q (q) = i d d+1 x e iq x Θ(x 0 ) [Jµ em (x), Jν em (0)]. Así que en principio tendríamos que calcular el correlador en la integral usando la teoría completa SU(N c ) U(1) em.

15 Producción de hadrones en la teoría de norma Sin embargo vemos que a orden dominante en e, sólo los diagramas contribuyen, concluyendo así que a este orden el resultado para el correlador que nos interesa en la teoría SU(N c ) U(1) em está determinado por el correlador calculado en la teoría SU(N c ).

16 Descripción holográfica Hagamos ahora el cálculo en una teoría SYM N = 2, SU(N c ) acoplada a N f sabores de materia fundamental. El dual gravitacional de esta teoría lo conocemos y está dado por una pila de N f D7-branas de prueba en el fondo AdS 5 S 5 generado por N c D3-branas an al límite N c >> N f.

17 Descripción holográfica En el límite de desacoplo la métrica solución para la D3-brana es ds 2 = r 2 ( dx 2 R dx 2) + R2 r 2 dr 2 + R 2 dω 2 5, con R el radio de AdS 5 dado por R 4 = 4πg s N c l 4 s. Según la correspondencia norma gravedad, la teoría de cuerdas en este fondo es dual a una teoría de Yang-Mills SU(N c ) maximamente supersimétrica a temperatura cero.

18 Descripción holográfica Agreguemos ahora N f D7-branas de prueba que se extiende en las direcciones descritas por el diagrama D3: D7: En la teoría de norma esto corresponde a agregar N f sabores de materia fundamental. Si colocamos las D7 s a una distancia L en el plano 8-9, los campos de materia fundamental adquieren una masa dada por m q = L 2πl 2 s = L R 2 gs N c π.

19 Descripción holográfica La simetría de norma U(N f ) en las D7-branas se refleja en una simetría global de sabor en la teoría de norma. Si acoplamos esta teoría de norma al electromagnetismo como explicamos anteriormente, la corriente electromagnética Jµ em es la corriente conservada asociada a la simetría U(1) U(N f ). En el límite de N c y constante de acoplo de t Hooft grandes, cada corriente conservada en la teoría de norma es dual a un campo de norma en la descripción gravitatoria. Así que describamos al dual de J em µ.

20 Descripción holográfica Sobre las D7-branas hay un campo de norma A m, m = 0,..., 7, asociado al U(1) total. Si reducimos dimensionalmente a este campo de norma, nos quedamos con un campo de norma sin masa {A µ, A r }, tres campos escalares sin masa y una torre de modos masivos de Kaluza-Klein. Fijando la norma de tal manera que A r = 0 y apagando tanto los modos masivos como los tres escalares, el campo de norma dual a J em µ es justamente A µ.

21 Cálculo de la función de correlación De acuerdo a la correspondencia norma/gravedad, las funciones de correlación de Jµ em se pueden calcular variando la función de partición de cuerdas respecto al campo A µ en la frontera r.

22 Cálculo de la función de correlación En nuestro caso, la función de partición a segundo orden esta dada por e is con S = N f T D7 d 8 x det g (1 + (2πl2 s ) 2 ) F 2. 4 D7 Donde F = da es la intensidad de campo asociada al U(1) total sobre las D7-branas, T D7 = 1/(2πl s ) 7 g s l s es la tensión de la brana y g es la métrica inducida ds 2 D7 = L2 1 + r 2 R 2 ( dx dx 2) + R2 1 + r 2 d r 2 + R2 r r 2 dω2 3, con r 2 = (r 2 L 2 )/L 2.

23 Cálculo de la función de correlación Empezamos por encontrar las ecuaciones de movimiento para A µ, para lo que hacemos la descomposición de Fourier A µ (x 0, x, r) = dq 0 d 3 q (2π) 4 e iq0 x 0 +iq x A µ (q 0, q, r), y apuntamos a q en la dirección x 1. Las ecuaciones para los componentes A µ son gg 11 g 00 p(wa 1 + pa 0 )+ r ( gg r r g 00 r A 0 ) = 0 gg 11 g 00 w(wa 1 + pa 0 )+ r ( gg r r g 11 r A 1 ) = 0 gg ii (g 00 w 2 + g 11 p 2 )A i + r ( gg r r g ii r A i ) = 0 donde hemos renombrado q 0 como w, q 1 como p, y el índice i toma valores 2 y 3 donde no se sopone una suma sobre ellos.

24 Cálculo de la función de correlación Dada la métrica inducida la primera y segunda ecuación implica A 0 = p w A 1 + C 1 + C r 2 2, con C 1 y C 2 constantes de integración. Para aplicar el método holográfico y obtener Π µν q necesitamos que los componentes A µ sean regulares en r = 0 y que cumplan con lim r A µ = 1. Dado que, como veremos en un momento, las soluciones no triviales son diferentes de cero en r = 0, concluimos que C 1 = C 2 = 0.

25 Cálculo de la función de correlación En tales circunstancias las ecuaciones para cada A µ se desacoplan y son iguales entre ellas, dadas por con la cantidad adimensional q 2 r 3 (1 + r 2 ) 2 A + r ( r 3 r A) = 0, q 2 = R4 L 2 q2 = g sn c q 2 = g sn c s. π m q π m q

26 Cálculo de la función de correlación Para aplicar los métodos de obtención de Π µν q necesitamos una solución regular en r = 0 y que cumpla lim r A = 1, dada de forma única por ( ) q 2 ( ) q 2 A = Γ 2 Γ 2 (1+ r q 2 ( q 2 ) 2 F 2, q 2 ) ; 2, r 2. 2

27 Cálculo de la función de correlación (Renormalización) Si substituimos directamente esta solución en la acción, nos damos cuenta de que la integral diverge conforme r, por lo que hay que agregar un término de renormalización, que no es difícil ver que es δs = N f T D7 d 4 (2πl 2 s ) 2 x dω 3 R ln( r) det h F 2. 4 rmax D7

28 Cálculo de la función de correlación Para calcular la función de correlación usamos Π q ( q 2 ) = 2N fn c 3 q 2 (2π) 8 lim r 3 A ( q 2, r) r A( q 2, r). r Al considerar la solución para A encontrada con anterioridad, notamos que aparece un término divergente en esta expresión. Sin embargo, y como debería de ser, este se cancela con la contribución del termino de renormalización. El método aporta así un resultado finito que sustituimos en la expresión para R y obtenemos R( q 2 ) = 2N f Nc [ ( q 2 ( (2π) 7 Im + iɛ) ( q 2 ) ( + iɛ) ( q 2 )] + iɛ) ( q 2 + H + H, + iɛ) 2 2

29 Cálculo de la función de correlación Notemos en esta expresión que H(z) tiene un conjunto infinito de puntos singulares localizados en z = k para k N +. Estos puntos son polos sencillos con residuo -1, con lo que R( q 2 + iɛ) se vuelve una serie de resonancias localizadas en q n = 2 n(n + 1) para n = {1, 2, 3,...}, con un ancho de decaimiento finito Γ ɛ/ q 2 n.

30 Resultados Para hacer alguna comparación con los resultados experimentales, graficamos nuestro resultado para R(s) propiamente normalizado y de tal forma que coincida con los parámetros del mesón vectorial ρ(770).

31 Resultados Para hacer una estimación de que tan aproximada es la forma de la curva que encontramos, calculamos el momento magnético anómalo del muón a had µ dado por donde aµ had = 3D α2 (0) 3π 2 4mπ 2 ds K(s) R(s) s K(s) = 3Dx 2 (1 x 2 /2)+(1+x) 2 (1+1/x 2 )(Ln(1+x) x+x 2 /2)+x 2 Ln(x)(1+x)/(1 x) con x = (1 β µ )/(1 + β µ ) y β µ = (1 4m 2 µ/s) 1/2 El resultado es a had µ (ππ) = , que es del orden de los resultados experimentales, por ejemplo en los datos del τ.

32 Discusión Obtubimos una expresión analítica para R(s) a temperatura cero en una teoría de norma SU(N c ) fuertemente acoplada en el límite de N c grande con N f N c sabores de quarks. Vimos que el espectro que se deduce de esta expresión coincide con resultados anteriores. Algunas de las características a groso modo de los experimentos fueron recuperadas. El método tendría que ser aplicado en el dual de QCD.