ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS

Transcripción

1 ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS Una recta en el plano está determinada cuando se dan dos puntos cualesquiera de la recta, o un punto de la recta y su dirección (su pendiente o ángulo de inclinación). La situación en tres dimensiones no es muy diferente. Una recta L se determina cuando conocemos un punto de L y su dirección. Pero, cómo se puede especificar la dirección de una recta en tres dimensiones? claramente a través de vectores. Consideremos la recta que pasa por el punto y es paralela al vector de posición. Sea un punto arbitrario de L, el vector debe ser paralelo al vector posición. y Recordemos que dos vectores son paralelos si y solo si uno de ellos es múltiplo escalar del otro. Es decir que para algún escalar t. La recta consiste en todos los puntos para los cuales se cumple la ecuación anterior. Además, luego por tanto (1) esta es la ecuación vectorial de la recta L. Si expresamos los vectores en forma de componentes 1

2 Teniendo en cuenta que dos vectores son iguales si y solo si sus componentes correspondientes son iguales. Tenemos (2) donde. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones paramétricas de la recta, que pasa por el punto y es paralela a. Cada valor del parámetro t da un punto en L. Al vector que se utiliza para describir la dirección de la recta L, se lo denomina vector director o generador de la recta. Ejemplo 1 (a) Encuentre la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto (5,1,3) y es paralela al vector i + 4j - 2k (b) Encuentre otros dos puntos de la recta. (a) Aquí y, por tanto la ecuación vectorial (1) se convierte en con Las ecuaciones paramétricas son (b) Si damos valores a t, por ejemplo si,, es decir el punto (6,5,1) pertenece a la recta. Análogamente si elegimos,, es decir el punto (4,-3,5) pertenece a la recta. Observación: La ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas no son únicas, Si cambiamos el punto o el parámetro, o elegimos un vector paralelo diferente, entonces las ecuaciones cambian. Por ejemplo si en lugar de elegir en (a) el punto (5,1,3), elegimos el punto (4,-3,5), las ecuaciones paramétricas se convierten en 2

3 Ahora si en (a) consideramos el punto (5,1,3), pero en cambio sí elegimos como vector paralelo a, tenemos que Otra forma de describir la recta L, si paramétricas t, e igualando los resultados y obtenemos son no nulas, es despejando de las ecuaciones Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones simétricas de la recta L. Si son nulas (es decir si alguna de ellas es cero), por ejemplo, las ecuaciones simétricas serán Geométricamente esto significa que la recta L se encuentra en el plano vertical. El plano vertical, es el conjunto de puntos tales que la coordenada en es. Esto es, el conjunto de puntos Ejemplo 2 (a) Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los puntos y (b) En qué punto corta esta recta al plano? (plano es el conjunto de puntos ) (a) El vector ( ) es un vector paralelo a la recta que deseamos determinar. Entonces, consideremos como vector director a y sea, las ecuaciones paramétricas y simétricas de las recta son: y (b) La recta corta al plano cuando, por tanto reemplazando este valor de z en la última ecuación obtenemos 3

4 De donde resulta que. Por tanto la recta corta al plano en el punto POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS EN EL ESPACIO Teniendo en cuenta que hemos obtenido una recta dando un punto perteneciente a ella y un vector de la misma dirección, podemos dar la siguiente: Definición Sean y rectas de, con vectores directores,, respectivamente; sea el ángulo entre y i) Las rectas y son paralelas, siempre que y sean paralelos ii) Si y se intersecan, entonces a) el ángulo entre y es y b) las rectas y son ortogonales, siempre que, sean ortogonales Recordemos que en dos dimensiones, dos rectas son paralelas o se intersecan. Esto no es cierto en tres dimensiones. Veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo 3 Demostrar que las rectas y no son paralelas y, sin embargo, no se intersecan. {, { Observamos que el vector director de es y el vector director de es y como puede comprobarse no es múltiplo escalar de (es decir ). Por tanto y no son paralelas. Ahora bien, podríamos esperar que las rectas se corten, pero para ello debe suceder que exista alguna elección de los parámetros t y s que produzca el mismo punto, es decir los mismos valores para, y, z. Al igualar los valores de x, obtenemos que, de modo que Igualando los valores de y y considerando, se obtiene 4

5 de donde se deduce que, y por lo tanto. Al igualar las componentes de, se obtiene Pero esto no se cumple si y. Por tanto, y no son paralelas, aunque no se intersecan. Definición Las rectas no paralelas y que no se intersecan se llaman cruzadas. Rectas cruzadas Proposición 1 Dos rectas y de, son paralelas si y solo si,. Observemos que si las rectas y son paralelas pueden ser coincidentes (ser la misma recta) o distintas. Para comprobarlo, consideramos un punto de la recta y lo reemplazamos en la recta, si se satisface la ecuación es porque es la misma recta, es decir son coincidentes. Ejemplo 4 Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas {, { y, es claro que o bien Por lo tanto las rectas dadas son paralelas, ya que sus vectores directores son paralelos. Analicemos si son coincidentes o no. El punto y si lo reemplazamos en la recta, tenemos que 5

6 { luego para este valor de,, se cumple que el punto. Concluimos que las rectas dadas son paralelas y coincidentes. Ejemplo 5 Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas {, { y, Por lo tanto las rectas dadas son paralelas, ya que sus vectores directores son paralelos. Analicemos si son coincidentes o no. El punto y si lo reemplazamos en la recta, tenemos que { Si despejamos de la tercera, resulta, reemplazando este valor en la ecuación (1), vemos que no se cumple la igualdad, esto ocurre porque el punto. Luego las rectas dadas son paralelas y no coincidentes. Ejemplo 6 Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas {, { y, Por lo tanto las rectas son no paralelas, es decir se cruzan o se cortan Si igualamos los valores de, tendremos que 6

7 { de (2), reemplazando este valor en (1), resulta que. Para y, vemos que se satisface la ecuación (3), por lo que podemos decir que las rectas se cortan y lo hacen en el punto, pues Si, y si,. Conclusión estas rectas se cortan en el punto. Observación podríamos determinar el ángulo que ellas determinan, recordando que, y (como nos indica que las rectas no son ortogonales), luego PLANOS Cómo se podría describir un plano en el espacio? Qué información se necesita para esto? Por ejemplo Cómo se podría describir el plano? Observamos que el plano es el conjunto de puntos en el espacio cuya coordenada en es cero. Pero esta descripción sólo vale para planos paralelos a algunos de los planos coordenados. También podríamos decir que el plano es un conjunto de puntos del espacio tales que todo vector determinado por dos puntos del conjunto es ortogonal a. Pero, hay muchos planos con esta descripción, todos los planos paralelos al plano. Para seleccionar el que corresponde al plano, se necesita considerar un punto cualquiera por el que pase dicho plano. plano 7

8 En general un plano en el espacio se determina especificando un vector que sea ortogonal al plano, y un punto del plano. Este vector ortogonal se llama vector normal. Para hallar la ecuación del plano, sea ( ) un punto cualquiera del plano. Entonces, cómo, son ambos puntos del plano, el vector está en el plano y, por lo tanto es ortogonal a. Luego, se tiene que (1) esta ecuación recibe el nombre de ecuación vectorial del plano. Es decir, O sea, (2) La ecuación (2) es la ecuación escalar del plano que pasa por el punto ( ) con vector normal Ejemplo 7. Ecuación de un plano, dados un punto y un vector normal. Hallar la ecuación del plano que contiene al punto con vector normal Por la ecuación (2) se tiene que Si desarrollamos la expresión anterior, se tiene (3) 8

9 Para dibujar el plano, buscamos tres puntos que estén en el plano. La manera más simple es encontrar la intersección del plano con cada uno de los ejes coordenados. Cuando, se obtiene de (3), o,. Esto nos indica que la intersección con el eje es el punto (8, 0, 0). De igual manera, se pueden hallar las intersecciones del plano con los otros ejes. Siendo y las intersecciones con el eje y el eje respectivamente. Usando estos tres puntos podemos dibujar el plano que se ve en la figura Lo que se ve del plano es solo el primer octante (8, 0, 0). Observación si desarrollamos la expresión (2), se obtiene (4) con. A la expresión (4) se la llama ecuación lineal del plano con vector normal. Hemos visto que tres puntos determinan un plano, pero cómo hallar una ecuación del plano dados tres puntos? Ejemplo 8 Determinación de la ecuación de un plano, dados tres puntos Halle el plano que contiene los tres puntos Primero debemos hallar un vector normal al plano. Observemos que dos vectores que están en el plano son y. Un vector ortogonal tanto a, como a es el vector cruz, calculemos el producto 9

10 Como y no son paralelos, ecuación para el plano es debe ser ortogonal al plano. Por (2), una POSICIONES RELATIVAS DE PLANOS En tres dimensiones, dos planos pueden ser paralelos, o intersecarse en una recta. Supongamos que dos planos que tienen vectores normales y respectivamente, se intersecan. Entonces el ángulo entre los planos es el mismo que el ángulo entre y. Teniendo en cuenta esto, decimos que dos planos son paralelos cuando sus vectores normales son paralelos. Dos planos son ortogonales cuando sus vectores normales son ortogonales. Como consecuencia inmediata de las propiedades de producto vectorial y del producto punto podemos decir: Proposición 2 Dos planos, con vectores normales y respectivamente, son paralelos si y solo si Proposición 3 Dos planos, con vectores normales y respectivamente, son ortogonales si y solo si Observación los planos paralelos pueden ser paralelos coincidentes o paralelos no coincidentes. Para poder distinguir esto, realizamos el siguiente análisis: Sean y vectores normales de y. Si y son paralelos, existe un número real tal que decimos que: los planos son paralelos coincidentes si. 10

11 los planos son paralelos no coincidentes si. Ejemplo 9 (a) Los planos y son paralelos coincidentes. (b) Los planos y son paralelos no coincidentes. Ejemplo 10 Ecuación de un plano, dado un punto y un plano paralelo Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto ( por. ) y es paralelo al plano definido El vector normal al plano dado es, como los planos son paralelos, este vector también es normal al plano buscado. Luego la ecuación del plano es o sea Si dos planos no son paralelos, entonces se cortan en una recta. Ejemplo 11 Determinación de la intersección de dos planos Analizar la posición relativa de los planos, (1) Los planos no son paralelos, por lo tanto se cruzan. Para hallar la recta intersección despejamos de cada una de las ecuaciones, (2) Igualamos las expresiones y se obtiene de donde Reemplazando en (2), obtenemos en términos de 11

12 Si se considera a como parámetro y se toma, se obtienen las ecuaciones paramétricas de la recta intersección:,, Proposición 4 Si los planos, con vectores normales y respectivamente, no son paralelos, entonces el vector es un vector director de la recta intersección. Otra forma de encontrar la recta intersección de los planos dados en el ejemplo 11 es determinando un vector director y un punto de la recta. Al ser, consideramos el vector como vector director de la recta intersección de los planos. Nos falta determinar un punto, para ello hacemos en (1) y resolviendo { Resulta que y. Por tanto es el punto buscado. Luego las ecuaciones paramétricas de la recta son,, GRAFICA DE PLANOS Ejemplo 12 Dibuje los planos e Las dos ecuaciones representan planos cuyo vector normal es. Esto quiere decir que son paralelos al plano, el primero pasa por y el segundo pasa por. 12

13 Ejemplo 13 Representar gráficamente Como se vio en el ejemplo 7, buscamos la intersección con los ejes coordenados. Si hacemos, obtenemos, es decir que es el punto intersección con el eje. Si, obtenemos, es decir que es el punto intersección con el eje. Si, obtenemos, es decir que es el punto intersección con el eje. Además podemos obtener la intersección del plano dado con los planos coordenados de la siguiente manera Intersección con el plano, la obtenemos haciendo en la ecuación dada. Por tanto la intersección es la recta Intersección con el plano, la obtenemos haciendo en la ecuación dada. Por tanto la intersección es la recta Intersección con el plano, la obtenemos haciendo en la ecuación dada. Por tanto la intersección es la recta Observación para representar gráficamente una recta en el espacio donde. Dibujamos el vector director de la recta, marcamos el punto y trazamos por una recta paralela a. 13