Modelos Arma y método Box & Jenkins

Transcripción

1 Modelos Arma y método Box & Jenkins Alumno: Aldo Fournies Pallavicini. Profesor: Humberto Villalobos. 17/07/2013

2 Índice. Introducción... 3 Conceptos Básicos... 4 Modelos de autoregresión Modelo AR(p)... 5 Modelo MA(q)... 6 Modelos mixtos de autorregresión medias móviles Modelo ARMA(p,q)... 8 Funciones de autocorrelación Conclusiones Bibliografia

3 Introducción. El método Box & Jenkins fue generado en el año 1970 buscando facilitar el trabajo de los estadistas al construir un modelo de una serie temporal, para explicar su estructura y predecir la evolución de esta serie en el futuro. Una serie temporal se puede considerar como un conjunto de observaciones (datos), de una variable, tomados en intervalos regulares de tiempo. En particular, la metodología Box- Jenkins es un procedimiento de análisis estadístico para ajustar a una serie un tipo especial de modelos, denominados ARIMA (autorregresive Integrated Moving Average). El ajuste de los modelos a un modelo ARIMA se realiza por ciclos iterativos. Las etapas del ciclo iterativo son las siguientes: Especificar una clase general de modelos considerados para el análisis. La identificación de un modelo basado en el análisis de autocorrelaciones, autocorrelaciones parciales y otros criterios. Estimar las fases, es decir, los parámetros del modelo identificado. Por último, existe la verificación del modelo ajustado, a través de un análisis de los residuos, para ver si es adecuado para el propósito pretendido (predicción en nuestro caso). En este trabajo se dará a conocer el procedimiento para ajustar distintos modelos de series de tiempo a modelos de análisis temporal y como generar predicciones de estos modelos en el tiempo por medio de los métodos AR(p), Media Movil, ARMA y finalmente el global conocido como ARIMA. Se entregaran algunos lineamientos de conceptos básicos y operadores que se debe manejar para poder generar este tipo de análisis en las series de tiempo. Se analizaran modelos con una variable exógena en un principio, univariados, para luego dar paso a modelos con un mayor número de regresoras de manera general, para simplificar el análisis.

4 Conceptos Básicos Modelo estocástico: es un modelo no deterministico donde una sucesión de variables aleatorias Yt ordenadas, donde t puede tomar cualquier valor entre - y. Cada variable t puede tomar su propia función de distribución lo que hace que el modelo sea aleatorio y no un modelo determinado por parámetros claros en las variables y las respuestas de la endógena del modelo. Una condición básica para los modelos AR y MA es que los valores de una variable en un momento t no dependerán de los que esta misma tome en t+j, siendo jota cualquier valor superior a cero. Señal de ruido blanco: el ruido blanco es una señal aleatoria (proceso estocástico) que se caracteriza por el hecho de que sus valores de señal en dos tiempos diferentes no guardan correlación estadística, es decir, en el eje del tiempo la señal toma valores sin ninguna relación unos con otros. Usado como término de error. Estacionalidad: se define un proceso estacionario como una sucesión de variables aleatorias {Xt}, t= 1,, n, ordenadas en el tiempo. Es decir, el valor observado de la serie en el instante t puede ser considerado como una muestra aleatoria de tamaño uno de la variable Zt del proceso estocástico definida en dicho. El proceso es estacionario si las funciones de distribución conjuntas del modelo se mantienen invariantes a lo largo del tiempo. Finalmente decimos que un modelo lineal será estacionario si la serie converge para un operador B menor o igual a 1. Invertibilidad: Un proceso de serie de tiempo se considera invertible cuando no converge en un modelo estacionario, es decir que el operador B converge en este caso para valores mayores a 1 en el modelo.

5 Operadores básico para el método Box & Jenkins: 1. Operador traslador al pasado. BZt = Z t-1 "t En forma general: Bk Zt = Zt-k 2. Operador traslador al futuro. BZt = Z t+1 "t En forma general: Bk Zt = Zt+k 3. Operador de diferencias. ΔZt = Zt -Z t-1 Forma general: ΔkZt =(1 B)kZt 4. Operador suma: SZt =(1 B)^-1Zt Es decir: S=(1 B)^-1 Modelos de autoregresión. La palabra ARIMA significa Modelos Autorregresivos Integrados. Definimos un modelo como autorregresivo si la variable endógena de un período t es explicada por las observaciones de ella misma correspondientes a períodos anteriores junto con un término de error. En el caso de procesos estacionarios con distribución normal, la teoría estadística de los procesos estocásticos dice que, bajo determinadas condiciones previas, toda Yt puede expresarse como una combinación lineal de sus valores pasados (parte sistemática) más un término de error. Dentro de estos modelos se definen dos modelos de autoregresion AR y Media Movil, y luego un modelo de media móvil con mas parámetros llamado ARMA y finalmente modelo de series no estacionarias ARIMA. Modelo AR (p) Un modelo autoregresivo se abrevia con la sigla AR(p), donde p indica el orden del modelo, es decir, la cantidad de observaciones pasadas que se utilizaran para predecir la serie de tiempo. Por ejemplo, un modelo con una observación de retraso se denominaría por AR(1). Es importante destacar que los modelos AR funcionan en base a un operador traslador al pasado vistos anteriormente. La forma general de determinar un modelo AR(p), es decir, de cualquier orden, se escribe como sigue:

6 Y t=ø0+ø1y t-1+ø2yt øpyt- p+at Donde: at: ruido blanco o término de error de la serie de predicción de tiempo. Øp(B): operador traslador al pasado del modelo AR(p). Donde el modelo puede escribirse de forma abreviada de la siguiente manera, aplicando simplemente la notación del operador: Øp (B)Y t=ø0+at Cabe destacar que at se considera ruido blanco, si y solo si, presenta media nula, varianza constante y convarianza nula entre errores correspondientes a observaciones diferentes. Esto para todos los modelos autoregresivos donde se determine ruido blanco en su término de error. Una vista de manera particular, se presentara un modelo AR de orden 1, para ejemplificar la funcionalidad del modelo en series de tiempo. El modelo, una vez aplicado el operador traslador al pasado queda como sigue: Modelo MA(q) Y t=ø0+ø1yt -1+at El método de medias móviles es aquel que explica el valor de una determinada variable en un período t en función de un término independiente y una sucesión de errores correspondientes a períodos anteriores al que se está analizando, ponderado convenientemente. Una serie de tiempo predicha por un modelo de media móvil con q grados de libertad viene dado por la siguiente expresión general: Y t= µ +at+ø1at-1+ø2 at ø q at -q Este modelo puede abreviarse utilizando el operador traslador al pasado (como en el caso de los modelos AR) Y t= Øq(B)at+µ

7 Al igual que en el caso de los modelos autorregresivos, el orden de los modelos de medias móviles suele ser bajo MA(1), MA(2) o corresponderse con la periodicidad de los datos analizados MA(4), para series trimestrales, o MA(12) para series mensuales. Un modelo de medias móviles es siempre estacionario, y puede obtenerse básicamente de un modelo de autorregresión AR sin más que realizar sucesivas sustituciones. Un ejemplo de modelo de medias móviles con q igual a 1 se representaría como sigue: Y t=øq(b)at+µ Observamos, pues, que el factor de un proceso MA (q) es cero para los "rezagos" mayores que q, contrariamente a lo que sucede en el proceso AR común.

8 Modelos mixtos de autorregresión medias móviles. Modelo ARMA(p,q) Dada una serie temporal de datos X t, el modelo ARMA es una herramienta para entender y para predecir futuros valores de la serie. El modelo está formado por dos partes, una parte autorregresiva (AR) y otra de media móvil (MA). El modelo se conoce con el nombre de modelo ARMA (p,q), donde p es el orden de la parte autorregresiva y q es el orden de la parte de media móvil. Podemos decir entonces que el modelo arma es una herramienta más poderosa que los visto anteriormente ya que combina ambas formas de predecir una serie de tiempo y, por lo tanto, en algunos casos ajusta de mejor manera la predicción de la serie y es usado en una mayor cantidad de series por su combinación de técnicas de predicción AR(p) y MA(q). Este tipo de modelos es bastante usado en varias áreas como la economía o modelos donde las variables en un instante t arrojan resultados no deterministicos, es decir, modelos estocásticos. Determinar modelos de esta naturaleza es bastante intuitivo, exceptuando algunos casos como la predicción de años, donde no es tan razonable el modelo. Un modelo ARMA, también conocido como modelo autorregresivo de medias móviles, tiene la siguiente estructura combinatoria de las dos técnicas, es decir, su estructura se conoce como se presenta a continuación para la predicción de un modelo con un número de parámetros muy grande. Y t= Ø0+Ø1Y t-1+ø2yt øpyt- p +at+ø1at-1+ø2 at ø q at q Como los dos modelos anteriores funcionan en base a operadores de retard podemos ver como en este, tambien se puede expresar en base al operador de traslado al pasado como se representa a continuación.

9 Donde el operador L es nuestro operador B, y las sumatorias son las bases para cada modelo,m AR a la derecha y MA a la izquierda de la igualdad. Øp (B)Y t - Ø0 -at = Øq(B)at+µ De otra manera la igualdad de los operadores para el modelo ARMA (p,q). De lo anterior se puede concluir que el modelo es estacionario e invertible si todas las soluciones de Øp,q(B)=0 caen fuera del circulo unitario para la invertibilidad y estacionalidad del modelo. Se puede observar también que en este modelo las autocorrelaciones de los parámetros se verán mayoritariamente afectadas por el conportamiento de medias móviles. Un modelo ARMA (1,1) se representa como se expresa a continuación. Y t= ØY t-1+at+øat-1 Podemos ver, como hemos comentado, que la presencia de un término promedios de medias móviles viene sólo en la determinación de q y las autocorrelaciones restantes se determinan y se ven afectados sólo por el modelo autorregresivo AR(p).

10 Funciones de autocorrelación. Según lo visto anteriormente, los procesos AR(p), MA(q) y ARMA (p,q), presentan características especiales en su autocorrelación entera, que al ser evaluadas arrojan los siguientes resultados: Un proceso AR(p) llevado al infinito presenta un decaimiento exponencial por medio de series sinusoidales amortiguadas, Un proceso MA(q) al infinito, no tiene sentido en la representación de términos de q. Un proceso ARMA (p,q) al tener una extensión infinita, se presenta también por decaimiento exponencial de series sinusoidales amortiguadas pero explicadas en términos de p-q. Por otro parte, el método de Box & Jenkins, nos da la posibilidad de evaluar los modelos por medio de autocorrelación parcial, donde luego de los análisis se obtienen las siguientes conclusiones para los modelos vistos anteriormente: Un proceso AR(p) tendrá una función de autocorrelación parcial distinta de cero para los valores que estén dentro del grado de libertado del modelo, y para los siguientes será de valor cero. En los casos de modelo MA(q) la función de autocorrelación parcial se comporta de la misma manera, con la acotación que es de forma exponencial sinusoidal amortiguada, como para la correlación completa de los modelos AR(p) El modelo ARMA(p,q) se comporta como un modelo MA(p) puro, es decir, funciona solo dentro de los grados de libertado, con autocorrelaciones completas y fuera de ellas no tiene sentido la determinación.

11 Conclusiones En las predicciones de las series temporales hemos analizado tres métodos para poder estimar los valores de las series en el futuro. Estos modelos trabajan en base a series temporales estacionarias, es decir, con intervalos t, de tiempo, homogéneos, pero con parámetros estocásticos, que no presentan relación unos con otros y que sus funciones de autocorrelación están determinadas en cada caso sin relación entre los parámetros. El siguiente paso para el análisis de series de tiempo es el estudio de las series temporales no estacionarias, las cuales no suceden en periodos de tiempo relacionados, si no mas bien, en procesos totalmente estocásticos. Para este tipo de modelos es que se utilizan los modelos ARIMA, tema que escapa de este trabajo. Los modelos AR(p), MA(q) y ARMA (p,q), son herramientas muy poderosas para estimar series de tiempo estacionarias. Dentro de estos el modelo ARMA es el más general ya que engloba a los dos modelos iniciales, donde se pueden obtener predicciones de series de tiempo más generales. La predicción de variables a lo largo del tiempo es una herramienta muy poderosa para poder tomar decisiones en distintos tipos de industrias y para poder optar caminos por los cuales ir con mayor seguridad y obtener mejores resultados. La pequeña aproximación que hemos obtenido en este trabajo ayuda a poder analizar la fiabilidad de un modelo y conocer cuáles son las variables a considerar al aplicar un modelo de predicción de serie de tiempo en una serie temporal.

12 Bibliografia. Previsao de series temporais: Pedro Alberto Morettin y Clelia Maria de Castro Toloi. Modelos Econométricos Editorial Pirámide, Madrid 2001: PULIDO, A. Y PÉREZ GARCÍA, J. (2001) Series temporales, Modelos Box & Jenkins: Universidad autonoma de Madrid.