Plan de clase (1/7) Escuela: Fecha: Profesor (a):

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1 Plan de clase (1/7) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 8 Eje temático: SN y PA Contenido: Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución). Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que tienen asociados sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, usando métodos propios. Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas: 1. Una bolsa contiene en total 21 frutas, de las cuales algunas son peras y otras son duraznos. Cuántas peras y cuántos duraznos hay en la bolsa? 2. Si además sabemos que la cantidad de peras que hay en la bolsa es 11 unidades más que la cantidad de duraznos, cuántas peras y cuántos duraznos hay en la bolsa? Revisen sus soluciones y procedimientos grupalmente. Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas y planteen las ecuaciones que les corresponden. 3. Pensé dos números. Sumados dan 42 y restados dan 8. Qué números son? 4. Para una conexión de la tubería de drenaje de una casa se usaron 20 piezas de tubo. Unas piezas medían 2.5 m de largo y otras 1.5 m. La longitud total de la tubería fue de 42 m. Cuántos tubos de cada tipo se usaron? Número de piezas de 2.5 m: Número de piezas de 1.5 m: 5. Para una feria de ciencias se buscaron bichos (arañas y escarabajos) en el jardín de la escuela. En total, encontraron 15 bichos. Al contar las patas de los bichos se encontraron 102 patas. Cuántos escarabajos y cuántas arañas encontraron? ( Ojo!, las arañas tiene 8 patas, los escarabajos tienen 6) Número de arañas: Número de insectos: Consideraciones previas: Se busca introducir a los alumnos al estudio de las ecuaciones simultáneas y se espera que encuentren la solución de los problemas con procedimientos aritméticos, como el ensayo y error. Es muy importante que en estos primeros acercamientos a los sistemas de ecuaciones no se force la utilización de un método algebraico. Con los problemas de la primera parte (incisos 1 y 2) se busca centrar la atención en las dos condiciones que los sistemas de ecuaciones lineales deben tener (en general) para ser resueltos. Es probable que los alumnos encuentren, sin mucha dificultad, varias soluciones para el inciso 1. Una vez socializadas con el grupo, se recomienda preguntar: a) Cuántas soluciones diferentes puede haber?

2 b) Cómo se podría expresar la solución, de manera que incluya a todas las respuestas correctas? Es muy importante que se analicen grupalmente los resultados y procedimientos encontrados, antes de decirles que se pueden formular dos ecuaciones. El inciso 1 lleva a los alumnos a buscar pares de números naturales que sumen 21, mientras que la segunda los lleva a buscar una expresión del tipo x + y = 21, en la que x y y representen, respectivamente la cantidad de duraznos o de peras. En contraste con el inciso 1, incluir una segunda condición (la cantidad de peras que hay en la bolsa es 11 unidades más que la cantidad de duraznos) en el inciso 2 implica que la solución sea única. La ecuación que corresponde a la segunda condición es: x = y En el segundo bloque de problemas (incisos 3, 4 y 5) se espera que los alumnos identifiquen las dos condiciones que se dan en cada problema y, de ser posible, que las traduzcan a ecuaciones. Si es necesario, ayúdeles a organizar la información para que puedan formular las ecuaciones correspondientes. En la discusión grupal se sugiere revisar los procedimientos de solución y la formulación de las ecuaciones. Ahora, si bien hay que promover la escritura de las dos ecuaciones correspondientes a estos problemas, es muy importante dar oportunidad a los alumnos de encontrar la solución con sus propios métodos y, por ahora, no introducir los métodos algebraicos clásicos (los cuales se estudiarán en las siguientes sesiones). Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

3 Plan de clase (2/7) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 8 Eje temático: SN y PA Contenido: Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución). Intenciones didácticas: Que los alumnos formulen el sistema de ecuaciones que permite resolver un problema y lo resuelvan mediante el método de substitución. Consigna: Reunidos en equipos, resuelvan el siguiente problema: 1. Pensé dos números. Si los sumo obtengo 20. Si al doble del primer número le sumo 35, obtengo el segundo. Qué números pensé? Revisen sus soluciones y procedimientos grupalmente. Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas y planteen las ecuaciones que les corresponden. 2. Alejandra y Erica fueron al cine y compraron dos helados sencillos de chocolate y un refresco en vaso grande por $ Si se sabe que el precio del refresco en vaso grande vale la mitad del precio de un helado sencillo de chocolate, cuál es el precio de un helado de chocolate y cuál el de un refresco en vaso grande? 3. En la cooperativa escolar se vendieron 296 refrescos en total. Si los refrescos chicos vendidos fueron el triple de los medianos. Cuántos se vendieron de cada uno? Consideraciones previas: Con base en el trabajo realizado en la sesión anterior, en ésta se busca centrar la reflexión de los alumnos en: (a) la formulación de las ecuaciones correspondientes, y (b) la introducción del método de substitución. Para la formulación de las ecuaciones, se recomienda ayudarlos a identificar las incógnitas y representarlas con literales. A partir de esto, hay que animarlos a que formulen una ecuación y luego la otra. Conviene dar tiempo para que los equipos formulen sus ecuaciones y, después, revisarlas de manera grupal. Se recomienda hacer esto para cada uno de los problemas planteados. Para la introducción del método de sustitución, se recomienda proceder de la siguiente manera. Para el primer problema se espera que los alumnos traten de resolverlo recurriendo a ensayo y error. Sin embargo, es muy probable que las estrategias completamente artiméticas se centren en buscar números enteros positivos y, como la solución de este problema involucra a un número negativo (x = -5, y = 25), es probable que algunos digan que no se puede resolver. Este es un buen momento para que usted presente el método de sustitución, resaltando su eficiencia para encontrar la solución del problema. Es muy importante verificar que los números obtenidos mediante este método satisfagan las dos condiciones del problema.

4 Los problemas 2 y 3 buscan ejercitar la aplicación del método de sustitución. Sin embargo, es probable que aparezcan otros procedimientos y es importante reconocerlos como válidos. Por ejemplo, para el problema 3, es probable que los alumnos dividan directamente y obtenga que se vendieron 296 refrescos medianos y, en consecuencia, 702 refrescos chicos. Si no se da la aplicación del método de sustitución, muéstrela usted y aproveche para compararla con los otros procedimientos. Para que los alumnos ejerciten este método, usted puede plantear algunos sistemas fuera de contexto, como los siguientes. a) 2x y 14 x y 1 b) 2x 2y 160 x 3y c) 2x y 15 x 2y Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

5 Plan de clase (3/7) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 8 Eje temático: SN y PA Contenido: Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución). Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que tienen asociados sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, usando el método de igualación. Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema: 1. Un abuelo dijo a su nieto: "Mira qué curioso: tu edad es la quinta parte de la mía; pero también es igual a la tercera parte de mi edad, menos diez años. Cuántos años tienen el nieto y el abuelo? 2. Pensé dos números; si a uno de ellos lo multiplico por 3 y al resultado le sumo 1, obtengo el segundo número; pero si al primero lo duplico y al resultado le resto 3, obtengo nuevamente el segundo número. Es posible, existen esos dos números? Si existen, qué números son? Revisen sus soluciones y procedimientos grupalmente. Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes sistemas de ecuaciones. a) m 2 n m 4 3n b) 10 y x 2 6 y x 2 c) 7b 4 a 8 3b 6 a 6 Consideraciones previas: En esta sesión se busca introducir el método de igualación, tanto para solucionar problemas como para sistemas fuera de contexto. Como en la sesión anterior, se recomienda ayudar a identificar las incógnitas de los problemas y a representarlas con literales. Conviene dar tiempo para que los equipos formulen sus ecuaciones y, después, revisarlas de manera grupal. Para el primer problema, es probable que algunos alumnos intenten encontrar las soluciones a partir de ensayo y error, aunque los números que solucionan el problema son relativamente grandes (15 y 75). Hay que dar espacio para que surjan estos procedimientos. También es probable que algunos estudiantes usen el método de sustitución, recientemente visto en la sesión anterior. Para el segundo problema, es más difícil usar el ensayo y error, pues la soluciones son números negativos (-4 y -11). Nuevamente, es probable que se use el método de sustitución.

6 Se recomienda introducir el método de igualación después de la discusión grupal de las soluciones a los dos primeros problemas, comparándolo con los otros procedimientos que hayan usando los estudiantes, resaltando su eficiencia para cuando el sistema tiene despejada la misma incógnita en ambas ecuaciones. La parte de los sistemas de ecuaciones fuera de contexto se propone para ejercitar la aplicación del método de igualación. Si usted lo considera conveniente, puede plantear problemas más sencillos, problemas con soluciones enteras positivas. Para finalizar y si lo considera conveniente, puede plantear problemas en los que una de las incógnitas no esté despejada, como el siguiente. Elena compró blusas y faldas, sabemos que el costo de dos blusas equivale a 300 pesos menos el costo de 3 faldas y por otra parte cada blusa cuesta veinticinco pesos más que cada falda. Cuanto cuesta cada prenda?, que tiene asociado el sistema: 2x = 300 3y x = y + 25 Una vez encontardo el sistema de ecuaciones, hay que proponer el método de igualación como otra alternativa de solución. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

7 Plan de clase (4/7) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 8 Eje temático: SN y PA Contenido: Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución). Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que tienen asociados sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, usando el método de suma y resta. Consigna: Organizados en equipos, planteen el sistema de ecuaciones con el que se puede resolver el siguiente problema. 1. Encontrar dos números tales que, el triple del primero más el segundo es igual a 820. El doble del primero menos el segundo es igual 340. Cuáles son los números? y Revisen sus soluciones y procedimientos grupalmente. Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes sistemas de ecuaciones mediante el método de suma y resta. a) a + b = 135 b) 2m + 12n = -22 a - b = 59 8m 12n = 32 Consideraciones previas: En la discusión grupal de la solución del problema, es importante revisar primero la formulación de las ecuaciones. En este caso el sistema es: 3x + y = 820 2x y = 340 Es probable que los alumnos despejen una de las incógnitas para resolverlo por alguno de los métodos ya estudiados. Se recomienda revisar los diferentes procedimientos usados e introducir el método de suma y resta, resaltando su eficiencia para un sistema como éste, en el cual una de las incógnitas tiene el mismo coeficiente, con distinto signo. Es conveniente explicar paso a paso la aplicación de este método y verificar que las soluciones encontradas satisfagan las condiciones del problema. Los sistemas de ecuaciones fuera de contexto se proponen para consolidar el uso del método. Se recomeneda plantear estos ejercicios, o bien seleccionar otros del libro de texto de los alumnos. Si usted lo considera conveniente, puede plantear algún problema en cuyo sistema una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente pero tenga el mismo signo, como el siguiente: Para el día del estudiante los alumnos del grupo A compraron hamburguesas y refrescos. Un equipo compró 5 hamburguesas y 3 refrescos y pagaron $285. Otro

8 equipo compró, a los mismos precios, 2 hamburguesas y 3 refrescos y pagaron $150. Cuánto les costó cada hamburguesa y cada refresco? Una vez encontrado el sistema de ecuaciones, hay que explicar que en este caso se restan las ecuaciones, término a término. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

9 Plan de clase (5/7) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 8 Eje temático: SN y PA Contenido: Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución). Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionan sobre la manera de utilizar el método de suma o resta, cuando los coeficientes de ambas incógnitas no son iguales ni recíprocos aditivos. Consigna: Organizados en equipos, planteen el sistema de ecuaciones que resuelve el siguiente problema. Usen el método de suma y resta para encontrar la solución Diego y Claudia fueron a una tienda. Como es temporada de ofertas, los discos de música están todos al mismo precio. Además, las películas también están todas al mismo precio, pero distinto al de los discos. Diego pagó $240 por dos discos de música y una película; mientras que Claudia pagó $255 por un disco de música y dos películas. Cuál es el precio unitario de los discos de música y cuál el de las películas? Revisen sus soluciones y procedimientos grupalmente. Consigna: Individualmente, resuelvan los siguientes sistemas de ecuaciones mediante el método de suma y resta. x y 5 a) b) 3x 2y 15 2a b 9 a 2b 8 Consideraciones previas: En la discusión grupal, se recomienda comenzar por verificar que el sistema de ecuaciones esté correctamente planteado: 2x + y = 240 x + 2y = 255 En seguida se puede plantear la siguiente reflexión: Dado que en este caso tanto los coeficientes de x como los de y no son iguales, qué se podría hacer para usar el método de suma o resta? Se espera que este cuestionamiento lleve a los alumnos a la necesidad de encontrar una ecuación equivalente a la primera o a la segunda, para igualar los coeficientes de alguna de las incógnitas. Si no surge de los alumnos, hay que explicarlo. Los sistemas de ecuaciones fuera de contexto se proponen para consolidar el uso del método. Se recomeinda plantear estos ejercicios, o bien seleccionar los adecuados del libro de texto de los alumnos. Si usted lo considera conveniente, puede plantear más problema para resolverlos mediante este método, como los siguientes:

10 a) Por cinco boletos para un concierto de rock y tres boletos para un partido de fútbol se pagaron $720 y por dos boletos para el mismo concierto y seis para el mismo partido de fútbol se pagaron $480 Cuál es el valor del boleto para cada uno de los eventos? b) A un baile asistieron 270 personas. Si los boletos de caballero costaban $100 y los de dama $80 y se recaudaron $ por todas las entradas, cuántas mujeres y cuántos hombres asistieron al baile? Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

11 Plan de clase (6/7) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 8 Eje temático: SN y PA Contenido: Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución). Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen y comparen las características de los métodos de sustitución, suma o resta e igualación para la solución de sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas. Consigna: Organizados en equipos, revisen los métodos de resolución de los problemas planteados y contesten las preguntas. Problema 1: La suma de dos números es 195. Si el doble del primer número menos el segundo es 60, cuáles son esos números? Sistema: x + y = 195 2x y = 60 Método de Simplificación: x + y = 195 2x y = x = 255 Solución de la ecuación de una incógnita: x = x = 85 Sustitución del valor de x: x + y = y = 195 y = y = 110 Método de Despeje de una incógnita en una ecuación: 2x y = 60 2x 60 = y Sustitución: x + (2x 60) = 195 Solución de la ecuación de una incógnita: 3x = = 255 x = x = 85 Sustitución del valor de x: 2(85) 60 = y 110 = y a) Cuáles son los métodos de solución que se usaron? b) Son correctas las soluciones encontradas? c) Cuál de los dos métodos elegirían para resolver el sistema? d) Por qué?

12 Problema 2. Dos hermanos ganan juntos $ 7, al mes. Cuánto gana cada quien si uno de ellos percibe $1, más que el otro? Completen los pasos de los métodos usados. Sistema: a + b = 7500 b = a Método de Sustitución Sustitución: a + ( ) = 7500 Solución de la ecuación de una incógnita: Método de Despeje de una incógnita en una ecuación: b = 7500 a de las dos ecuaciones despejadas: a = 7500 a a = Sustitución del valor de a: b = a b = b = 4650 Solución de la ecuación de una incógnita: a = 7500 a 2a = = 5700 a = a = 2850 Sustitución del valor de a: b = a = (2850) b = 4650 e) Cuáles son los métodos de solución que se usaron? f) Son correctas las soluciones encontradas? g) Cuál de los dos métodos prefieren usar para resolver el sistema? h) Por qué? Revisen sus soluciones y procedimientos grupalmente. Consigna: Individualmente, contesta lo que se pide. Problema 3: Un vendedor de frutas tiene las siguientes cuentas por la venta de sandías y melones: Día Venta Conclusión Lunes Una sandía y cuatro La sandía cuesta 49 menos el precio de melones; cobró $ cuatro melones Martes Una sandía y siete melones; cobró $ La sandía cuesta 73 menos el precio de siete melones.

13 a) Qué método utilizarías para resolver este sistema de ecuaciones? b) Cuál es el precio de cada una de las frutas? Consideraciones previas: En el momento de la confrontación, la discusión debe orientarse a reconocer las diferencias entre los métodos y los criterios o características del problema que guiaron la selección de uno de ellos. Así mismo hay que dejar claro que mediante los tres métodos estudiados (suma y resta, igualación o sustitución) se simplifica el sistema a una sola ecuación con una incógnita, lo que facilita la resolución. Es importante que el docente haga uso del lenguaje matemático al explicar (coeficiente, incógnita, sistema, ecuación, etc.) de tal forma que el alumno vaya apropiándose de él. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

14 Plan de clase (7/7) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 8 Eje temático: SN y PA Contenido: Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución). Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen plantear y resolver un sistema de ecuaciones por cualquier método algebraico (suma y resta, igualación o sustitución). Consigna: Organizados en equipos planteen un sistema de ecuaciones para cada uno de los problemas siguientes y resuélvanlos utilizando el método algebraico que consideren conveniente. 1. En la cooperativa escolar se vendieron 296 refrescos en total. Si los refrescos chicos vendidos fueron el triple de los medianos. Cuántos se vendieron de cada uno? 2. La suma de dos números es 72 y su diferencia es 48. Cuáles son dichos números? 3. Patricia compró 10 estampillas de correos, unas de $3.00 y otras de $1.00. Si pago $18.00 en total, cuantos pagó por cada una? 4. Al trabajar en un restaurante, Pedro ganó $37.00 más que Juan, pero si a lo que ganó Juan se le restan $23.00, la cantidad que se obtiene es $ Cuanto le corresponde a cada uno? Consideraciones previas: Se sugiere al profesor que aproveche la puesta en común para que los equipos argumenten el por qué eligieron ese método, de tal manera, que nuevamente los alumnos puedan valorar los distintos métodos utilizados. Además el profesor deberá propiciar que sean los mismos alumnos quienes validen la aplicación de los métodos. Es importante notar que al problema 4 le corresponde el sistema: x = y + 37 y 23 = 734 en el cual la segunda ecuación es de una sola incógnita. Una de las formas de resolver este problema consiste en resolver primero la segunda ecuación y sustituir el valor encontrado en la primera ecuación. Presente a los alumnos este procedimiento como uno más y pregunte cuál elegirían ellos y por qué. Para consolidar lo aprendido se pueden plantear problemas como los siguientes: a) El perímetro del primer triangulo es 21 y el del segundo 23 Cuánto valen x y y? x + 2 y y - x y x 2x

15 b) En un rectángulo, el doble del largo menos el triple del ancho es 8 cm y el triple del largo más el doble del ancho es 25cm. Cuáles son las dimensiones de dicho rectángulo? c) Dentro de cinco años, mi abuelito tendrá el cuádruplo de mi edad. Hace cinco años tenía siete veces mi edad. Qué edad tenemos él y yo? Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre