7 Integral triple de Riemann

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Lorenzo Casado Rey
hace 6 años
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1 Miguel eyes, pto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 1 7 Integrl triple de iemnn 7.1 efinición Llmremos rectángulo cerrdo de 3 (prlelepípedo) l producto de tres intervlos cerrdos y cotdos de, es decir = [, b] [c, d] [e, f] = { (x, y, z) 3 : x b, c y d, e z f } Si los intervlos son biertos, el rectángulo se llm bierto. Se llm volumen del rectángulo l producto de ls longitudes de los intervlos que lo definen, es decir V () = (b )(d c)(f e). 7.2 Prticiones de un rectángulo Se = [, b] [c, d] [e, f] 3. Llmremos prtición de l producto crtesino de un prtición de [, b], por otr de [c, d] y por otr de [e, f]. Es decir, si P 1 = ( = x 0 < x 1 <... < x n = b) P([, b]), P 2 = (c = y 0 < y 1 <... < y m = d) P([c, d]) y P 3 = (e = z 0 < z 1 <... < z p = f) P([e, f]), entonces P = P 1 P 2 P 3 = { ijk = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] [z k 1, z k ] : 1 i n, 1 j m, 1 k p} P() L prtición P const de n m k rectángulos. Si P, P P(), diremos que P es más fin que P, P P, si cd rectángulo de P está contenido en lgún rectángulo de P. 7.3 Sums de iemnn Se = [, b] [c, d] [e, f] 3, P = { ijk = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] [z k 1, z k ] : 1 i n, 1 j m, 1 k p} P() y f : un función cotd. iemnn de f socids P como Se definen ls sums inferior y superior de s (f, P ) = S (f, P ) = m ijk V ( ijk ) = m ijk (x i x i 1 )(y j y j 1 )(z k z k 1 ) M ijk V ( ijk ) = M ijk (x i x i 1 )(y j y j 1 )(z k z k 1 ) donde m ijk = inf {f(x, y, z) : (x, y, z) ijk } y M ijk = sup {f(x, y, z) : (x, y, z) ijk } L sum de iemnn de f socid P y {(ξ ijk, η ijk, χ ijk ) ijk : 1 i n, 1 j m, 1 k p}

2 Miguel eyes, pto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 2 es S (f, P, {(ξ ijk, η ijk, χ ijk )}) = = 7.4 Propieddes f(ξ ijk, η ijk, χ ijk ) V ( ijk ) f(ξ ijk, η ijk, χ ijk )(x i x i 1 )(y j y j 1 )(z k z k 1 ) Sen = [, b] [c, d] [e, f], P, P P() y f : un función cotd. Se tienen ls siguientes propieddes: 1. Pr culesquier (ξ ijk, η ijk, χ ijk ) ijk P, 1 i n, 1 j m y 1 k p, se tiene que s (f, P ) S (f, P, {(ξ ijk, η ijk, χ ijk )}) S (f, P ) 2. Si P P, entonces s (f, P ) s ( f, P ) S ( f, P ) S (f, P ) 3. Si m y M son, respectivmente, el infimo y el supremo de f en, se tiene que 7.5 Integrl triple de iemnn m V () s (f, P ) S (f, P ) M V () Sen = [, b] [c, d] [e, f] y f : un función cotd. Se definen ls integrles inferior y superior de iemnn de f sobre como = sup {s(f, P ) : P P()} = inf {S(f, P ) : P P()} Es clro, de ls propieddes nteriores, que y cundo mbs coinciden se dice que f es integrble iemnn sobre, definiéndose l integrl como el vlor común que se representrá por En cso contrrio se dice que f no es integrble iemnn sobre. Se representrá por () l fmili de tods ls funciones que son integrbles iemnn sobre.

3 Miguel eyes, pto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM Teorem de crcterizción de l integrbilidd iemnn Sen = [, b] [c, d] [e, f] y f : un función cotd. Son equivlentes: 1. f es integrble iemnn sobre. 2. Pr cd ε > 0 existe P ε P() tl que S(f, P ε ) s(f, P ε ) < ε. 3. Existe I tl que pr cd ε > 0 existe P ε P() verificndo que S (f, P ε, {(ξ ijk, η ijk, χ ijk )}) I < ε pr culquier sum de iemnn socid P ε. 7.7 Propieddes Sen = [, b] [c, d] [e, f] y f, g : funciones integrbles iemnn. 1. Pr culesquier α, β se tiene que [αf(x, y, z) + βg(x, y, z)] dx dy dz = α +β g(x, y, z) dx dy dz 2. Si m f(x, y, z) M en culquier punto (x, y, z), entonces m V () M V () 3. Si f(x, y, z) g(x, y, z), pr todo (x, y, z), entonces g(x, y, z) dx dy dz 4. L función vlor bsoluto de f, f, es tmbién integrble iemnn y f(x, y, z) dx dy dz 7.8 Teorem de Fubini Sen = [, b] [c, d] [e, f] y f : un función cotd e integrble sobre. Supongmos que pr cd x [, b] existe l integrl J(x) = f(x, y, z) dy dz donde 1 = [c, d] [e, f] 1 Entonces tmbién existe l integrl de J(x) sobre [, b] y se cumple que b b = J(x) dx = f(x, y, z) dy dz dx 1

4 Miguel eyes, pto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM Notción Se suele representr b 1 f(x, y, z) dy dz dx = b dx 1 f(x, y, z) dy dz entendiendo est últim expresión como que en primer lugr hy que hcer l integrl doble de f, respecto de y y z, sobre 1, y su resultdo integrrlo, respecto de x, entre y b Observciones Si plicmos el teorem de Fubini bidimensionl en l integrl sobre 1 se obtiene: = b dx d c f dy f(x, y, z) dz = e b f dx dz e Otrs posibles forms de plicr el teorem (invirtiendo vribles) serín: = = d c f e dy d c f(x, y, z) dy f(x, y, z) dx dy donde 3 = [, b] [c, d] 2 f(x, y, z) dx dz donde 2 = [, b] [e, f] dz 3 pudiendo plicr después, en mbos csos, el teorem de Fubini bidimensionl Integrbilidd de ls funciones continus Si f : = [, b] [c, d] [e, f] es continu, entonces f es integrble iemnn sobre Contenido nulo Se A 3 un conjunto cotdo. Se dice que A tiene contenido nulo si pr cd ε > 0 existe un fmili finit de rectángulos, { i } N i=1, tles que N A i=1 i y N V ( i ) < ε i= Ejemplos 1. Culquier conjunto plno de contenido nulo tiene contenido nulo en Un conjunto finito de puntos, un sucesion convergente de puntos y un segmento de rect tienen contenido nulo.

5 Miguel eyes, pto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 5 3. El grfo de un función continu, definid sobre un conjunto compcto del plno, tiene contenido nulo. 4. Todo subconjunto de un conjunto de contenido nulo tiene contenido nulo. 5. L unión finit de conjuntos de contenido nulo tiene contenido nulo Teorem Se f : = [, b] [c, d] [e, f] cotd y se f () 3 el conjunto de discontinuiddes de f en. Entonces, si f () tiene contenido nulo, l función f es integrble iemnn sobre Integrl de iemnn sobre otros recintos cotdos Se 3 cotdo y f : un función cotd. Se define = donde = [, b] [c, d] [e, f] es culquier rectángulo que contiene y { f(x, y, z), si (x, y, z) f(x, y, z) = 0, si (x, y, z) \ 7.16 Propieddes L integrl de iemnn sobre recintos cotdos tiene ls misms propieddes de l integrl sobre rectángulos, y descrits en (7.7), y demás = + A B siempre que A B teng contenido nulo Integrl de iemnn sobre recintos especiles 1. Un recinto 3 se llm x-seccionble si es de l form A = {(x, y, z) : x b, (y, z) S x } donde S x, x b, es un recinto cotdo de 2 (en el plno Y Z) sobre el que se sbe clculr un integrl doble. En este cso, plicndo el teorem de Fubini, se lleg que b = dx f(x, y, z) dy dz Pr recintos seccionbles respecto de los ejes y o z se procede de form nálog. S x B

6 Miguel eyes, pto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 6 2. Un recinto 3 se llm xy-proyectble si es de l form = {(x, y, z) : (x, y) S, ϕ 1 (x, y) z ϕ 2 (x, y)} donde ϕ 1, ϕ 2 : S son funciones continus con ϕ 1 (x, y) ϕ 2 (x, y), pr todo (x, y) S, y S 2 es un recinto cotdo sobre el que no es difícil clculr integrles dobles. Aplicndo el teorem de Fubini, si f :, se tiene que ϕ2 (x,y) = dx dy f(x, y, z) dz S ϕ 1 (x,y) Pr recintos xz-proyectbles e yz-proyectbles se procede de form nálog Aplicciones 1. Cálculo de volúmenes: Si 3, su volumen es V () = dx dy dz 2. Cálculo de mss y centro de grvedd: Si 3 represent un sólido tridimensionl con densidd puntul ρ(x, y, z) 0, pr cd (x, y, z), entonces l ms de viene dd por m() = ρ(x, y, z) dx dy dz y el centro de grvedd de, (x g, y g, z g ), viene ddo por x g = 1 xρ(x, y, z) dx dy dz, y g = 1 m() m() z g = 1 m() 7.19 Teorem del Cmbio de Vrible zρ(x, y, z) dx dy dz yρ(x, y, z) dx dy dz Se 3 compcto y Ω 3 un conjunto bierto con Ω. Se ϕ : Ω 3, ϕ(u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)), con derivds prciles continus, inyectiv en y tl que ϕ 1 : ϕ() tiene derivds prciles continus. Entonces, si f (ϕ()) l función (f ϕ) Jϕ () y f(x, y) dx dy dz = f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) Jϕ(u, v, w) du dv dw ϕ() donde Jϕ es el Jcobino de ϕ, es decir Jϕ(u, v, w) = (x, y, z) (u, v, w) = x u y u z u x v y v z v x w y w z w

7 Miguel eyes, pto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM Algunos cmbios de vrible usules 1. Coordends cilíndrics: Consiste en plicr coordends polres en uno de los plnos (por ejemplo XY ) y mntener intct l otr. Es decir con 0 ρ < y 0 θ < 2π. x = ρ cos θ y = ρ sen θ z = z ; Jϕ = ρ 2. Coordends esférics: x = ρ cos θ sen ψ y = ρ sen θ sen ψ z = ρ cos ψ ; Jϕ = ρ 2 sen ψ con 0 ρ <, 0 θ < 2π y 0 ψ π.

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