Colegio Nuestra Señora de Loreto TRIGONOMETRÍA 4º E.S.O.

Transcripción

1 TRIGONOMETRÍ 4º E.S.O. Frniso Suárez Bluen

2 TRIGONOMETRÍ PREVIOS. Teorem de Tles (Semejnz) Si ortmos dos rets por un serie de rets prlels, los segmentos determindos en un de ells son proporionles los segmentos orrespondientes determindos en l otr. Es deir: B B B ' B' B' ' ' ' B Por lo tnto, usndo este teorem en triángulos tenemos que: B B k B ' ' B ' '. Áre de Triángulos B B seiltur ) T ) spsemiperímetro Fórmul de Herón: T ( )( )( ) spi sp sp sp.triángulos retángulos ˆB ˆ + Bˆ + ˆ 80º B ˆ + ˆ 90º ˆ 90º se llm ipotenus, se llmn tetos  Ĉ Págin

3 4. Teorem de Pitágors Ddo un triángulo retángulo omo el de l figur nterior, se verifi que: + Demostrión Veremos un demostrión geométri de este teorem. Pr ello podemos oservr l figur siguiente: Se tiene que el áre totl de l figur es (+) + + demás el áre del udrdo interior de ldo es Y l de los utro triángulos que se formn es se ltur 4 T 4 Por tnto se verifi que ( ) onseuenis: n m Teorem de l ltur: Teorem del teto: min im in Demostrión Oservndo l figur nterior, podemos oservr dos triángulos retángulos, que l plir el teorem de Pitágors en mos otenemos que: + sumndo m n m + n + m + n + mn m + n + min m+ n ( m+ n) m + n + mn Págin

4 y en el Teorem del teto: + + ( + ) m m mn m m n m n + n + mn n ( n+ m) n 6. Mediión de ángulos L mediión de ángulos puede relizrse en tres sistems diferentes: sexgesiml, entesiml y en rdines: ) Sistem Sexgesiml (DEG): Este sistem es el más onoido, y en él, un ángulo reto tiene 90. d grdo se divide en 60 minutos y d minuto en 60 segundos. ) Sistem entesiml (GRD): Esl de medid de ángulos, en l que el ángulo reto se divide en 00 prtes igules llmds grdos entesimles; y su vez, el grdo se divide en otrs 00 prtes llmds minutos, y el minuto en otrs 00, llmds segundos. ) Rdin (RD): Unidd de medid de ángulos que equivle quel que, on el vértie en el entro de un irunfereni, sostiene un ro de longitud igul l rdio. rdin (prox ) Longitud irunfereni πr Luego l irunfereni reorre π rdines, por lo tnto: 60º π rdines r r DEG RD GRD 60º π 400º 80º π 00º 90º π/ 00º Págin

5 RZONES TRIGONOMÉTRIS Definiión Se definen ls rzones trigonométris seno, oseno, tngente, osente, sente y otngente del ángulo omo sigue: teto opuesto ipotenus teto ontiguo os ipotenus teto opuesto tg teto ontiguo ipotenus ose teto opuesto ipotenus se teto ontiguo teto ontiguo otg teto opuesto β Propieddes Demostrión: tg os i. tg os i os. otg 4. otg tg. ose 5. se os demás deemos tener en uent por l definiión del seno y del oseno que mos, l otenerse omo división de un teto y l ipotenus, y puesto que l ipotenus de un triángulo retángulo es siempre el ldo myor, se tendrá entones que ms rzones trigonométris deen ser menores que. Teorem Fundmentl de l + os Demostrión + + os + + Por el teorem de Pitágors Págin 4

6 onseuenis. Tenemos que sen + os, entones omo tenemos dos ntiddes positivs (l estr elevds l udrdo) que se sumn y son igules, esto quiere deir que ms ntiddes deen ser menores o igules, es deir: sen sen os os os. L euión de un irunfereni de entro (,) y rdio r es (x-) + (y-) r x os omo tenemos que sen + os, podemos tomr y y entones otenemos l euión x + y que es l euión de un irunfereni de entro el punto (0,0) y de rdio. Luego todos los puntos de est irunfereni son soluión de di euión. Importnte En l definiión que emos eo de ls funiones trigonométris emos estdo muy restringidos, pues todos los ángulos que podemos utilizr son menores de 90º. prtir de l oservión nterior podemos mplir ests definiiones ángulos myores de 90º, de l siguiente form: IIº UDRNTE (+, -, -) 90º Iº UDRNTE (+, +, +) (sen, os, tg) sen β β 80º - os β 0º 60º os IIIº UDRNTE (-, -, +) 70º - IVº UDRNTE (-, +, -) Págin 5

7 Rzones Trigonométris de lgunos ángulos muy utilizdos 0º 45º 60º os tg ose se otg 45º 0º 60º 0º º º º Prolems de Dole Oservión β tg x tgβ x + y x y Págin 6

8 Reduión de ángulos l primer udrnte IIº UDRNTE 90º Iº UDRNTE 80º - 0º 60º os IIIº UDRNTE 70º - IVº UDRNTE. Ángulos Suplementrios ( +β80º): β 80º - sen β sen (80º - ) os β os (80º - ) - os. Ángulos que difieren en π : β 80º +. Ángulos opuestos: β 60º - - sen (80º + ) - os (80º + ) - os sen (- ) - os (- ) os 4.- Ángulos omplementrios ( +β90º): β π/ - sen β sen (π/ - ) os os β os (π/ - ) Págin 7

9 5.- Ángulos que difieren en π/ : β π/+ 6.- β 70º - π/ β 70º + π/ + sen (π/ + ) os os (π/ + ) - sen (π/ - ) - os os (π/ - ) - sen (π/ + ) - os os (π/ + ) IIº UDRNTE 90º Iº UDRNTE º - 0º 60º os 6 7 IIIº UDRNTE 70º - IVº UDRNTE Págin 8

10 MPLIIÓN: Triángulos no retángulos Ddo ulquier triángulo se verifin los siguientes resultdos: Teorem del seno te. R sen senb sen donde R es el rdio de l irunfereni irunsrit. B Demostrión sen sen sen sen B ( I) senb sen senb senb De form nálog, tomndo l ltur, se tiene que: sen sen sen sen B ( II) senb sen senb senb Luego on ( I ) y ( II ) se tiene lo que queremos. Flt ver que es onstnte e igul R donde R es el rdio de l irunfereni irunsrit. Por medio del diujo y por lo demostrdo nteriormente podemos ver que: R sen ' sen ' Pero en un irunfereni se verifi que 90º Luego sen demás por semejnz de triángulos se tiene que. Por tnto se tiene que: B R sen R Págin 9

11 Teorem del oseno + - os Demostrión Por el teorem de Pitágors se tiene que: + ( x) x x/ + + x/ x + x + os x os x -x B Oservión: nálogmente pueden demostrrse ls euiones: + osb + os Págin 0