Guía I: Radiactividad e Interacción de las Radiaciones con la Materia

Transcripción

1 Guía I: Radiactividad e Interacción de las Radiaciones con la Materia Cátedra de Medicina Nuclear (93) / Radioterapia y Radiodiagnóstico (08) Facultad de Ingeniería, UNER 1. Introducción Teórica 1.1. Radiactividad Ley de decaimiento En la naturaleza hay isótopos inestables y metaestables que pueden emitir espontáneamente partículas o fotones modicando la naturaleza o el estado de los núcleos. Este proceso de emisión se llama desintegración radiactiva y el fenómeno, radiactividad. La desintegración radiactiva responde a leyes estadísticas y es independiente de las condiciones externas. En una muestra de radioisótopo se producirán desintegraciones radiactivas según una tasa característica. Se dene la constante de desintegración λ, como la probabilidad de que un núcleo se desintegre en la unidad de tiempo. Se expresa con unidades de segundos 1, minutos 1, etc. λ identica unívocamente a cada radionucleido. En una muestra de material con N 0 núcleos radiactivos en el instante t 0, se producirán desintegraciones de modo que en un instante posterior t, la cantidad de núcleos sin decaer estará dada por la expresión: N(t) = N 0 e λ (t t0) (1) Esta expresión se conoce como Ley General de la Desintegración Radiactiva. Permite conocer el número de núcleos radiactivos de una muestra presentes en el instante t, conociendo cuántos había en algún instante to. Su forma sigue la Ley de Poisson para eventos estocásticos. El período es una magnitud asociada a la tasa de desintegración de una sustancia radiactiva. También es llamada indistintamente semiperíodo de desintegración o período de semidesintegración. El período T 1 es el tiempo que debe transcurrir para que el número de núcleos inestables en una muestra se reduzca a la mitad de su valor inicial: N(T 1 ) = N 0 () Si se reemplaza () en (1) se tiene la relación entre T 1 y λ: T 1 = ln λ El período se mide en unidades de tiempo. Su valor varía desde seg hasta años. En una muestra con material radiactivo se desintegran dn núcleos en el tiempo. El número de núcleos que se desintegran en la unidad de tiempo es dn. Esta tasa de desintegración se denomina actividad: A. (3) A = dn (4) 1

2 A partir de la expresión anterior es posible expresar la actividad en función del tiempo: A = A 0 e λ (t t0) (5) La actividad sigue también una ley exponencial. Se expresa en Becquerel (1[Bq] = 1[ dec seg ]) o en Curie (1[Ci] = 3, [Bq]). Se denomina vida media, τ, al tiempo promedio en el que se desintegra cada núcleo de una muestra radiactiva, a partir de un instante t 0 = 0. Puede demostrarse que la vida media es el inverso de la constante de desintegración, 1 τ (ver problema ). La actividad especíca de una muestra de sustancia radiactiva es la actividad de dicha muestra por unidad de masa: A e = A m (6) 1.. Transformaciones radiactivas sucesivas En la práctica habitual de radiodiagnóstico es deseable que los radioisótopos utilizados tengan semiperíodo (T 1 ) corto (horas) para que la práctica sea ambulatoria y el paciente no permanezca emitiendo radiación al nalizar el estudio. Esto implica el transporte de mayores dosis a grandes distancias. Una opción es utilizar radioisótopos de decaimiento sucesivo en generadores por elusión (estudiaremos el caso particular de radioisótopos madre con período mayor al del radioisótopo hija). En estos generadores, se deposita una cantidad de radioisótopo que decae a su vez en otro radioisótopo también inestable, que es el que se utiliza nalmente para realizar los estudios. En la actualidad, el más utilizado es el generador de Molibdeno Tecnecio. Figura 1: Generador de Tecnecio Guía 1: Radiactividad e Interacción de las Radiaciones Ionizantes con la Materia

3 En muchos casos, al desintegrarse una sustancia radiactiva la especie nuclear que se produce es también radiactiva. Se llama sustancia madre a la primera, sustancia hija a la segunda. A su vez, la hija también puede generar una sustancia radiactiva, y así sucesivamente, formándose una cadena: T X 1 T 1 T X 3 T n T n 1 X3... Xn 1 Xn (7) En la cadena representada, la madre tiene un período T 1 y la hija un período T, con T 1 > T. La cadena naliza cuando se origina un nucleido estable, X n. La situación de la madre es de desintegración simple, por lo que verica la ley de desintegración radiactiva, lo que se puede expresar como: dn 1 = λ 1 N 1, de donde se obtiene N 1 (t) = N 1,0 e λ1t (8) Para X la evolución es más compleja. Por una parte, cada vez que se desintegra un núcleo de X 1, aparece un núcleo de X, es decir que X aumenta a la misma tasa que se desintegra X 1 (λ 1 N 1 ). Por otra parte, X es radiactiva y se desintegra con un ritmo dado por su propia constante de desintegración ( λ N ). Por lo tanto, la tasa de generación de la sustancia hija será el balance entre lo que se crea y lo que se desintegra: dn = λ 1 N 1 λ N (9) El sistema de ecuaciones diferenciales resultantes queda así: { dn1 = λ 1 N 1 N 1 (0) = N 1,0 dn = +λ 1 N 1 λ N N (0) = 0 Resolviendo el sistema se obtiene: N 1 (t) = N 1,0 e λ1t (10) λ 1 N (t) = N 1,0 (e λ1t e λt) = λ [ 1 N 1 (t) 1 e (λ1 λ) t] (11) λ λ 1 λ λ 1 La actividad se halla derivando ambas ecuaciones: A 1 (t) = N 1,0 λ 1 e λ1t (1) A (t) = λ 1 λ λ 1 N 1,0 ( λ 1 e λ1t + λ e λt) (13) 1.3. Interacción de la radiación ionizante con la materia Cuando la radiación incide sobre un material blanco se producen dos efectos: ionización y excitación. En el caso de la radiación ionizante, predomina el fenómeno de ionización. La forma de interacción de la radiación con la materia depende de las características de la radiación incidente (carga, masa, energía) y del material blanco (densidad, número atómico efectivo). El aspecto principal de la interacción está dado por la carga de la radiación: si las partículas están cargadas interviene la fuerza electrostática, lo que aumenta la probabilidad de interacción dada la atracción o repulsión de las partículas incidentes con núcleos o electrones del material blanco. En el caso de partículas no cargadas (fotones o neutrones), la probabilidad de interacción sólo dependerá del choque con núcleos o electrones del material blanco. Otros factores que inuyen en la interacción son la energía, la masa y el tamaño de las partículas que componen el haz incidente. Guía 1: Radiactividad e Interacción de las Radiaciones Ionizantes con la Materia 3

4 Interacción de partículas cargadas Al incidir en el material blanco, las partículas cargadas pierden parte de su energía cinética en cada proceso de interacción, desviándose de su trayectoria. La mínima distancia necesaria para detener completamente el haz de radiación se conoce como alcance. Las partículas cargadas tienen un alcance denido. El número de interacciones necesario para detener las partículas depende, para un material blanco dado, de la energía de la radiación incidente. La interacción de partículas cargadas con la materia tiene lugar a través de colisiones elásticas o inelásticas con núcleos atómicos, con electrones orbitales o con cargas libres. Se dice que se produce una colisión elástica cuando la energía cinética total del sistema se mantiene constante. En cambio, una colisión inelástica implica que esa energía no se conserva, y se transforma en algún otro tipo de energía. Cuando una partícula cargada atraviesa un medio se da, con distintas probabilidades, alguno de estos procesos. En todos ellos la partícula pierde energía cinética con cada choque y, al desacelerarse, emite radiación de frenado o Bremsstrahlung, de naturaleza electromagnética. Al llegar a la velocidad térmica, la partícula es absorbida por el material. De los mencionados anteriormente, el proceso principal es la interacción con los electrones atómicos. Cuando la energía necesaria para excitar estos electrones o para extraerlos del átomo es pequeña en relación a la energía de la partícula, la colisión se considera elástica Interacción de partículas no cargadas: radiación electromagnética. Las radiaciones electromagnéticas de interés en Medicina Nuclear son los fotones γ y X. Existen tres mecanismos de absorción de la radiación electromagnética por la materia: 1. Absorción o efecto fotoeléctrico. Dispersión Compton 3. Producción de pares La ocurrencia de uno u otro proceso depende, en principio, de la energía del fotón. Cada uno de los tres procesos predomina en un rango de energía. La interacción se puede caracterizar con un coeciente de absorción µ. La interacción de un fotón con la materia es única (fenómeno todo o nada). Las características principales de los fotones son: Energía: E = hν = E = h c λ (14) Masa: m = E c (15) Masa en reposo: m 0 = 0 (16) Impulso lineal: p = hν c (17) Un haz de radiación electromagnética puede ser descrito por las siguientes cantidades: Flujo o uencia de fotones: número de fotones que atraviesan una unidad de área. φ = dn da (18) Guía 1: Radiactividad e Interacción de las Radiaciones Ionizantes con la Materia 4

5 Flujo o uencia de energía: cantidad de energía que atraviesa una unidad de área. Tasa de uencia de fotones: ujo de fotones en la unidad de tiempo ψ = de = ψ = φhν (19) da φ = dφ (0) Intensidad: ujo de energía en la unidad de tiempo. I = ψ (1) La absorción de la radiación electromagnética tiene la siguiente forma: I(x) = I 0 e µx () Donde I es la intensidad, I 0 la intensidad en el vacío (sin medio absorbente) y µ es el coeciente de absorción o atenuación lineal. La radiación electromagnética no tiene un alcance denido. Los fotones que componen el haz son absorbidos por los átomos en un único evento, y van desapareciendo a lo largo de la trayectoria del haz en la materia o son eliminados por dispersión. Se denomina semiespesor o capa hemirreductora (HVL: Half Value Layer) al ancho de absorbente necesario para reducir la intensidad del haz a la mitad. HVL = x 1 HVL = ln µ (3) (4) En la gura se esquematiza el poder de penetración de radiación α +, β y γ.. Problemas 1. Se obtienen las siguientes medidas de actividad (suponga la eciencia del detector 100 %): Tiempo (hs) Actividad (cpm) a) ¾Cuál es el período de semidesintegración (T 1 ), la vida media (τ) y la constante de desintegración (λ)? b) ¾Cuál es la actividad extrapolada a tiempo cero (en cpm, Ci, Bq)? c) ¾En cuánto tiempo la actividad decaerá a 3, Bq?. Se tiene una especie radiactiva con constante de decaimiento λ. Cada uno de los núcleos inestables tiene la probabilidad relativa de desintegrarse en los próximos t segundos de la siguiente forma: N/N = λ t. La solución de la ecuación da como resultado N(t) = N 0 e λt, con constante de tiempo τ = 1 λ. Demuestre que el tiempo promedio en que puede sobrevivir un núcleo sin desintegrarse es τ (vida media). 3. Se tiene una muestra de 14 C (T 1 = 5570 años) con una actividad de Bq. ¾Cuál es la masa de 14 C presente en la muestra? 4. ¾Cuál es la masa de una fuente de 131 I (T 1 = 8,1 días) con una actividad de 1 µci? Guía 1: Radiactividad e Interacción de las Radiaciones Ionizantes con la Materia 5

6 Medicina Nuclear (93) / Radioterapia y Radiodiagnóstico (08) Figura : Coe ciente de atenuación lineal en función de la energía y del material blanco para Uranio, Tungsteno, Plomo Guía 1: Radiactividad e Interacción de las Radiaciones Ionizantes con la Materia 6

7 Figura 3: Coeciente de atenuación lineal en función de la energía y del material blanco para Estaño, Cobre, Hierro, Aluminio, Concreto Guía 1: Radiactividad e Interacción de las Radiaciones Ionizantes con la Materia 7

8 Figura 4: Coeciente de atenuación lineal para algunos nucleidos Figura 5: Características de algunos radionucleidos utilizados en Medicina Nuclear (i) Guía 1: Radiactividad e Interacción de las Radiaciones Ionizantes con la Materia 8

9 Figura 6: Características de algunos radionucleidos utilizados en Medicina Nuclear (ii) 5. Una muestra de 3 P (T 1 = 14,3 días) se deja caer antes de desecharla. (a) Si inicialmente tiene 1 µci, ¾en cuánto tiempo decae al 1 %? (b) Si se desecha luego que decae a 0,1 µci, ¾cuánto tiempo hay que almacenarlo? 6. Una aguja de 60 Co de 60mCi se va a utilizar para un implante intersticial en un tumor. ¾Qué frecuencia de conteo en cpm indicará un contador que se mantenga cerca de la aguja, si debido a la geometría sólo detecta el 15 % de las partículas emitidas? 7. En un servicio de Medicina Nuclear se recibió un generador por elusión de 99m T c(t 1 = 6,03hs) con una actividad de 99 Mo(T 1 = 66,7hs) de 100 mci el día lunes a las 10:00 hs. El día jueves a las 10:00 hs, se extrae todo el tecnecio para realizar los estudios ¾Cuál será la actividad de 99m T c que podrá obtenerse del generador a las 13:00 hs del mismo día? 8. Una partícula α + se mueve a 10 9 cm/s. a) Calcule su energía cinética en MeV. b) Compare con su energía en reposo. c) Repita el cálculo para una partícula β de la misma velocidad. Saque conclusiones. 9. Un haz de partículas β de 1 MeV de energía máxima incide en una plancha de Al. El coeciente de atenuación másico es de 0, 0[cm /mg] para esa energía. El rango másico (o alcance másico) del Al es de 400[mg/cm ]. a) ¾Qué espesor (en mm) de Al detendrá totalmente las partículas? b) ¾Qué espesor (en mm) de Al atenuará a la mitad la intensidad del haz? 10. Un emisor de radiación α + de Bq se encuentra en un recipiente de Pb. Las partículas α + tienen una energía de,5 MeV y todas quedan detenidas en el Pb ¾Con qué tasa se produce calor en el Pb? 11. El 60 Co produce dos fotones por cada desintegración. a) ¾Cuántos fotones emite por segundo una fuente de 10 Ci? b) ¾Cuál es la tasa de ujo de energía a una distancia de 1[m] de la fuente en aire (µ másico = 0,0569 cm kg g, ρ = 1,05 m ) y en agua? Suponga una fuente puntual de radiación. 3 c) Cuál es la intensidad del haz, considerando ambas energías de emisión del 60 Co? 1. Un fotón de 10 kev interactúa con un absorbente por efecto Compton. Se emite un fotón dispersado a 90 de la dirección incidente. Determine la longitud de onda del fotón incidente, la energía y longitud de onda del fotón dispersado y la energía del electrón Compton. Repita los cálculos para un fotón incidente de 10 MeV. La constante de Planck es 4, [ev s] o 6, [J s] Guía 1: Radiactividad e Interacción de las Radiaciones Ionizantes con la Materia 9

10 13. Un fotón de 1.5 MeV interactúa con un absorbente por creación de pares. ¾Cuál es la energía cinética de cada una de las partículas creadas? Si uno de los dos fotones de aniquilación se escapa del absorbente, cuánta energía se absorbió en el absorbente si se considera que el fotón absorbido interaccionó por efecto fotoeléctrico? 14. Un haz de fotones monoenergéticos de,76[mev] ( 4 Na) incide sobre una plancha de Pb (µ = 0, 48 [ 1 cm] ). Calcular el espesor de Pb que reduce la intensidad del haz a la mitad. 15. Un haz de fotones provenientes de una fuente de Cs137 incide sobre un absorbente de Al. ¾Qué espesor de Al absorberá el 99 % de la potencia incidente? ¾Qué energía tienen los fotones que atraviesan el absorbente? 16. Una partícula β de 500 kev de energía cinética incide en un blanco de Al de espesor virtualmente innito a los efectos del problema ¾Cuánta energía se transferirá como máximo al absorbente? ¾Y si se trata de una partícula β +? 17. Para un haz de radiación heterogéneo la capa hemirreductora (HVL) es de 8.1 mm de Cu. ¾Cuál es la energía equivalente? ¾Cuánto vale el HVL si el material es Pb? 18. Se desea utilizar 51 Cr (T 1 = días) para un estudio de bazo. El 51 Cr emite fotones de 30.1 kev. Se tiene una muestra de cromo de 300 mci de actividad, el 10 de julio a las 9:00 hs. Si se utiliza un detector de centelleo de cristal de ioduro de sodio, INa(Tl), para medir la actividad disponible el día 17 a las 10:00, ¾cuál será la intensidad del haz de radiación que llegará a la ventana del detector si se coloca a 30 cm de la fuente? ¾cuál será la intensidad que llegará a 3 cm de profundidad del cristal? Suponga a la fuente puntual. 19. Se tienen dos fuentes para braquiterapia, una de 198 Au y otra de 19 Ir. Se desea estudiar el daño potencial de los fotones emitidos por las fuentes y absorbidos por el tejido circundante al implante. Es necesario comparar de alguna manera la cantidad de fotones absorbidos en cada caso. Para ello, se decide realizar en primer término una estimación, determinando el HVL de cada fuente (capa hemirreductora) en tejido y, en función de los valores obtenidos, sacar conclusiones. a) Justique la elección del HVL como indicador de la absorción de fotones. Calcule su valor para ambas fuentes. b) ¾Qué radionucleido utilizaría, en función de los valores que obtuvo en el punto anterior? Explique. Guía 1: Radiactividad e Interacción de las Radiaciones Ionizantes con la Materia 10