SUCESIONES Y SERIES Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica. 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25,...

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "SUCESIONES Y SERIES Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica. 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25,..."

Transcripción

1 SUCESIONES Y SERIES. Ua sucesió es u cojuto de úmeros ordeados bajo cierta regla específica. E muchos problemas cotidiaos se preseta sucesioes, como por ejemplo los días del mes, ya que se trata del cojuto {,,, 4, 5,..., 9, 0}; o bie cuado por algua razó se tiee solamete al cojuto de los úmeros pares {, 4, 6, 8, 0,... } ; o quizás los oes {,, 5, 7, 9,... }, etc. De cualquier forma, existe siempre ua regla bajo la cual se forma el siguiete elemeto de la sucesió a partir del primero. E el caso del cojuto de los pares y tambié de los oes, la regla es sumar al último úmero formado. La primera parte del estudio de las sucesioes cosistirá e descubrir por simple ituició cuál es dicha regla. Ejemplo : Ivestigar la regla de formació de la siguiete sucesió: 7, 0,, 6, 9,, 5,... Solució: Puede verse fácilmete que cada úmero se forma sumado al que le precede, por lo que esa es la regla. Ejemplo : Ivestigar la regla de formació de la siguiete sucesió:, 4, 9, 6, 5, 6, 49,... Solució: E este ejemplo la sucesió está formada por los cuadrados de cada úmero atural.

2 Ejemplo : Ivestigar la regla de formació de la siguiete sucesió: 8, 4,,,,,, Solució: Aquí cada úmero correspode a la mitad del que le atecede. Esa es la regla. Ejemplo 4: Ivestigar la regla de formació de la siguiete sucesió: 4 4 5,,,,, Solució: E este caso cada umerador correspode a la sucesió de los úmeros aturales mietras que los deomiadores so los cuadrados de,, 4, 5, 6, etc.. ELEMENTO GENERAL DE LA SUCESIÓN El siguiete paso e el estudio de las sucesioes es ecotrar ua maera de escribir matemáticamete la regla de formació de ua sucesió determiada, ua vez que por ituició, como se hizo e el tema aterior, se descubrió ésta. A dicha fórmula se le llama elemeto geeral de la sucesió, ya que a partir de él se puede formar uo por uo todos los demás elemetos. El elemeto geeral de la sucesió debe ser ua fució de, e dode solamete puede tomar valores eteros positivos, de tal maera que cuado se le dé el valor de, al sustituir e la fórmula se obtega el primer elemeto; que cuado, al sustituir e la fórmula se obtega el segudo elemeto; que cuado, al sustituir e la fórmula se obtega el tercer elemeto; y así sucesivamete. Para obteer el elemeto geeral cuado la regla de formació de la sucesió es sumar ua catidad fija, basta seguir estos dos pasos: a) Poer como coeficiete de a esa catidad que se suma; b) agregar u segudo térmio idepediete de, llamado desplazamieto, que es la catidad que hace falta sumar al primer térmio de la fórmula para que cuado se obtega el primer elemeto.

3 Ejemplo : Deducir la fórmula del elemeto geeral de la siguiete sucesió: 5, 7, 9,,, 5,... Solució: Se trata de los úmero oes a partir del 5, lo que sigifica que la regla de formació de esta sucesió es sumar. Por lo tato, el primer térmio de la fórmula es. Para ecotrar el segudo térmio de la fórmula buscada, o sea el desplazamieto, basta hacer e, lo que da () y comparar co el primer elemeto de la sucesió dada que es el 5. La coclusió es que hay que sumar al resultado obteido e () para llegar al 5 (primer elemeto), el cual es el desplazamieto. Por lo tato, el elemeto geeral es a + COMPROBACIÓN: para se obtiee que es el a () + 5 primer elemeto a () + 7 segudo elemeto a () + 9 tercer elemeto 4 a 4 (4) + cuarto elemeto 5 a 5 (5) + quito elemeto Ejemplo : Deducir la fórmula del elemeto geeral de la siguiete sucesió: 9,, 5, 8,, 4... Solució: La regla de formació de esta sucesió es sumar. Por lo tato, el primer térmio de la fórmula es. Para ecotrar el segudo térmio de esta fórmula, o sea el desplazamieto, basta hacer e lo que da () y comparar co el primer elemeto de la sucesió dada que es el 9. La coclusió es que hay que sumar 6 al resultado obteido e () para llegar al 9 (primer elemeto). COMPROBACIÓN: Por lo tato, el elemeto geeral es a + 6 para se obtiee que es el a () primer elemeto a () + 6 segudo elemeto

4 a () tercer elemeto 4 a 4 (4) cuarto elemeto 5 a 5 (5) + 6 quito elemeto Ejemplo : Deducir la fórmula del elemeto geeral de la siguiete sucesió: -,, 5, 9,, 7... Solució: La regla de formació de esta sucesió es sumar 4. Por lo tato, el primer térmio de la fórmula es 4. Para ecotrar el segudo térmio de esta fórmula, o sea el desplazamieto, basta hacer e 4, lo que da 4() 4 y comparar co el primer elemeto de la sucesió dada que es el -. La coclusió es que hay que restar - 7 al resultado obteido e 4() para llegar al - (primer elemeto). Por lo tato, el elemeto geeral es a 4 7 COMPROBACIÓN: para se obtiee que es el a 4() primer elemeto a 4() - 7 segudo elemeto a 4() tercer elemeto 4 a 4 4(4) cuarto elemeto 5 a 5 4(5) - 7 quito elemeto Ejemplo 4: Deducir la fórmula del elemeto geeral de la siguiete sucesió: ,,,,, Solució: La regla de formació del umerador de esta sucesió es sumar 0. Por lo tato, el primer térmio de la fórmula es 0. Para ecotrar el desplazamieto, o sea el segudo térmio de la fórmula e el umerador, basta sustituir e 0, lo que resulta 0() 0 y comparar co el umerador del primer elemeto de la sucesió dada que es el 8. La coclusió es que hay que restar al resultado obteido e 0() para llegar al 8 (primer elemeto).

5 Por lo tato, el elemeto geeral del umerador es 0 -. Por su parte, el deomiador está formado por los úmeros aturales a partir del 5, que equivale a sumar. El primer térmio del deomiador es etoces. Para ecotrar el desplazamieto, o sea el segudo térmio de la fórmula e el deomiador, basta sustituir e, lo que resulta y comparar co el deomiador del primer elemeto de la sucesió dada que es el 5. La coclusió es que hay que sumar 4 al resultado obteido. Por lo tato, el elemeto geeral del deomiador es + 4. De maera que el elemeto geeral de la sucesió dada es a COMPROBACIÓN: para se obtiee que es el a 0() a 0( ) a 0( ) a 4 0( 4) a 5 0( 5) primer elemeto segudo elemeto tercer elemeto cuarto elemeto quito elemeto Ejemplo 5: Deducir la fórmula del elemeto geeral de la siguiete sucesió: ,,,,, Solució: La regla de formació del umerador de esta sucesió so los cuadrados de los úmeros aturales a partir del, o sea existe u desplazamieto de +.

6 Por lo tato, la fórmula del umerador es ( + ). Por su parte, el deomiador está formado por los úmeros oes a partir del 5, que equivale a sumar. El primer térmio del deomiador es etoces. Para ecotrar el desplazamieto, o sea el segudo térmio de la fórmula e el deomiador, basta sustituir e, lo que resulta () y comparar co el deomiador del primer elemeto de la sucesió dada que es el 5. La coclusió es que hay que sumar al resultado obteido. Por lo tato, el elemeto geeral del deomiador es + De maera que el elemeto geeral de la sucesió dada es a ( + ) + COMPROBACIÓN: para se obtiee que es el ( + ) a () primer elemeto ( + ) a ( ) segudo elemeto ( + ) a ( ) tercer elemeto ( 4 + ) 4 a 4 4 ( ) + 6 cuarto elemeto ( 5 + ) 5 a 5 5 ( ) + 49 quito elemeto Ejemplo 6: Deducir la fórmula del elemeto geeral de la siguiete sucesió:,, 4, 8, 6,, 64,...

7 Solució: La regla de formació de esta sucesió es multiplicar por. E casos así e los que e vez de sumar ua catidad fija, se multiplica, el primer térmio está formado por dicha catidad elevada a la potecia y el desplazamieto debe localizarse e el mismo expoete. De maera que, segú la regla aterior, el elemeto geeral sería, pero como cuado se obtiee, se ve que hay u desplazamieto de u elemeto hacia adelate; e otras palabras, es ecesario regresar uo. Por lo tato, la fórmula del elemeto geeral es a -. COMPROBACIÓN: para se obtiee que es el a - 0 primer elemeto a - segudo elemeto a - 4 tercer elemeto 4 a cuarto elemeto 5 a quito elemeto

8 . PROBLEMA INVERSO El problema iverso a lo estudiado e el tema aterior cosiste e que dada la fórmula del elemeto geeral de ua serie, a partir de ella se escriba los primeros k elemetos. Ejemplo : Escribir los primeros cico elemetos de la sucesió: Solució: a + para se obtiee que es el a () + 5 primer elemeto a () + 8 segudo elemeto a () + tercer elemeto 4 a 4 (4) + 4 cuarto elemeto 5 a 5 (5) + 7 quito elemeto Por lo tato, los cico primeros elemetos so: 5, 8,, 4, 7,... Ejemplo : Escribir los primeros seis elemetos de la sucesió: Solució: a 7 para se obtiee que es el ( ) a ( ) a 7 5 primer elemeto 7 segudo elemeto a a a ( ) 7 tercer elemeto 9 ( ) 4 7 cuarto elemeto ( ) 5 7 quito elemeto 5 5 5

9 para se obtiee que es el 6 a ( ) sexto elemeto Por lo tato, los seis primeros elemetos so: 5 5,,,,,, Ejemplo : Escribir los primeros tres elemetos de la sucesió: a Solució: para se obtiee que es el a a a 9 primer elemeto segudo elemeto tercer elemeto Por lo tato, los tres primeros elemetos so: 9,,,... Que tambié se puede escribir así: 0,,,...

10 .4 SERIES Las sucesioes vistas como sucesioes ada más, o sirve realmete para ada, o aporta ada e la resolució de problemas; si acaso su úica utilidad es el ejercicio metal que co ellas se puede realizar, como lo fue e los ejercicios ateriores. Cuado los elemetos de ua sucesió se suma se covierte e series y es allí e dode aparece lo verdaderamete utilizable desde el puto de vista matemático. Se podría decir que para o tratar co desprecio a las sucesioes, puede afirmarse que éstas so las madres de las series porque a partir de las sucesioes se forma las series. Ua serie es la suma de los elemetos de ua sucesió. Como e Álgebra u térmio es cada catidad que se está sumado, etoces e ua serie, e vez de elemetos habrá térmios. Es icorrecto e ua sucesió llamarles "térmios" a los elemetos porque éstos o se está sumado, e cambio, e ua serie sí so estrictamete térmios. Las series puede ser fiitas o ifiitas. Cuado se trata de series ifiitas, para idicar que cotiúa así idefiidamete se escribe putos suspesivos.

11 Ejemplos de series fiitas so las siguietes: ) ) ) Ejemplos de series ifiitas so las siguietes: 4) ) ) Como ua serie es la suma de los elemetos de ua sucesió, etoces las reglas vistas ateriormete para las sucesioes so aplicables a las series co la úica diferecia que debe hacerse la suma. Es decir, si e las sucesioes existe la fórmula del elemeto geeral que es el que da la regla de formació, e las series es lo mismo, solamete que se llama térmio geeral. E ua serie, se defie la suma de los primeros térmios como s. Por ejemplo, e la serie defiida por el térmio geeral a 4 + 5, se tiee que la suma de los dos primeros térmios es s 9 + la suma de los cuatro primeros térmios es s la suma de los seis primeros térmios es s y así sucesivamete..4. SUMATORIAS Como ua serie es ua sumatoria de térmios, ésta se puede escribir co el símbolo uiversal de sumatoria e Matemáticas, o sea b a a que sigifica que se debe sumar los térmios que resulte desde que a hasta b, dode a y b so los úmeros defiidos que limita desde qué valor hasta qué otro valor deberá efectuarse la suma. Ejemplo : Efectuar la sumatoria 4 7

12 Solució: Sigifica que debe sumarse los térmios que resulte haciedo hasta 4, esto es: para se obtiee que es el a 7() primer térmio a 7() - segudo térmio a 7() - 0 tercer térmio 4 a 4 7(4) - 7 cuarto térmio 4 de maera que Ejemplo : Efectuar la sumatoria 5 Solució: Sigifica que debe sumarse los térmios que resulte haciedo hasta 5, esto es: para se obtiee que es el a - () - primer térmio a - () - segudo térmio a - () 0 tercer térmio 4 a ()4 4 cuarto térmio 5 a ()5 0 quito térmio de maera que

13 .4. FORMULA GENERAL DE UNA SERIE Las series, que como ya se dijo so la suma de los térmios que resulta de ua sucesió, tiee ua fórmula geeral co la cual se puede obteer la suma de los térmios idicados si ecesidad de efectuar la suma misma. E dicha fórmula, la se iterpreta de dos formas, segú se trate de la expresió escrita al lado izquierdo del sigo "igual" o de la escrita a la derecha, de la siguiete maera: cuado: e el lado izquierdo: e el lado derecho: se obtiee el primer térmio. se obtiee el segudo térmio. se obtiee el tercer térmio. se obtiee el resultado de la suma del primer térmio. se obtiee el resultado de la suma de los dos primeros térmios. se obtiee el resultado de la suma de los tres primeros térmios. y así sucesivamete. Por lo proto el alumo o debe preocuparse por saber de dóde o cómo se obtuvo dicha fórmula, sio de saberla aplicar coforme a los ejemplos que sigue. Ejemplo : Obteer la suma de los primeros 5 térmios de ( - ) Solució: Lo primero que debe defiirse es el último térmio del lado izquierdo, o sea el térmio 5º, haciedo 5 e el térmio geeral ( - ), el cual es: (5) - 9. Es idispesable defiir e el lado izquierdo hasta qué úmero se desea sumar, es decir el último térmio de la suma que se quiere obteer su resultado, ya que de lo cotrario carecería de setido hablar del resultado de algo idefiido. Es el equivalete a decir ada más: "hay que sumar + + 5, etcétera. Siempre surgiría la preguta: Hasta dóde? La suma de los primeros quice térmios de la serie se obtiee aplicado la fórmula, co 5 e el lado derecho. Debe etederse que el objetivo de la fórmula es obteer el resultado de la suma si efectuarla, sobretodo cuado el úmero de térmios a sumarse es grade y resulta fastidioso hacer realmete la suma. De maera que

14 Nótese que e el lado izquierdo del segudo regló o debe poerse el valor de 5, de la siguiete maera: falso! Es falso, o e el setido de que doscietos veiticico o sea igual a doscietos veiticico, lo que es verdadero, sio e el setido de que e ese lado izquierdo o se realizó igua operació; simplemete se está afirmado que la suma de hasta + 9 es igual a 5. Poerlo sigifica que e el lado izquierdo se realizó la operació suma de cada térmio y eso es falso. Tambié obsérvese que debe poerse e cocreto el decimoquito térmio, e este caso el + 9, que se obtuvo de sustituir 5 e el térmio geeral - Ejemplo : Obteer la suma de los primeros 75 térmios de ( + ) Solució: Lo primero que debe defiirse es el último térmio del lado izquierdo, o sea el térmio septuagésimo quito, haciedo 75 e el térmio geeral, el cual es 75. Es idispesable defiir e el lado izquierdo hasta qué úmero se desea sumar, es decir el último térmio de la suma que se quiere obteer su resultado, ya que de lo cotrario carecería de setido hablar del resultado de algo idefiido. Equivaldría a decir ada más: "hay que sumar + +, etcétera. Siempre surgiría la preguta: Hasta dóde?. La suma de los primeros seteta y cico térmios de la serie se obtiee aplicado la fórmula, co 75 e el lado derecho. Debe etederse que el objetivo de la fórmula es obteer el resultado de la suma si efectuarla, sobretodo cuado el úmero de térmios a sumarse es grade y resulta fastidioso hacer realmete la suma. De maera que 75( 75 + ) Nótese que e el lado izquierdo NO debe poerse el valor de 850 de la siguiete maera: 75( 75 + ) falso! Es falso, o e el setido de que dos mil ochocietos cicueta o sea igual a dos mil ochocietos cicueta, lo que es verdadero, sio e el setido de que e ese lado izquierdo o se realizó igua operació; simplemete se está afirmado que la suma de hasta 75 es igual a 850. Poerlo sigifica que e el lado izquierdo se realizó la operació suma de cada térmio y eso es falso.

15 Tambié obsérvese que debe poerse e cocreto el septuagésimo quito térmio, e este caso el 75 que se obtuvo de sustituir 75 e el térmio geeral. Ejemplo : Obteer la suma de los primeros diez y seis térmios de Solució: Lo primero que debe defiirse es el último térmio del lado izquierdo, o sea el térmio 6º haciedo 6 e el térmio geeral, el cual es La suma de los primeros diez y seis térmios de la serie se obtiee aplicado la fórmula, co 6 e el lado derecho. Debe etederse que el objetivo de la fórmula es obteer el resultado de la suma si efectuarla, sobretodo cuado el úmero de térmios a sumarse es grade y resulta fastidioso hacer realmete la suma. De maera que

16 .5 PROGRESIONES U caso particular de series de mucha aplicació práctica es el de las llamadas progresioes, de las cuales se estudiará e este curso solamete las progresioes aritméticas y las progresioes geométricas..5. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Ua progresió aritmética (p.a.) es aquella e la que cada térmio, después del primero, se forma sumado ua catidad fija al térmio precedete. A dicha catidad fija se le llama diferecia. Ejemplos de progresioes aritméticas so los siguietes: * (diferecia: + 6 ) * (diferecia: - 0 ).5.. FÓRMULAS E las progresioes aritméticas existe cico variables: el primer térmio, el último térmio, el úmero de térmios, la diferecia y la suma de todos esos térmios. Coocidas tres de ellas se puede calcular las otras dos co la utilizació de las tres fórmulas que se deducirá a cotiuació: Sea: a primer térmio de la p.a. l último térmio de la p.a. úmero de térmios d diferecia de la p. a. s suma de los térmios. Etoces el primer térmio es a el segudo térmio es a + d el tercer térmio es a + d + d a + d el cuarto térmio es a + d + d a + d el quito térmio es a + d + d a + 4d y así sucesivamete. De maera que, cosiderado que se tiee térmios, el último térmio es l a+ ( - ) d ( ) La suma de los térmios viee dada por la fórmula

17 s a + l ( ) ( ) o bie, sustituyedo () e (): s a+ ( - ) d ( ) Co esas fórmulas, coocidas tres de las cico variables, se puede calcular las otras dos. Ejemplo : El primer térmio de ua p.a. es y el último 58. Sabiedo que costa de 7 térmios, hallar la diferecia y la suma de esos 7 térmios. Solució: E esta caso se tiee coocidos a ; l 58 ; 7. Para obteer la diferecia d se utiliza la fórmula ( ): l a+ ( - ) d sustituyedo valores: 58 + (7 - )d d 6 6d 6 9 d 6 4 y para obteer la suma de esos diecisiete térmios, co la fórmula sustituyedo valores: s a + l ( ) 7 s + 58 s 680 ( ) Ejemplo : El primer térmio de ua p.a. es - y el último 45. Sabiedo que la suma de todos sus térmios es de 7, calcular el úmero de térmios de que costa dicha progresió y escribirla completa.

18 Solució: E esta caso se tiee coocidos a - ; l 45 ; s 7. Para obteer el úmero de térmios de que costa se utiliza la fórmula: s a + l ( ) sustituyedo valores: ( 4 ) ( 45) y para escribir completa la progresió aritmética se requiere saber la diferecia. Calculádola co la fórmula sustituyedo valores: l a+ ( - ) d ( - )d d 48 d d 4 así que la p.a. completa referida es: Coviee comprobar co la calculadora que efectivamete la suma de todos estos térmios da el resultado obteido a través de la fórmula, o sea s 7. Ejemplo : solució: Para la p.a , calcular la suma de los primeros 0 térmios y el último térmio dicha progresió y escribirla completa. E esta caso se tiee coocidos a - 9 ; 0 ; d 5 (basta restar u térmio meos el aterior). Para obteer la suma de los primeros 0 térmios se utiliza la fórmula: s a+ ( - ) d sustituyedo: 0 s + [ ( 9) ( 0 ) 5]

19 [ ( ) ] s s 5 ( ) s 5 Para calcular el último térmio se emplea la fórmula sustituyedo: l a+ ( - ) d l (0 - )5 l (9)5 l l 6 de maera que la progresió aritmética completa es Coviee comprobar co la calculadora que efectivamete la suma de todos estos térmios da el resultado obteido a través de la fórmula, o sea s 5. Ejemplo 4: Ua p.a. que costa de 4 térmios, comieza e - 6. Si la suma de sus 4 térmios es cero, calcular el último térmio y escribirla toda completa para explicarse por qué la suma da cero. Solució: E esta caso se tiee coocidos a - 6 ; 4 ; s 0. Para obteer el úmero de térmios de que costa, utiliza la fórmula: s a + l ( ) sustituyedo: ( 6 ) ( 6+ l) 0 6+l l 6 para escribir completa la p.a. se requiere saber la diferecia. Calculádola co la fórmula sustituyedo valores: l a+ ( - ) d

20 6-6 + (4 - )d d 5 d d 4 así que la progresió aritmética completa es: Es fácil ver que la suma da cero, ya que es simétrica, es decir, para cada úmero positivo existe uo egativo que al sumarse se aula. Ejemplo 5: Ua progresió aritmética termia e. Si la suma de sus térmios es s 76 y la diferecia es d, calcular el primer térmio y el úmero de térmios de que costa. Solució: E esta caso se tiee coocidos l ; s 76 ; d. Para obteer el primer térmio, se utiliza la fórmula: sustituyedo: s a + l ( ) 76 ( a + ) 5 ( a + ) (6.) Resulta ua ecuació co dos icógitas. Etoces, de acuerdo a la ley de las ecuacioes que dice que se ecesita tatas ecuacioes como icógitas se tega para que el sistema tega solució, se requiere dos ecuacioes. La seguda se obtiee, igual que la aterior, co otra de las fórmulas de progresioes aritméticas. De maera que empleado ahora la fórmula y sustituyedo: l a+ ( - ) d a + ( - ) a + - a 4 - (6.) Se tiee ya dos ecuacioes co dos icógitas, de maera que sustituyedo el valor de (6.) e la ecuació (6.), se obtiee que 5 (4 - + ) 5 (7 - )

21 Se trata de ua ecuació de segudo grado que se resuelve co la fórmula de segudo grado: b b 4ac ± a ± ( )( ) ( ) ± 7 ± 9 8 Como se obtuviero dos solucioes, sigifica que existe dos progresioes aritméticas que tiee como último térmio l, diferecia d y cuya suma es s 76. Efectivamete, esas dos progresioes aritméticas so: a) Para 9 El primer térmio, sustituyedo e la fórmula a + ( - ) d, es a + (9 - )() a + 8 a - 5 Por lo tato, la primera progresió es: cuya suma se puede obteer fácilmete sumado úicamete del + 6 hasta el +, ya que los demás térmios se aula por pares, ya que existe u - 5 y u + 5 que se aula, u - 4 y u + 4 que se aula, etc. Así que la suma se reduce a s que se puede obteer tambié co la fórmula s a + l ( )

22 s 9 + s 76 ( 5 ) b) Para 8 El primer térmio, sustituyedo e la fórmula a + ( - ) d, es a + (8 - )() a + 7 a 6 Por lo tato, la progresió es: cuya suma es la misma que e la caso aterior, es decir s Ejemplo 6: El cuarto térmio de ua p.a. es y el décimo es 5. Calcular la suma de los primeros térmios. Solució: Para resolver este problema existe dos métodos: método : Se basa e que cualquier parte o subcojuto de ua progresió aritmética es a su vez por sí misma ua progresió aritmética co la misma diferecia d que la total. Por ejemplo, de la p.a , el subcojuto es por sí misma ua progresió aritmética co la misma diferecia d que la origial. De tal maera que si el cuarto térmio de ua p.a. es y el décimo es 5, puede cosiderarse este segmeto como ua p.a. por sí misma, o sea, como si el primer térmio fuera a y el último l 5, co 7 térmios. A partir de ellos puede obteerse su diferecia, que es la misma de la p.a. origial. De maera que utilizado la fórmula sustituyedo valores: a + ( - )d 5 + (7 - )d 5 + 6d 6d d d Ahora cosiderado el subcojuto que va del primero al cuarto térmio, se tiee que

23 4, y d, co lo que puede calcularse su primer térmio co la fórmula sustituyedo valores: a + ( - )d a + ( 4 ) a + a Este primer térmio tambié es el primer térmio de la p.a. origial, de maera que e este mometo ya se tiee los siguietes datos sobre la p.a. origial: a d de maera que para obteer la suma de esos primeros térmios se emplea la fórmula y sustituyedo valores: s a + ( - ) d s ( ) ( ) + s 4 ( ) + s 5 método : Se basa e la defiició de cada térmio, o sea que el primer térmio es el segudo térmio es el tercer térmio es a a + d a + d

24 el cuarto térmio es el quito térmio es a + d a + 4d etc., de tal maera que el cuarto térmio es y el décimo térmio es a + d (6.) a + 9d 5 (6.4) de maera que se tiee dos ecuacioes co dos icógitas a + d (6.) a + 9d 5 (6.4) por suma y resta, cambiádole de sigo a la primera ecuació se obtiee - a + d - a + 9 d 5 6 d d sustituyedo e la ecuació (6.) : a + a + a Así que la suma de los primeros trece térmios, co a, d y, se obtiee co la fórmula y sustituyedo valores: s a + ( - ) d

25 s ( ) ( ) + s 4 ( ) + s 5

26 .5. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Ua progresió Geométrica (p.g.) es aquella e la que cada térmio, después del primero, se forma multiplicado ua catidad fija al térmio precedete. A dicha catidad fija se le llama razó. Ejemplos de progresioes geométricas so los siguietes: * (razó: + ) * (razó: ) FÓRMULAS E las progresioes geométricas, igual que e las aritméticas, existe cico variables: el primer térmio, el último térmio, el úmero de térmios, la razó y la suma de todos esos térmios. Coocidas tres de ellas se puede calcular las otras dos co la utilizació de ua de las tres fórmulas que se deducirá a cotiuació: Sea: a primer térmio de la p.g. último térmio de la p.g. úmero de térmios r razó de la p. g. s suma de los térmios. Etoces, el primer térmio es a el segudo térmio es ar el tercer térmio es (ar)r ar el cuarto térmio es (ar )r ar el quito térmio es (ar )r ar 4 y así sucesivamete. De maera que, cosiderado que se tiee térmios, el último térmio es l ar (5) La suma de los térmios viee dada por la fórmula s a ar r para r (6)

27 o bie s a rl r para r (7) Co esas fórmulas, coocidas tres de las cico variables, se puede calcular las otras dos. Ejemplo : El primer térmio de ua p.g. es 6 y el último 8. Sabiedo que costa de 5 térmios, hallar la razó y la suma de esos 5 térmios. Solució: E esta caso se tiee coocidos a 6 ; l 8 ; 5. Para obteer la razó r se utiliza la fórmula (5): sustituyedo: - l ar 8 6 r 8 6 r 8 6 r 4 (5 - ) 4 r r ± y para obteer la suma de esos cico térmios, co la fórmula s a rl r sustituyedo valores: s s

28 s s COMPROBACIÓN: Los cico térmios de la p.g. so: Primer térmio: 6 segudo térmio: ( 6 ) tercer térmio: ( 4 ) cuarto térmio: ( 6 ) quito térmio: ( 54 ) Así que la p.g. y su suma es: Ejemplo : El último térmio de ua p.g. es 9. y la razó r -. Obteer el primer térmio sabiedo que costa de 7 térmios. Calcular la suma. Solució: E esta caso se tiee coocidos 9 ; r - ; 7. Para obteer el úmero de térmios de que costa se utiliza la fórmula: sustituyedo: - l ar 9 a (- ) 7-9 a (- ) a a a 9 64 La suma se obtiee utilizado la fórmula

29 s a rl r sustituyedo valores: s s ( ) ( ) ( ) s 9 COMPROBACIÓN: El primer térmio es el segudo térmio es ( - ) - 6 el tercer térmio es - 6 ( - ) el cuarto térmio es ( - ) - 4 el quito térmio es - 4 ( - ) 48 el sexto térmio es 48 ( - ) - 96 el séptimo térmio es - 96 ( - ) 9 así que la p.g. completa referida es: Ejemplo : El primer térmio de ua progresió geométrica es 7, el último térmio es y la razó es r 0;. obteer la suma de esos térmios y determiar de cuátos térmios costa. Solució: E esta caso se tiee coocidos a 7 ; ; r 0.. Para obteer la suma utiliza la fórmula: s a rl r sustituyedo: s ( ) s Para calcular el úmero de térmios debe emplearse la fórmula - l ar

30 o bie s a ar r E cualquiera de los dos casos la icógita es que aparece como expoete. Para despejarla después de hacer sustitucioes es ecesario utilizar logaritmos. E caso ecesario, e el apédice se ecuetra u repaso de logaritmos. Utilizado la primera de estas fórmulas: - l ar (0.) Por la ley de las igualdades, aplicado logaritmos e ambos lados se obtiee: log log 0. - Y por las propiedades de los logaritmos, pasado el expoete del argumeto como coeficiete del logaritmo: despejado: log ( - ) log 0. log log Ejemplo 4: La razó e ua progresió geométrica es r 0., el primer térmio es 5 y la suma es s ; determiar de cuátos térmios costa. Solució: E esta caso se tiee coocidos a 5 ; r 0. y s Para obteer el úmero de térmios se utiliza la fórmula:

31 s a ar r sustituyedo valores: (. ) ( - 0.)( ) 5-5 (0.) (0.) (0.) (0.) Por la ley de las igualdades, aplicado logaritmos e ambos lados se obtiee: log log 0. Y por las propiedades de los logaritmos, pasado el expoete del argumeto como coeficiete del logaritmo: despejado: log log 0. 6 log log 0. Cotestado la preguta: Costa de seis térmios la p.g.

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica.

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica. págia 05. Ua sucesió es u cojuto de úmeros ordeados bajo cierta regla específica. E muchos problemas cotidiaos se preseta sucesioes, como por ejemplo los días del mes, ya que se trata del cojuto {,,, 4,

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas

Sistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas Sistemas de Ecuacioes Lieales M. e I. Gerardo Avilés Rosas Octubre de 206 Tema 5 Sistemas de Ecuacioes Lieales Objetivo: El alumo formulará, como modelo matemático de problemas, sistemas de ecuacioes lieales

Más detalles

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11 IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como

Más detalles

LAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO

LAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO LA ERIE GEOMÉTRICA Y U TENDENCIA AL INFINITO ugerecias al Profesor: Al igual que las sucesioes, las series geométricas se itroduce como objetos matemáticos que permite modelar y resolver problemas que

Más detalles

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas RADICACIÓN: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Ates de etrar e el tema Radicació, vamos a comezar por recordar u poco sore Poteciació: Saemos que e lugar de escriir, utilizamos la otació: de Poteciació, dode el

Más detalles

LAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO

LAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO LAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO Sugerecias al Profesor: Resaltar que las sucesioes geométricas ifiitas so objetos matemáticos que permite modelar alguos procesos ifiitos, y que a la vez su costrucció

Más detalles

PROGRESIONES ARITMETICAS

PROGRESIONES ARITMETICAS PROGRESIONES ARITMETICAS DEF. Se dice que ua serie de úmeros está e progresió aritmética cuado cada uo de ellos (excepto el primero) es igual al aterior más ua catidad costate llamada diferecia de la progresió.

Más detalles

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio

Más detalles

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como ua fució que asiga

Más detalles

Los números complejos

Los números complejos Los úmeros complejos Los úmeros complejos Forma biómica Defiició z = a + bi, o bie, z = (a, b) siedo a la parte real y b la parte imagiaria. a = r cos α b = r se α Opuesto z = a bi Cojugado z = a bi Represetació

Más detalles

PROGRESIONES ARITMÉTICAS.-

PROGRESIONES ARITMÉTICAS.- PROGRESIONES ARITMÉTICAS.- Ua progresió aritmética es ua sucesió de úmeros tales que cada uo de ellos, excepto el primero, se obtiee sumado al aterior ua costate d, que se deomia diferecia de la progresió.

Más detalles

Negativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18

Negativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18 Los úmeros reales.. Los úmeros reales El cojuto de los úmeros reales está formado por los úmeros racioales y los irracioales. Se represeta por la letra Los úmeros racioales so los úmeros eteros, los decimales

Más detalles

R. Urbán Ruiz (notas de clase)

R. Urbán Ruiz (notas de clase) R. Urbá Ruiz (otas de clase) Fucioes E las ciecias Ecoómicas las fucioes so de mucho valor para resolver problemas dode haya que relacioar variables; como por ejemplo, la producció, la oferta, la demada,

Más detalles

6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES

6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES 6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas 6... DEFINICIONES Sucesioes de úmeros reales Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier lista ordeada de úmeros reales: a, a 2, a 3,..., a,...,

Más detalles

Ejemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi

Ejemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi u_miii.doc EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS: No eiste u úmero real que satisfaga la ecuació +0 Para resolver este tipo de ecuacioes es ecesario itroducir el cocepto de úmero complejo. U úmero complejo

Más detalles

Tema 8 Límite de Funciones. Continuidad

Tema 8 Límite de Funciones. Continuidad Tema 8 Límite de Fucioes. Cotiuidad 1. Operacioes co límites. Los límites de las sucesioes a b, c, d y e so los idicados e la tabla siguiete:, a b c d e - 0 1 Di cual es el límite de: a) lim( a b ) c)

Más detalles

Si la razón es q, y el primer termino es a, la progresión se escribe. POR LO TANTO EL ENÉSIMO TÉRMINO DE UNA P.G SE DETERMINA A PARTIR DE:

Si la razón es q, y el primer termino es a, la progresión se escribe. POR LO TANTO EL ENÉSIMO TÉRMINO DE UNA P.G SE DETERMINA A PARTIR DE: Ua progresió es geométrica, si cada termio después del primero se obtiee multiplicado el aterior por u valor costates Este valor costate se llama razó geométrica (q) E geeral: a a : a......... a ; 3 Si

Más detalles

ALGEBRA 9. Curso: 3 E.M. Progresiones aritméticas y geométricas. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO:

ALGEBRA 9. Curso: 3 E.M. Progresiones aritméticas y geométricas. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO: Colegio SSCC Cocepció - Depto. de Matemáticas Uidad de Apredizaje: Progresioes aritméticas y geométricas Capacidades/Destreza/Habilidad: Racioamieto Matemático/ Aplicació / Calcular, Resolver Valores/

Más detalles

UNIDAD 3. b b.1 Es una P.G. con a 1 5 y d 0,5. Por tanto: a n a 1 n 1 d 5 n 1 0,5 5 0,5n 0,5 0,5n 4,5 a n 0,5n 4,5

UNIDAD 3. b b.1 Es una P.G. con a 1 5 y d 0,5. Por tanto: a n a 1 n 1 d 5 n 1 0,5 5 0,5n 0,5 0,5n 4,5 a n 0,5n 4,5 UNIDAD 3 a Escribe los cico primeros térmios de las sucesioes: a.1) a 2, a 3 1 2 a a a 1 2 a.2 b 2 + 1 b Halla el térmio geeral de cada ua de estas sucesioes: b.1 3, 1, 1, 3, 5,... b.2 2, 6, 18, 54,...

Más detalles

Mó duló 21: Sumatória

Mó duló 21: Sumatória INTERNADO MATEMÁTICA 16 Guía del estudiate Mó duló 1: Sumatória Objetivo: Coocer y aplicar propiedades para el cálculo de sumatorias. Para calcular alguas sumatorias es ecesario coocer sus propiedades

Más detalles

SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES

SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES www.matesxroda.et José A. Jiméez Nieto SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. TÉRMINO GENERAL E las siguietes figuras observa el proceso que lleva a la creació de uevos

Más detalles

MOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL. Resumen: En este artículo se muestra como las transformaciones de funciones resultan

MOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL. Resumen: En este artículo se muestra como las transformaciones de funciones resultan MOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL Viceç Fot Departamet de Didàctica de les CCEE i de la Matemàtica de la Uiversitat de Barceloa Resume: E este artículo se muestra como las trasformacioes

Más detalles

PAGINA Nº 80 GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJOS PRACTICOS Nº 14

PAGINA Nº 80 GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJOS PRACTICOS Nº 14 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº 4 PAGINA Nº 80 GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJOS PRACTICOS Nº 4 OBJETIVOS: Lograr que el Alumo: Resuelva correctamete aritmos y aplique sus propiedades. Resuelva ecuacioes epoeciales.

Más detalles

Importancia de las medidas de tendencia central.

Importancia de las medidas de tendencia central. UNIDAD 5: UTILICEMOS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Importacia de las medidas de tedecia cetral. Cuado recopilamos ua serie de datos podemos resumirlos utilizado ua tabla de clases y frecuecias. La iformació

Más detalles

Límite y Continuidad de Funciones.

Límite y Continuidad de Funciones. Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por

Más detalles

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. _ xi

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. _ xi EDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. EDIA ARITÉTICA. Es la medida más coocida y tambié es llamada promedio se obtiee sumado todos los valores de la muestra o població, dividida etre el total de elemetos que cotiee

Más detalles

Tema 1 Los números reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1

Tema 1 Los números reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1 Tema 1 Los úmeros reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1 TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL INTRODUCCIÓN: Los úmeros racioales: Se caracteriza porque puede expresarse: E forma

Más detalles

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 FUNCIONES Sí A y B so dos cojutos o vacío, ua fució de A e B asiga a cada elemeto a perteeciete al cojuto A u úico elemeto b de B que deomiamos image de a. Además diremos

Más detalles

Técnicas para problemas de desigualdades

Técnicas para problemas de desigualdades Técicas para problemas de desigualdades Notas extraídas del libro de Arthur Egel [] 5 de marzo de 00 Medias Comezamos co dos de las desigualdades más básicas pero al mismo tiempo más importates Sea x,

Más detalles

2 Halla la diferencia de una progresión aritmética sabiendo que el segundo término es 8 y el quinto 17.

2 Halla la diferencia de una progresión aritmética sabiendo que el segundo término es 8 y el quinto 17. EJERCICIOS EXTRA PROGERSIONES ARITMETICAS Y GEOMETRICAS 1 15 Halla la suma de los 1 primeros térmios de la progresió aritmética: 8,, 7,... Halla la diferecia de ua progresió aritmética sabiedo que el segudo

Más detalles

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES.

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.1. -ESPACIOS VECTORIALES Sea u cojuto V, etre cuyos elemetos (a los que llamaremos vectores) hay defiidas dos operacioes: SUMA DE DOS ELEMENTOS DE V: Si u, v V, etoces

Más detalles

INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL.

INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL. INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Grafica las fucioes Moto e Iterés: a) C = + 0, co C e miles de pesos ; : meses y R. Para graficar estar fucioes, debemos dar valores a, por

Más detalles

6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES

6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES 6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas 6.2.. DEFINICIONES Y PROPIEDADES Series de úmeros reales Se llama serie umérica o de úmeros reales a la suma idicada de los ifiitos térmios de ua sucesió:

Más detalles

INECUACIONES. Ejemplo: La desigualdad 2x+l>x+5, es una inecuación por que tiene una incógnita "x" que se verifica para valores mayores que 4.

INECUACIONES. Ejemplo: La desigualdad 2x+l>x+5, es una inecuación por que tiene una incógnita x que se verifica para valores mayores que 4. INECUACIONES DEFINICIÓN: Ua iecuació es ua desigualdad e las que hay ua o más catidades descoocidas (icógita) y que sólo se verifica para determiados valores de la icógita o icógitas. Ejemplo: La desigualdad

Más detalles

CAPITULO 2. Aritmética Natural

CAPITULO 2. Aritmética Natural CAPITULO Aritmética Natural Itroducció 1 Sumatorias Iducció Matemática Progresioes Teorema del Biomio 1. Coteidos. Itroducció 1) Asumiremos que el cojuto de úmeros reales R, +,, ) es u cuerpo ordeado completo.

Más detalles

1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS E el leguaje matemático, se deomia expresioes algebraicas a toda combiació de letras y/o úmeros viculados etre si por las operacioes de suma, resta, multiplicació y poteciació de

Más detalles

IES ATENEA. EXAMEN DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS. 3º ESO A. Nombre:

IES ATENEA. EXAMEN DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS. 3º ESO A. Nombre: IES ATENEA. EXAMEN DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS. º ESO A Nombre: Evaluació: Primera. Feca: 0 de diciembre de 00 NOTA Ejercicio º.- Aplica el orde de prioridad de las operacioes para calcular: 64 : 5

Más detalles

CLAVES DE CORRECCIÓN GUÍA DE EJERCITACIÓN FACTORES Y PRODUCTOS PREGUNTA ALTERNATIVA Nivel

CLAVES DE CORRECCIÓN GUÍA DE EJERCITACIÓN FACTORES Y PRODUCTOS PREGUNTA ALTERNATIVA Nivel x Estimado alumo: Aquí ecotrarás las claves de correcció, las habilidades y los procedimietos de resolució asociados a cada preguta, o obstate, para reforzar tu apredizaje es fudametal que asistas a la

Más detalles

APLICACIONES INFORMÁTICAS EN QUÍMICA. Problemas Tema 2.3: Series, representación de funciones y construcción de tablas en HC.

APLICACIONES INFORMÁTICAS EN QUÍMICA. Problemas Tema 2.3: Series, representación de funciones y construcción de tablas en HC. APLICACIONES INFORMÁTICAS EN QUÍMICA Problemas Tema 2.3: Series, represetació de fucioes y costrucció de tablas e HC Grado e Química º SEMESTRE Uiversitat de Valècia Facultad de Químicas Departameto de

Más detalles

Sucesiones de números reales

Sucesiones de números reales Sucesioes de úmeros reales Defiició y propiedades Sucesioes de úmeros reales 4 4 Defiició y propiedades 47 4 Sucesioes parciales 49 43 Mootoía 50 44 Sucesioes divergetes 53 45 Criterios de covergecia 54

Más detalles

Convolución. Dr. Luis Javier Morales Mendoza. Procesamiento Digital de Señales Departamento de Maestría DICIS - UG

Convolución. Dr. Luis Javier Morales Mendoza. Procesamiento Digital de Señales Departamento de Maestría DICIS - UG Covolució Dr. Luis Javier Morales Medoza Procesamieto Digital de Señales Departameto de Maestría DICIS - UG Ídice.. Itroducció... Aálisis de Sistemas Discretos Lieales e Ivariates e el Tiempo.... Técicas

Más detalles

Expresiones Algebraicas

Expresiones Algebraicas Semiario Uiversitario Matemática Módulo Expresioes Algebraicas Difícilmete se pueda estudiar cualquier rama de la matemática actual si u maejo algebraico razoable. Usamos la palabra maejo y o la de estudio,

Más detalles

CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES

CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES (Aputes e revisió para orietar el apredizaje) CAPÍTULO V. UCEIONE Y ERIE DEFINICIÓN. Ua sucesió ifiita, o simplemete sucesió, es ua fució cuyo domiio está costituido por el cojuto de los úmeros aturales

Más detalles

Cálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8

Cálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8 Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que

Más detalles

CRIPTOGRAFIA BASICA Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

CRIPTOGRAFIA BASICA Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATEMÁTICA I - 0 - Capítulo 6 ------------------------------------------------------------------------------------ CRIPTOGRAFIA BASICA Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Las matrices iversas se puede usar

Más detalles

3Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 79

3Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 79 Solucioes a los ejercicios y problemas PÁGINA 79 Pág. P RACTICA Sucesioes formació térmio geeral Escribe los cico primeros térmios de las siguietes sucesioes: a) Cada térmio se obtiee sumado 7 al aterior.

Más detalles

Números reales Números. irracionales. Figura 3.1. Construcción del conjunto de los números complejos.

Números reales Números. irracionales. Figura 3.1. Construcción del conjunto de los números complejos. Números Complejos El cojuto de los úmeros complejos La supremacía de los úmeros reales como cojuto umérico máximo duró poco; o existe u úmero real a que satisfaga la ecuació x 2 + a = 0. Para ello, es

Más detalles

Números naturales, enteros y racionales

Números naturales, enteros y racionales Tema 2 Números aturales, eteros y racioales Estudiamos e este tema los úmeros reales que podemos ver como los más secillos e ituitivos. Empezamos detectado detro de R a los úmeros aturales, a partir de

Más detalles

Qué es la estadística?

Qué es la estadística? Qué es la estadística? La estadística tiee que ver co la recopilació, presetació, aálisis y uso de datos para tomar decisioes y resolver problemas. Qué es la estadística? U agete recibe iformació e forma

Más detalles

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON págia 171 Los productos otables tiee la fialidad de obteer el resultado de ciertas multiplicacioes si hacer dichas multiplicacioes. Por ejemplo, cuado se desea multiplicar los biomios cojugados siguietes:

Más detalles

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 Dr. Carlos Juan Rodríguez Matemática 3º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 Primer Trimestre

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 Dr. Carlos Juan Rodríguez Matemática 3º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 Primer Trimestre Escuela Pública Eperimetal Descocetrada Nº Dr. Carlos Jua Rodríguez Matemática º Año Ciclo Básico de Secudaria Teoría Nº Primer Trimestre Cojuto de los úmeros racioales Los úmeros racioales so aquellos

Más detalles

La sucesión de Lucas

La sucesión de Lucas a sucesió de ucas María Isabel Viggiai Rocha Cosideramos la sucesió umérica { } defiida por: - - si 3 y y 3. Esta sucesió es coocida como la sucesió de ucas y a sus térmios se los llama úmeros de ucas.

Más detalles

Probabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS

Probabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS Probabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS E el mudo real hay feómeos regidos por leyes de tipo empírico (basadas e la experiecia), lógico o deductivo, e los que el efecto está determiado por ciertas causas. El

Más detalles

CAPÍTULO VIII. CONVERGENCIA DE SUCESIONES. SECCIONES A. Criterios de convergencia. B. Ejercicios propuestos.

CAPÍTULO VIII. CONVERGENCIA DE SUCESIONES. SECCIONES A. Criterios de convergencia. B. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO VIII CONVERGENCIA DE SUCESIONES SECCIONES A Criterios de covergecia B Ejercicios propuestos 347 A CRITERIOS DE CONVERGENCIA Ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales se dice sucesió

Más detalles

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de

Más detalles

UNIDAD 1 PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE

UNIDAD 1 PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE UNIDAD PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE Propósitos. Explorar diversos problemas que ivolucre procesos ifiitos a través de la maipulació tabular, gráfica y simbólica para propiciar u acercamieto

Más detalles

Potencias, radicales y logaritmos

Potencias, radicales y logaritmos . Los úmeros egativos Potecias, radicales y logaritmos BLOQUE I: ARTIMÉTICA El tema comieza co el estudio de las potecias; éste se iicia co las potecias de expoete atural, se prosigue co las de expoete

Más detalles

Sucesiones numéricas.

Sucesiones numéricas. SUCESIONES 3º ESO Sucesioes uméricas. Ua sucesió es u cojuto ordeado de úmeros reales: a 1, a 2, a 3, a 4, Cada elemeto de la sucesió se deomia térmio, el subídice es el lugar que ocupa e la sucesió. El

Más detalles

Métodos Numéricos/ Calculo Numérico/ Análisis Numérico. Raíces de ecuaciones Teoría General de la iteración

Métodos Numéricos/ Calculo Numérico/ Análisis Numérico. Raíces de ecuaciones Teoría General de la iteración Métodos Numéricos/ Calculo Numérico/ Aálisis Numérico. Raíces de ecuacioes Teoría Geeral de la iteració Bibliografía: Métodos Numéricos G. Pacce Editorial EUDENE -1997. Problemas resueltos de Métodos Numéricos.

Más detalles

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7 LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Límites de ua fució costate f k, k El límite de ua fució costate es la misma costate f k f k k k a a Límites de la fució idetidad I I a a a I I Límites e u puto fiito.

Más detalles

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En LOS NUMEROS REALES Cojuto o vacío desigado como R y deomiado cojuto de los úmeros reales. E él se defie ua relació de igualdad = y dos operacioes algebraicas + y. Relació de igualdad Defiició: R = (a,b)

Más detalles

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de una variable. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de una variable. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación Matemáticas EJERCICIOS RESUELTOS: Fucioes de ua variable Elea Álvarez Sáiz Dpto. Matemática Aplicada y C. Computació Uiversidad de Catabria Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios:

Más detalles

ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS.

ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS. ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS. La toma de datos es ua de las partes de mayor importacia e el desarrollo de ua ivestigació. Así los datos obteidos mediate u primer proceso recibe el ombre de datos si tratar

Más detalles

Sucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.

Sucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Sucesioes Sucesió Se deomia sucesió a ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales. Para deotar el -ésimo elemeto de la sucesió se escribe a e lugar de f(). Ejemplo: a = 1/ a 1 = 1, a 2 = 1/2,

Más detalles

El tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números.

El tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números. Capítulo 3 Sucesioes 3 Defiicioes Geerales El tema de este capítulo es el estudio de las sucesioes de úmeros reales Ua sucesió o es más que u cojuto ordeado de úmeros Por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 0, 2,, 2,

Más detalles

TEMA 2: POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS

TEMA 2: POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS TEMA 2: POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS Segudo Curso de Educació Secudaria Oligatoria. I.E.S de Fuetesaúco. Mauel Gozález de Leó. CURSO 2011-2012 Págia 1 de 11 Profesor: Mauel Gozález de Leó Curso 2011 2012

Más detalles

con operacion inversa la resta (suma de opuestos) y una operacion producto escalar, que no es interna,

con operacion inversa la resta (suma de opuestos) y una operacion producto escalar, que no es interna, Tema 9 El plao complejo 9. Números complejos E IR, las operacioes suma producto de úmeros reales so operacioes iteras (el resultado de operar es otro úmero real) que permite la existecia de operacioes

Más detalles

UNIDAD 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

UNIDAD 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior UNIDAD Ecuacioes Difereciales Lieales de Orde Superior. Defiició Ua ecuació diferecial lieal de orde tiee la forma: d y a a a a y= g d d d Si las fucioes a a so todas costates (o cero) etoces se dice que

Más detalles

TEMA 19 Cálculo de límites de sucesiones*

TEMA 19 Cálculo de límites de sucesiones* CURSO -6 TEMA 9 Cálculo de límites de sucesioes* Propiedades aritméticas de los límites de sucesioes. b tales que : a = a b = b, dode ab, R Sea las sucesioes { } a y { } Etoces podemos obteer su suma,

Más detalles

Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series.

Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series. CÁLCULO Igeiería Idustrial. Curso 2009-200. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Lecció 5. Series. Resume de la lecció. 5.. Sucesioes y series. Sucesió covergete. Se de e ua sucesió

Más detalles

4 ALGEBRA DE BOOLE. 4.1 Introducción. 4.2 Axiomas. (a) a + b = b + a (b) a b = b a. (a) a + (b c) = (a + b) (a + c) (b) a (b + c) = a.

4 ALGEBRA DE BOOLE. 4.1 Introducción. 4.2 Axiomas. (a) a + b = b + a (b) a b = b a. (a) a + (b c) = (a + b) (a + c) (b) a (b + c) = a. Arquitectura del Computador 4 ALGEBRA DE BOOLE 4. Itroducció. El álgebra de Boole es ua herramieta de fudametal importacia e el mudo de la computació. Las propiedades que se verifica e ella sirve de base

Más detalles

DERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( x) c, donde c es una constante, la derivada de esta función es siempre cero, es decir:

DERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( x) c, donde c es una constante, la derivada de esta función es siempre cero, es decir: DERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( ) c Coceptos clave: 1. Derivada de la fució costate f ( ) c, dode c es ua costate, la derivada de esta fució es siempre cero, es decir: f '( ) 0 c. Derivada de ua fució

Más detalles

SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES

SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES CAPÍTULO XV. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES SECCIONES A. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. B. Series de potecias. Itervalos de covergecia. C. Desarrollo de fucioes e series de potecias. D. Aplicacioes

Más detalles

Series Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir:

Series Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir: Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó.

Más detalles

INTEGRALES DE RIEMANN

INTEGRALES DE RIEMANN NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III INTEGRALES DE RIEMANN Ig. Jua Sacerdoti Departameto de Matemática Facultad de Igeiería Uiversidad de Bueos Aires 00 INDICE.- INTEGRAL..- INTRODUCCIÓN..-

Más detalles

1. QUÉ ES LA ESTADÍSTICA?

1. QUÉ ES LA ESTADÍSTICA? 1. QUÉ ES LA ESTADÍSTICA? Cuado coloquialmete se habla de estadística, se suele pesar e ua relació de datos uméricos presetada de forma ordeada y sistemática. Esta idea es la cosecuecia del cocepto popular

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES Problemas de Valor Frontera

ECUACIONES DIFERENCIALES Problemas de Valor Frontera DIVISIÓN DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DPTO. TERMODINÁMICA Y FENÓMENOS DE TRANSFERENCIA MÉTODOS APROXIMADOS EN ING. QUÍMICA TF-33 ECUACIONES DIFERENCIALES Problemas de Valor Frotera Esta guía fue elaborada

Más detalles

Matemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton

Matemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton Matemáticas I - o Bachillerato Matemáticas I - o BACHILLERATO El biomio de Newto es ua fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potecia de u biomio elevado a ua potecia cualquiera de expoete

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS, HISTOGRAMA, POLIGONO Y ESTADÍSITICOS DE TENDENCIA CENTRAL, DISPERSIÓN, ASIMETRÍA Y CURTOSIS. Prof.: MSc. Julio R. Vargas I. Las calificacioes fiales

Más detalles

Números naturales, enteros y racionales

Números naturales, enteros y racionales Tema 2 Números aturales, eteros y racioales Estudiamos e este tema los úmeros reales que podemos ver como los más secillos e ituitivos. Empezamos detectado detro de R a los úmeros aturales, a partir de

Más detalles

TEMA 26 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS. APLICACIONES.

TEMA 26 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS. APLICACIONES. Tema 6 Derivada de ua ució e u puto Fució derivada Derivadas sucesivas Aplicacioes TEMA 6 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO FUNCIÓN DERIVADA DERIVADAS SUCESIVAS APLICACIONES ÍNDICE INTRODUCCIÓN DERIVADA

Más detalles

Los vectores desempeñan un papel importante en Matemáticas, Física e Ingeniería y actualmente en materias como procesamiento de imágenes.

Los vectores desempeñan un papel importante en Matemáticas, Física e Ingeniería y actualmente en materias como procesamiento de imágenes. ESPACIOS VECTORIALES 1. INTRODUCCIÓN Escalares y Vectores E la técica existe catidades como Logitud, Área, Volume, Temperatura, Presió, Masa, Potecial, Carga eléctrica que se represeta por u úmero real.

Más detalles

PROPOSICIONES, RELACIONES Y OPERACIONES

PROPOSICIONES, RELACIONES Y OPERACIONES PROPOSICIONES, RELACIONES Y OPERACIONES 1. Sea p 1, p,, p proposicioes primitivas. Sea P ua proposició compuesta que cotiee al meos ua ocurrecia de cada p i, para 1 i ( y o cotiee otra proposició primitiva

Más detalles

Aptitud Matemática 5 RPTA.: E SUCESIONES RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN 5 4 7 6 9 8 11 ; ; ; ; ; ; 4 5 6 7 8 9 10

Aptitud Matemática 5 RPTA.: E SUCESIONES RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN 5 4 7 6 9 8 11 ; ; ; ; ; ; 4 5 6 7 8 9 10 SUCESIONES I. Determiar el térmio que cotiúa e cada ua de las siguietes sucesioes: 1. ; 5; 11; 0; 4. - ; 5; - 9 ; 19; A) 8 B) - 7 C) 7 D) - 8 E) 14 A) 8 B) 0 C) D) 1 E) 5. 5 4 7 6 9 8 ; ; ; ; ; ;... 4

Más detalles

Combinatoria y definiciones básicas de probabilidad

Combinatoria y definiciones básicas de probabilidad Combiatoria y defiicioes básicas de probabilidad Defiicioes de probabilidad Probabilidad como ituició Probabilidad como la razó de resultados favorables Probabilidad como medida de la frecuecia de ocurrecia

Más detalles

21 EJERCICIOS de POTENCIAS 4º ESO opc. B. impar (-2)

21 EJERCICIOS de POTENCIAS 4º ESO opc. B. impar (-2) EJERCICIOS de POTENCIAS º ESO opc. B RECORDAR a m a a m m ( a ) a b a a (a b) a m a a b m a m+ b a a - a b a - b a Tambié es importate saber que algo ( base egativa) par (- ) ( base egativa) impar (- )

Más detalles

DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES. TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES. TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES. TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Ídice. INTRODUCCIÓN2 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES2 Defiicioes básicas.2 Iterpretació vectorial3

Más detalles

Tema 5 Series numéricas

Tema 5 Series numéricas Tema 5 Series uméricas Objetivos 1. Defiir series co wxmaxima. 2. Calcular sumas parciales de ua serie. 3. Iterpretar la defiició de suma de ua serie. 4. Calcular la suma de ua serie geométrica. 5. Calcular

Más detalles

Convergencia absoluta y series alternadas

Convergencia absoluta y series alternadas Tema 11 Covergecia absoluta y series alteradas Ua vez que dispoemos de diversos criterios de covergecia para series de térmios o egativos, abordamos el estudio de la covergecia de series de úmeros reales

Más detalles

Progresiones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Sucesiones.. pág. 74 Definición. Regla de formación Término general

Progresiones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Sucesiones.. pág. 74 Definición. Regla de formación Término general 5 Progresioes Objetivos E esta quicea aprederás a: Recoocer ua sucesió de úmeros. Recoocer y distiguir las progresioes aritméticas y geométricas. Calcular él térmio geeral de ua progresió aritmética y

Más detalles

Problemas de Sucesiones

Problemas de Sucesiones Capítulo Problemas de Sucesioes Problema. Calcular los siguietes ites: l se i e + 3 ii 5 iii l iv + + + Solució: l se i [ escala de iitos se acotada ] 0 acotada 0. e + e ii 5 + [ úmero meor que uo 5 ]

Más detalles

INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS

INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Capítulo INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Problema Calcula las partes real e imagiaria de los siguietes úmeros complejos: a) i + + i, b) + i i + i + i + i, c) d) + i), + ), + i e) f) ) + i 04, i +

Más detalles

1. Sucesiones página 217. 2. Idea intuitiva de límite de una sucesión página 222. 3. Operaciones con sucesiones. página 224

1. Sucesiones página 217. 2. Idea intuitiva de límite de una sucesión página 222. 3. Operaciones con sucesiones. página 224 Límite y cotiuidad E S Q U E M A D E L A U N I D A D.. Térmio geeral de ua sucesió págia 7.. Progresioes aritméticas y geométricas págia 7. Sucesioes págia 7. Idea ituitiva de límite de ua sucesió págia..

Más detalles

Muestreo e Intervalos de Confianza

Muestreo e Intervalos de Confianza Muestreo e Itervalos de Cofiaza PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD RESUELTOS MUESTREO E INTERVALOS DE CONFIANZA 1) E ua població ormal co variaza coocida se ha tomado ua muestra de tamaño 49 y se ha calculado su

Más detalles

TEMA IV. 1. Series Numéricas

TEMA IV. 1. Series Numéricas TEMA IV Series uméricas. Ídice. Series uméricas. 2. Propiedades geerales de las series. 3. Series de térmios positivos. Covergecia. 4. Series alteradas. 5. Series de térmios arbitrarios. 6. Ejercicios

Más detalles

Unidad I: Números Complejos

Unidad I: Números Complejos Uidad I: Números Complejos INTRODUCCIÓN Desde Al'Khwarimi (800 DC), quie fuera precursor del Álgebra, sólo se obteía las solucioes de las raíces cuadradas de úmeros positivos El matemático italiao Girolamo

Más detalles

Tema 4 Sucesiones numéricas

Tema 4 Sucesiones numéricas Tema 4 Sucesioes uméricas Objetivos 1. Defiir sucesioes co wxmaxima. 2. Calcular elemetos de ua sucesió. 3. Realizar operacioes co sucesioes. 4. Iterpretar la defiició de límite de ua sucesió. 5. Calcular

Más detalles

Técnicas Cuantitativas II Muestra y Estadísticos Muestrales. TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 1 / 20

Técnicas Cuantitativas II Muestra y Estadísticos Muestrales. TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 1 / 20 Técicas Cuatitativas II 2012-2013 Muestra y Estadísticos Muestrales TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 1 / 20 Ídice Ídice Cocepto de muestra y Alguos ejemplos de variaza de la media Cocepto de muestra

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1 3 (1 puto) Sea las matrices A= 0 1 y B = 1-1 - 0 1 1 De las siguietes operacioes, alguas o se puede

Más detalles

MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA. Cálculo Diferencial Ejercicios y Problemas resueltos

MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA. Cálculo Diferencial Ejercicios y Problemas resueltos MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA Cálculo Diferecial Ejercicios y Problemas resueltos Juliá Rodríguez Ruiz (Catedrático de Ecoomía Aplicada. UNED) Mariao Matilla García (Profesor Titular

Más detalles