SUCESIONES Y SERIES INFINITAS

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1 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Sergio Stive Solano Agosto de 202

2 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Sergio Stive Solano Agosto de 202

3 Si intentamos sumar los términos de una sucesión infinita {a n } obtenemos una expresión de la forma a + a 2 + a a n + la cual se llama serie infinita, o tan sólo serie, y se representa, con el fin de abreviar, mediante el símbolo a n o a n tiene sentido hablar de la suma de una cantidad infinita de término?. Sería imposible calcular una suma finita para la serie n +

4 Si intentamos sumar los términos de una sucesión infinita {a n } obtenemos una expresión de la forma a + a 2 + a a n + la cual se llama serie infinita, o tan sólo serie, y se representa, con el fin de abreviar, mediante el símbolo a n o a n tiene sentido hablar de la suma de una cantidad infinita de término?. Sería imposible calcular una suma finita para la serie n +

5 Si intentamos sumar los términos de una sucesión infinita {a n } obtenemos una expresión de la forma a + a 2 + a a n + la cual se llama serie infinita, o tan sólo serie, y se representa, con el fin de abreviar, mediante el símbolo a n o a n tiene sentido hablar de la suma de una cantidad infinita de término?. Sería imposible calcular una suma finita para la serie n +

6 Si intentamos sumar los términos de una sucesión infinita {a n } obtenemos una expresión de la forma a + a 2 + a a n + la cual se llama serie infinita, o tan sólo serie, y se representa, con el fin de abreviar, mediante el símbolo a n o a n tiene sentido hablar de la suma de una cantidad infinita de término?. Sería imposible calcular una suma finita para la serie n +

7 notamos que las sumas parciales se aproximan a. Ejemplo. Al sumar los términos de la serie n +

8 Usamos una idea similar al ejemplo anterior para determina si una serie tiene una suma. Consideremos las sumas parciales s = a s 2 = a + a 2 s 3 = a + a 2 + a 3 s 4 = a + a 2 + a 3 + a 4 y, en general, s n = a + a 2 + a a n = n i= a i

9 Usamos una idea similar al ejemplo anterior para determina si una serie tiene una suma. Consideremos las sumas parciales s = a s 2 = a + a 2 s 3 = a + a 2 + a 3 s 4 = a + a 2 + a 3 + a 4 y, en general, s n = a + a 2 + a a n = n i= a i

10 Usamos una idea similar al ejemplo anterior para determina si una serie tiene una suma. Consideremos las sumas parciales s = a s 2 = a + a 2 s 3 = a + a 2 + a 3 s 4 = a + a 2 + a 3 + a 4 y, en general, s n = a + a 2 + a a n = n i= a i

11 Definición. Dada una serie a n = a + a 2 + a 3 +, se denotará mediante el símbolo s n a su n-ésima suma parcial: s n = n a i = a + a 2 + a a n i= Si la sucesión {s n } es convergente y si existe el lím s n = s n como un número real, entonces la serie a n se dice convergente y se escribe a + a 2 + a 3 + = s o bien a n = s. El número s se denomina suma de la serie. En caso contario, la serie {s n } se dice divergente.

12 Ejemplo.2 Un ejemplo importante de series infinitas es la serie geométrica ar n = a + ar + ar 2 + la cual converge si r < y su suma es ar n = a r Si r, la serie geométrica diverge. La serie geométrica 2 n converge y su suma es.

13 Ejemplo.3 Demuestre que la serie suma. n(n+) converge, y calcule sus Solución. Calculemos sus sumas parciales. s n = = n i(i + ) = i= ( ) + 2 = n + de modo que n ( i ) i + i= ) ( ( 2 3 ) ( + + n ) n + ( ) n(n+) = lím s n = lím n n n+ =.

14 Ejemplo.4 Demuestre que la serie armónica n = es divergente. Teorema. Si la serie Prueba de la divergencia a n es convergente, entonces lím n a n = 0. a n Si lím a n no existe o lím a n 0, entonces la serie n n diverge.

15 Ejemplo.5 Demuestre que la serie n 2 5n 2 +4 diverge. Teorema.2 Si a n y b n son series convergentes, entonces también los son las series ca n (donde c es una constante), 2 (a n ± b n ), y ca n = c a n (a n ± b n ) = a n ± b n

16 Ejemplo.5 Demuestre que la serie n 2 5n 2 +4 diverge. Teorema.2 Si a n y b n son series convergentes, entonces también los son las series ca n (donde c es una constante), 2 (a n ± b n ), y ca n = c a n (a n ± b n ) = a n ± b n

17 Ejemplo.6 Halle la suma de la serie ( ) 3 n(n+) + 2 n Solución. Tarea Nota. Un número finito de términos no puede afectar la convergencia de una serie. Por ejemplo, supongamos que la serie n n 3 + n=4 es convergente. Entonces, como n n 3 + = n=4 se deduce que toda la serie es convergente. n n 3 +

18 Prueba de la integral Suponga que f es una función continua, positiva y decreciente en [, ) y se a n = f(n). Entonces Si f(x)dx es convergente, entonces a n es convergente. 2 Si f(x)dx es divergente, entonces divergente. a n es Ejemplo.7 Para qué valores de p converge la serie n p?.

19 Solución. Recordemos que x converge si p > y diverge si p. Luego, por la prueba de la integral la serie p n converge si p > y diverge si 0 < p. p La serie del ejemplo se conoce como serie p. Prueba de comparación Suponga que a n y b n son series con términos positivos. Si b n es convergente y a n b n para toda n, entonces a n también converge. 2 Si b n es divergente y a n b n para toda n, entonces an también diverge.

20 Ejemplo.8 Determine si la serie 5 converge o diverge. 2n 2 +4n+3 Solución: Observe que 5 2n 2 + 4n + 3 < 5 (converge por la serie p con p = 2 > ) 2n2 luego por la prueba de comparación Ejemplo.9 5 2n 2 +4n+3 converge. Pruebe la convergencia o divergencia de la serie Solución. Note que ln n >, para n 3. ln n n

21 Prueba de comparación de límites Suponga que a n y b n son series con términos positivos. Si a n lím = c n b n donde c es un número finito y c > 0, entonces ambas series convergen o divergen. Ejemplo.0 Pruebe que la serie 2 n converge o diverge. Solución. Usamos la prueba de comparación de límites con a n = 2 n y b n = 2 n

22 alternantes Una serie alternante es aquella cuyos términos son positivos y negativos alternativamente. Por ejemplo 2 ( ) n n ( ) n n n+ Prueba de la serie alternante Si la serie alternante ( ) n b n = b b 2 + b 3 b 4 + b 5 b 6 + (b n > 0) satisface b n+ b n 2 lím b n = 0 n

23 alternantes Ejemplo. La serie armónica alternante ( ) n n = satisface b n+ b n porque n+ < n 2 lím b n = lím n n n = 0 por tanto la serie converge.

24 Convergencia absoluta Definición.2 La serie a n es absolutamente convergente si la serie de valores absolutos a n converge. Teorema.3 Si una serie a n es absolutamente convergente, entonces es convergente. Ejemplo.2 La serie ( ) n n 2 converge.

25 Prueba de la razón Prueba de la razón Si lím = L <, entonces la serie an es a n+ n a n absolutamente convergente (y por consiguiente convergente). 2 Si lím = L > o lím =, entonces la a n+ n a n a n+ n a n serie a n diverge. 3 Si lím =, la prueba de la razón no decide. a n+ n a n Ejemplo.3 Pruebe la convergencia absoluta de la serie ( ) n n3 3 n.

26 GRACIAS POR SU ATENCIÓN

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