SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
|
|
- José Francisco Robles Domínguez
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Sergio Stive Solano Agosto de 202
2 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Sergio Stive Solano Agosto de 202
3 Si intentamos sumar los términos de una sucesión infinita {a n } obtenemos una expresión de la forma a + a 2 + a a n + la cual se llama serie infinita, o tan sólo serie, y se representa, con el fin de abreviar, mediante el símbolo a n o a n tiene sentido hablar de la suma de una cantidad infinita de término?. Sería imposible calcular una suma finita para la serie n +
4 Si intentamos sumar los términos de una sucesión infinita {a n } obtenemos una expresión de la forma a + a 2 + a a n + la cual se llama serie infinita, o tan sólo serie, y se representa, con el fin de abreviar, mediante el símbolo a n o a n tiene sentido hablar de la suma de una cantidad infinita de término?. Sería imposible calcular una suma finita para la serie n +
5 Si intentamos sumar los términos de una sucesión infinita {a n } obtenemos una expresión de la forma a + a 2 + a a n + la cual se llama serie infinita, o tan sólo serie, y se representa, con el fin de abreviar, mediante el símbolo a n o a n tiene sentido hablar de la suma de una cantidad infinita de término?. Sería imposible calcular una suma finita para la serie n +
6 Si intentamos sumar los términos de una sucesión infinita {a n } obtenemos una expresión de la forma a + a 2 + a a n + la cual se llama serie infinita, o tan sólo serie, y se representa, con el fin de abreviar, mediante el símbolo a n o a n tiene sentido hablar de la suma de una cantidad infinita de término?. Sería imposible calcular una suma finita para la serie n +
7 notamos que las sumas parciales se aproximan a. Ejemplo. Al sumar los términos de la serie n +
8 Usamos una idea similar al ejemplo anterior para determina si una serie tiene una suma. Consideremos las sumas parciales s = a s 2 = a + a 2 s 3 = a + a 2 + a 3 s 4 = a + a 2 + a 3 + a 4 y, en general, s n = a + a 2 + a a n = n i= a i
9 Usamos una idea similar al ejemplo anterior para determina si una serie tiene una suma. Consideremos las sumas parciales s = a s 2 = a + a 2 s 3 = a + a 2 + a 3 s 4 = a + a 2 + a 3 + a 4 y, en general, s n = a + a 2 + a a n = n i= a i
10 Usamos una idea similar al ejemplo anterior para determina si una serie tiene una suma. Consideremos las sumas parciales s = a s 2 = a + a 2 s 3 = a + a 2 + a 3 s 4 = a + a 2 + a 3 + a 4 y, en general, s n = a + a 2 + a a n = n i= a i
11 Definición. Dada una serie a n = a + a 2 + a 3 +, se denotará mediante el símbolo s n a su n-ésima suma parcial: s n = n a i = a + a 2 + a a n i= Si la sucesión {s n } es convergente y si existe el lím s n = s n como un número real, entonces la serie a n se dice convergente y se escribe a + a 2 + a 3 + = s o bien a n = s. El número s se denomina suma de la serie. En caso contario, la serie {s n } se dice divergente.
12 Ejemplo.2 Un ejemplo importante de series infinitas es la serie geométrica ar n = a + ar + ar 2 + la cual converge si r < y su suma es ar n = a r Si r, la serie geométrica diverge. La serie geométrica 2 n converge y su suma es.
13 Ejemplo.3 Demuestre que la serie suma. n(n+) converge, y calcule sus Solución. Calculemos sus sumas parciales. s n = = n i(i + ) = i= ( ) + 2 = n + de modo que n ( i ) i + i= ) ( ( 2 3 ) ( + + n ) n + ( ) n(n+) = lím s n = lím n n n+ =.
14 Ejemplo.4 Demuestre que la serie armónica n = es divergente. Teorema. Si la serie Prueba de la divergencia a n es convergente, entonces lím n a n = 0. a n Si lím a n no existe o lím a n 0, entonces la serie n n diverge.
15 Ejemplo.5 Demuestre que la serie n 2 5n 2 +4 diverge. Teorema.2 Si a n y b n son series convergentes, entonces también los son las series ca n (donde c es una constante), 2 (a n ± b n ), y ca n = c a n (a n ± b n ) = a n ± b n
16 Ejemplo.5 Demuestre que la serie n 2 5n 2 +4 diverge. Teorema.2 Si a n y b n son series convergentes, entonces también los son las series ca n (donde c es una constante), 2 (a n ± b n ), y ca n = c a n (a n ± b n ) = a n ± b n
17 Ejemplo.6 Halle la suma de la serie ( ) 3 n(n+) + 2 n Solución. Tarea Nota. Un número finito de términos no puede afectar la convergencia de una serie. Por ejemplo, supongamos que la serie n n 3 + n=4 es convergente. Entonces, como n n 3 + = n=4 se deduce que toda la serie es convergente. n n 3 +
18 Prueba de la integral Suponga que f es una función continua, positiva y decreciente en [, ) y se a n = f(n). Entonces Si f(x)dx es convergente, entonces a n es convergente. 2 Si f(x)dx es divergente, entonces divergente. a n es Ejemplo.7 Para qué valores de p converge la serie n p?.
19 Solución. Recordemos que x converge si p > y diverge si p. Luego, por la prueba de la integral la serie p n converge si p > y diverge si 0 < p. p La serie del ejemplo se conoce como serie p. Prueba de comparación Suponga que a n y b n son series con términos positivos. Si b n es convergente y a n b n para toda n, entonces a n también converge. 2 Si b n es divergente y a n b n para toda n, entonces an también diverge.
20 Ejemplo.8 Determine si la serie 5 converge o diverge. 2n 2 +4n+3 Solución: Observe que 5 2n 2 + 4n + 3 < 5 (converge por la serie p con p = 2 > ) 2n2 luego por la prueba de comparación Ejemplo.9 5 2n 2 +4n+3 converge. Pruebe la convergencia o divergencia de la serie Solución. Note que ln n >, para n 3. ln n n
21 Prueba de comparación de límites Suponga que a n y b n son series con términos positivos. Si a n lím = c n b n donde c es un número finito y c > 0, entonces ambas series convergen o divergen. Ejemplo.0 Pruebe que la serie 2 n converge o diverge. Solución. Usamos la prueba de comparación de límites con a n = 2 n y b n = 2 n
22 alternantes Una serie alternante es aquella cuyos términos son positivos y negativos alternativamente. Por ejemplo 2 ( ) n n ( ) n n n+ Prueba de la serie alternante Si la serie alternante ( ) n b n = b b 2 + b 3 b 4 + b 5 b 6 + (b n > 0) satisface b n+ b n 2 lím b n = 0 n
23 alternantes Ejemplo. La serie armónica alternante ( ) n n = satisface b n+ b n porque n+ < n 2 lím b n = lím n n n = 0 por tanto la serie converge.
24 Convergencia absoluta Definición.2 La serie a n es absolutamente convergente si la serie de valores absolutos a n converge. Teorema.3 Si una serie a n es absolutamente convergente, entonces es convergente. Ejemplo.2 La serie ( ) n n 2 converge.
25 Prueba de la razón Prueba de la razón Si lím = L <, entonces la serie an es a n+ n a n absolutamente convergente (y por consiguiente convergente). 2 Si lím = L > o lím =, entonces la a n+ n a n a n+ n a n serie a n diverge. 3 Si lím =, la prueba de la razón no decide. a n+ n a n Ejemplo.3 Pruebe la convergencia absoluta de la serie ( ) n n3 3 n.
26 GRACIAS POR SU ATENCIÓN
EJERCICIOS ADICIONALES.
UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR PREPARADURIA DE MATEMATICAS MATEMATICAS 4 (MA-5) Miguel Guzmán (magt_3@hotmail.com) Tema: SUCESIONES EJERCICIOS ADICIONALES..- Considere la sucesión establecida por la relación
Más detallesMA3002. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Sucesiones, Series y Series de Potencias. Departamento de Matemáticas. Convergencia. Resultados.
y y MA3002 y Una sucesión, representada matemáticamente como {z n }, es una función cuyo dominio son los enteros positivos (1, 2, 3, 4,...); en otras palabras, a cada entero n = 1, 2, 3... se le asigna
Más detallesRESUMEN DE TEORIA. Primera Parte: Series y Sucesiones
RESUMEN DE TEORIA Primera Parte: Series y Sucesiones SUCESIONES Definición: La sucesión converge a L y se escribe lim = si para cada número positivo hay un número positivo correspondiente N tal que =>
Más detallesSeries de números complejos
Análisis III B - Turno mañana - Series 1 Series de números complejos 1 Definiciones y propiedades Consideremos una sucesión cualquiera de números complejos (z n ) n1. Para cada n N, sabemos lo que quiere
Más detallesSucesiones Introducción
Temas Límites de sucesiones. convergentes. Sucesiones divergentes. Sucesiones Capacidades Conocer y manejar conceptos de sucesiones convergentes y divergentes. Conocer las principales propiedades de las
Más detallesTEMA 3. SERIES NUMÉRICAS
TEMA 3. SERIES NUMÉRICAS 3.1 DEFINICIÓN DE SERIE DE NÚMEROS REALES Definición: Dada una sucesión de números reales x n, se considera una nueva sucesión s n de la forma : s 1 x 1 s 2 x 1 x 2 s 3 x 1 x 2
Más detallesSucesiones y Suma Finita
Sucesiones y Suma Finita Hermes Pantoja Carhuavilca Centro Pre-Universitario CEPRE-UNI Universidad Nacional de Ingeniería Algebra Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 21 CONTENIDO Convergencia de una sucesión
Más detallessi este límite es finito, y en este caso decimos que f es integrable (impropia)
Capítulo 6 Integrales impropias menudo resulta útil poder integrar funciones que no son acotadas, e incluso integrarlas sobre recintos no acotados. En este capítulo desarrollaremos brevemente una teoría
Más detallesTEMA2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS
TEMA2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS 2.1 SUCESIONES DE NUMEROS REALES 2.1.1 Definición de sucesión de números reales Definición: Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto
Más detallesPara hallar el límite de una sucesión podemos utilizar algunas técnicas como: El concepto de límite de una función:
Tema 3 Sucesiones y Series 3.1. Sucesiones de números reales Definición 3.1.1 Una sucesión de números reales { } es una aplicación que asigna a cad N un número real: : N R a 1, a 2, a 3... son los términos
Más detallesSeries. Capítulo Introducción. Definición 4.1 Sea (x n ) n=1 una sucesión de números reales. Para cada n N. S n = x k = x 1 + x x n.
Capítulo 4 Series 4 Introducción Definición 4 Sea (x n ) n= una sucesión de números reales Para cada n N definimos n S n = x k = x + x 2 + + x n k= La sucesión (S n ) n se conoce como la serie infinita
Más detallesSESIÓN 3 SERIES, SUCESIONES Y LÍMITES
SESIÓN SERIES, SUCESIONES Y LÍMITES I. CONTENIDOS: 1. Sucesiones y series. Idea intuitiva de límite. Ejercicios resueltos.- Estrategias Centradas en el Aprendizaje: Ejercicios propuestos II. OBJETIVOS:
Más detallesSemana 09 [1/28] Sucesiones. 29 de abril de Sucesiones
Semana 09 [1/28] 29 de abril de 2007 Semana 09 [2/28] Definición Sucesión Una sucesión real es una función: f : N R n f (n) Observaciones Para distinguir a una sucesión de las demás funciones, se ocupará
Más detallesMás sobre las series geométricas. 1. Derivación de series geométricas elementales
Semana - Clase 2 4/0/0 Tema : Series Más sobre las series geométricas Las series infinitas se encuentran entre las más poderosas herramientas que se introducen en un curso de cálculo elemental. Son un
Más detallesAnexo C. Introducción a las series de potencias. Series de potencias
Anexo C Introducción a las series de potencias Este apéndice tiene como objetivo repasar los conceptos relativos a las series de potencias y al desarrollo de una función ne serie de potencias en torno
Más detallesCarlos A. Rivera-Morales. Precálculo 2
y Carlos A. Rivera-Morales Precálculo 2 Introducción a y Notación d Tabla de Contenido 1 Definición Sumas Parciales Introducción a y Notación d Tabla de Contenido 1 Definición Sumas Parciales 2 Introducción
Más detallesCÁLCULO II. Grado M+I. Sucesiones y series de funciones. Sucesiones y series de funciones 1 / 27. Grado M+I () CÁLCULO II
CÁLCULO II Grado M+I Sucesiones y series de funciones Sucesiones y series de funciones 1 / Sucesiones funciones. Convergencia puntual Sucesión de funciones Definición Una sucesión de funciones será cualquier
Más detallesDivergencia de sucesiones
Tema 7 Divergencia de sucesiones Nuestro próximo objetivo es prestar atención a ciertas sucesiones no acotadas de números reales, ue llamaremos sucesiones divergentes. Estudiaremos su relación con los
Más detallesÓrdenes de la convergencia de sucesiones. Condiciones de la convergencia lineal y cuadrática del método de iteración simple
Órdenes de la convergencia de sucesiones. Condiciones de la convergencia lineal y cuadrática del método de iteración simple Estos apuntes están redactados por Maria de los Angeles Isidro Pérez y Egor Maximenko.
Más detallesVARIABLE COMPLEJA Y ANÁLISIS FUNCIONAL
VARIABLE COMPLEJA Y ANÁLISIS FUNCIONAL (Curso 00-00) HOJA Ejercicio. Determina en qué recintos es holomorfa la siguiente función: f(x + iy) x + ay + i(bx + cy) En este caso consideramos: u(x, y) x + ay
Más detallesSucesiones y series de números reales
Capítulo 2 Sucesiones y series de números reales 2.. Sucesiones de números reales 2... Introducción Definición 2... Llamamos sucesión de números reales a una función f : N R, n f(n) = x n. Habitualmente
Más detallesCálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas adicionales resueltos
Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) - Problemas adicionales resueltos Calcula el ĺımite lím ( n + n + n + ) n Racionalizando el numerador, obtenemos L lím ( n + n + n (n + n + ) (n + ) + ) lím
Más detallesBLOQUE 5. SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES
BLOQUE 5 SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES Sucesiones de números reales - Límite de una sucesión - Cálculo de límites Series de números reales Progresiones aritméticas y geométricas Series geométricas
Más detallesAproximación intuitiva al concepto de límite de una función en un punto
Aproimación intuitiva al concepto de límite de una función en un punto ) Consideremos el siguiente gráfico Cuando los valores de se aproiman a 8 por la derecha, las imágenes de se acercan a 4 Cuando los
Más detallesLa función, definida para toda, es periódica si existe un número positivo tal que
Métodos con series de Fourier Definición: Función periódica La función, definida para toda, es periódica si existe un número positivo tal que para toda. El número en un periodo de la función. Si existe
Más detallesSUCESIONES INFINITAS
SUCESIONES INFINITAS 1 2 Ejercicio: Cálculo del término general de una sucesión: Encontrar el quincuagésimo término de la sucesión 1, 3, 5, 7,... Es una progresión aritmética de diferencia 2. Su término
Más detallesEVERYDAY ENGINEERING EXAMPLES FOR SIMPLE CONCEPTS
EVERYDAY ENGINEERING EXAMPLES FOR SIMPLE CONCEPTS Arte, finanzas y sucesiones en EXCEL MATH 2252 Calculus II Dra. Carmen Caiseda Copyright 2015 Arte, Finanzas y sucesiones en Excel Engage: MSEIP Engineering
Más detallesFórmula integral de Cauchy
Fórmula integral de Cauchy Comentario: de acuerdo con esta fórmula, uno puede conocer el valor de f dentro del entorno, conociendo únicamente los valores que toma f en el contorno C! Fórmula integral de
Más detallesDerivada de la función compuesta. Regla de la cadena
Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena Cuando en las matemáticas de bachillerato se introduce el concepto de derivada, su significado y su interpretación geométrica, se pasa al cálculo de
Más detallesGrado en Química Bloque 1 Funciones de una variable
Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.7: Aproximación de funciones. Desarrollo de Taylor. Aproximación lineal. La aproximación lineal de una función y = f(x) en un punto x = a es la
Más detallesTeoremas de Convergencia
Capítulo 24 Teoremas de Convergencia El teorema de la convergencia monótona (Lema 21.3) establece ciertas condiciones sobre una sucesión de funciones medibles para que se puedan permutar los símbolos y
Más detallesIntroducción a la Teoría Analítica de Números
Introducción a la Teoría Analítica de Números Pablo De Nápoli clase 3. Ejemplos de funciones generatrices El teorema que vimos la clase anterior sobre el producto de series de Dirichlet permite determinar
Más detallesTema 2 Resolución de EcuacionesNo Lineales
Tema 2 Resolución de Ecuaciones No Lineales E.T.S.I. Informática Indice Introducción 1 Introducción 2 Algoritmo del método de Bisección Análisis del 3 4 5 6 Algoritmo de los métodos iterativos Interpretación
Más detallesIntegración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua.
Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua. 1 1 Departamento de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares. Contenidos 1 Introducción 2 3 4 5
Más detallesCálculo Diferencial e Integral - L Hospital e impropias. Prof. Farith J. Briceño N.
Cálculo Diferencial e Integral - L Hospital e impropias. Prof. Farith J. Briceño N. Ojetivos a curir Regla de L Hospital para formas indeterminadas de la forma e. Integrales impropias: Límites de integración
Más detallesFundamentos Matemáticos. Grado en Ingeniería Informática. Grado en Ingeniería de Computadores. Universidad de Alcalá
Fundamentos Matemáticos Grado en Ingeniería Informática Grado en Ingeniería de Computadores Universidad de Alcalá Francisco Javier Bueno Guillén Óscar Gutiérrez Blanco José Enrique Morais San Miguel Francisco
Más detallesAsí tenemos el siguiente teorema: Sea f una función analítica en un disco Entonces f admite la representación de potencias:
Así tenemos el siguiente teorema: Sea f una función analítica en un disco Entonces f admite la representación de potencias: donde conocida como serie de Taylor (o serie de Maclaurin cuando ). Además la
Más detallesLímite superior y límite inferior de una sucesión
Límite superior y límite inferior de una sucesión Objetivos. Definir las nociones de los límites superior e inferior de una sucesión y estudiar sus propiedades básicas. Requisitos. Supremo e ínfimo de
Más detalles1. Convergencia en medida
FACULTAD CS. FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE MA3801 Teoría de la Medida. Semestre 2009-02 Profesor: Jaime San Martín Auxiliares: Andrés Fielbaum y Cristóbal Guzmán Clase auxiliar 7 21 de Septiembre
Más detallesUna sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos. Podemos denotar una sucesión como una lista
Cap 9 Sec 9.1 9.3 Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos. Podemos denotar una sucesión como una lista a 1, a 2, a 3, a n, Donde cada a k es un término
Más detallesUNIDAD Nº 1: DERIVACION E INTEGRACIÓN. APLICACIONES
Complemento de Matemática UNIDAD Nº : DERIVACION E INTEGRACIÓN. APLICACIONES La derivada Vamos a recordar esta noción que se empezó a estudiar en Matemática de primer año. Definición Sean f una función
Más detallesSucesiones en R n. Ejemplos.-Considerando el espacio R 2 sea la sucesión {x k } 1 dada por x k = ( k, 1 k) podemos listar como sigue:
Sucesiones en R n Definición. Una sucesión en R n es cualquier lista infinita de vectores en R n x, x,..., x,... algunos de los cuales o todos ellos pueden coincidir entre si. Dada una sucesión x, x,...,
Más detallesINTRO. LÍMITES DE SUCESIONES
INTRO. LÍMITES DE SUCESIONES Con el estudio de límites de sucesiones se inaugura el bloque temático dedicado al cálculo (o análisis) infinitesimal. Este nombre se debe a que se va a especular con cantidades
Más detallesSeries y Probabilidades.
Series y Probabilidades Alejandra Cabaña y Joaquín Ortega 2 IVIC, Departamento de Matemática, y Universidad de Valladolid 2 CIMAT, AC Índice general Sucesiones y Series Numéricas 3 Sucesiones 3 2 Límites
Más detallesConvergencia de sucesiones
TEMA 4. CONVERGENCIA DE SUCESIONES 65 Tema 4. Convergencia de sucesiones Definición 5.4.1. Sea X un conjunto: una sucesión en X es una aplicación s : N X; denotaremos x n := s(n) y por S := {x n } n N
Más detallesLÍMITES. REGLA DE L HOPITAL
LÍMITES. REGLA DE L HOPITAL EJERCICIOS RESUELTOS Calcula los valores de k de modo que sean ciertas las siguientes igualdades: k 7 5 k k a) b) 4 7 3 3 a) El límite de una función racional, cuando tiende
Más detallesEjercicios de Análisis I
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS Ejercicios de Análisis I Ramón Bruzual Marisela Domínguez Caracas, Venezuela Febrero 2005 Ramón
Más detallesSoluciones oficiales de los problemas de la Final de la XXI Olimpiada Nacional de Matemática 2009
Soluciones oficiales de los problemas de la Final de la XXI Olimpiada Nacional de Matemática 009 Comisión Académica 1 Nivel Menor Problema 1. Considere un triángulo cuyos lados miden 1, r y r. Determine
Más detallesDefinición. 1. Se define la función logaritmo (neperiano ) por. ln x =
ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. LAS FUNCIONES LOGARITMO Y EXPONENCIAL. A partir de la integral y el Teorema Fundamental del Cálculo podemos definir y demostrar las propiedades de las funciones logaritmo y
Más detalles1) Considera la función f(x) = x2 + 1 para contestar las siguientes preguntas:
LIMITE DE FUNCIONES Tema: Introducción a límite 1) Considera la función f(x) = x2 + 1 para contestar las siguientes preguntas: a) Cuál es el valor de la función si x = 2? b) Cuál es el valor de la función
Más detallesClase 8 Matrices Álgebra Lineal
Clase 8 Matrices Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Matrices Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números denominados entradas
Más detallesProducto de matrices triangulares superiores
Producto de matrices triangulares superiores Ejercicios Objetivos Demostrar que el producto de dos matrices triangulares superiores es una matriz triangular superior Deducir una fórmula para las entradas
Más detallesMétodo de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales parciales elípticas. (Parte II)
Método de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales parciales elípticas (Parte II) Métodos numéricos para sistemas lineales Solución numérica de EDPs requiere resolver sistemas de ecuaciones lineales
Más detalles1. Sucesiones y redes.
1. Sucesiones y redes. PRACTICO 7. REDES. Se ha visto que el concepto de sucesión no permite caracterizar algunas nociones topológicas, salvo en espacios métricos. Esto empieza con algunas definiciones
Más detallesLímites y continuidad
Límites y continuidad Podríamos empezar diciendo que los límites son importantes en el cálculo, pero afirmar tal cosa sería infravalorar largamente su auténtica importancia. Sin límites el cálculo sencillamente
Más detallesSubconjuntos notables de un Espacio Topológico
34 Capítulo 4 Subconjuntos notables de un Espacio Topológico 4.1 Adherencia Definición 4.1.1 (Punto adherente). Sea (X, τ) un espacio topológico, y sea S un subconjunto de X. Diremos que x X es un punto
Más detallesSucesiones y Progresiones. Guía de Ejercicios
. Módulo 5 Sucesiones y Progresiones Guía de Ejercicios Índice Unidad I. Sucesiones Ejercicios Resueltos... pág. 02 Ejercicios Propuestos... pág. 06 Unidad II. Sumatorias de sucesiones Ejercicios Resueltos...
Más detallesVariables aleatorias
Distribuciones continuas Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución continua, o que X es una variable continua, si existe una función no negativa f, definida sobre los números reales,
Más detalles1 Método de la bisección. 1.1 Teorema de Bolzano Teorema 1.1 (Bolzano) Contenido
E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Resumen y ejemplos Tema 3: Solución aproximada de ecuaciones Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña
Más detallesLuis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 97
Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 97 Note que a i representa a una suma desde el primer término de la sucesión i a para i hasta el último término que en este caso es a n para i n. Es decir,
Más detallesTema XIV: SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES XIV.1. Sucesiones. Sucesiones convergentes
Tema XIV: SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES XIV.1. Sucesiones. Sucesiones convergentes 1. Sucesiones DEF. Una sucesión infinita de números reales es una función cuyo dominio es N y su imagen un subconjunto
Más detalles2 ln x dx. Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = dx, entonces u =ln x du = 1 x dx dv = dx v = x y por tanto
Tema 6 Integración Definida Ejercicios resueltos Ejercicio Calcular la integral definida ln x dx Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = dx, entonces u =ln x du = x dx dv
Más detallesInducción Matemática Conjuntos Funciones. Matemática Discreta. Agustín G. Bonifacio UNSL. Repaso de Inducción, Conjuntos y Funciones
UNSL Repaso de Inducción, y Inducción Matemática (Sección 1.7 del libro) Supongamos que queremos demostrar enunciados del siguiente tipo: P(n) : La suma de los primeros n números naturales es n(n+1)
Más detallesEspacios completos. 8.1 Sucesiones de Cauchy
Capítulo 8 Espacios completos 8.1 Sucesiones de Cauchy Definición 8.1.1 (Sucesión de Cauchy). Diremos que una sucesión (x n ) n=1 en un espacio métrico (X, d) es de Cauchy si para todo ε > 0 existe un
Más detallesTaller: Introducción a las Relaciones de Recurrencia.
Taller: Introducción a las Relaciones de Recurrencia. Déboli Alberto. Departamento de Matemática. F.C.E. y N. Universidad de Buenos Aires. Semana de la Enseñanza de la Ciencia. Buenos Aires 15 de julio
Más detallesAplicaciones Lineales y Multilineales Continuas
Capítulo 4 Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas La conexión entre las estructuras vectorial y topológica de los espacios normados, se pone claramente de manifiesto en el estudio de las aplicaciones
Más detalles2 SUCESIONES Y PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
2 SUCESIONES Y PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS Una sucesión es un conjunto ordenado de números, uno a continuación del otro. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es una sucesión de
Más detallesDIVISIBILIDAD NÚMEROS NATURALES
DIVISIBILIDAD NÚMEROS NATURALES MÚLTIPLOS Un número a es múltiplo de otro b cuando es el resultado de multiplicarlo por otro número c. a = b c Ejemplo: 12 es múltiplo de 2, ya que resulta de multiplicar
Más detalles1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS
. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS. Hallar el área de la región limitada por la parábola y = y el eje OX. Los cortes de la gráfica de y = con el eje OX son los valores de tales que =, esto es, = y =. El
Más detallesSeries de Fourier Trigonométricas
Capítulo 4 Series de Fourier Trigonométricas En el capítulo anterior hemos visto que toda función f L ([, ];R) se puede desarrollar en serie trigonométrica de senos y cosenos del tipo a + X (a n cos nx
Más detallesAnálisis de una variable real I. Tijani Pakhrou
Análisis de una variable real I Tijani Pakhrou Índice general 1. Introducción axiomática de los números 1 1.1. Números naturales............................ 1 1.1.1. Axiomas de Peano........................
Más detallesClase No. 20: Integrales impropias MAT 251. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 14
Clase No. 2: Integrales impropias MAT 251 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) 26.11.211 1 / 14 Integrandos con singularidades (I) Cuando el integrando o alguna de sus derivadas de bajo orden
Más detallesNúmeros naturales, principio de inducción
, principio de inducción. Conjuntos inductivos. Denotaremos por IN al conjunto de números naturales, IN {,,, 4, 5, 6,...}, cuyos elementos son suma de un número finito de unos. Recordemos que IN es cerrado
Más detallesCardinalidad. Teorema 0.3 Todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito numerable.
Cardinalidad Dados dos conjuntos A y B, decimos que A es equivalente a B, o que A y B tienen la misma potencia, y lo notamos A B, si existe una biyección de A en B Es fácil probar que es una relación de
Más detallesContinuidad y monotonía
Tema 14 Continuidad y monotonía Generalizando lo que se hizo en su momento para sucesiones, definiremos la monotonía de una función, en forma bien fácil de adivinar. Probaremos entonces dos resultados
Más detalles1 0 4/ 5 13/
1 1 1 7 1 0 4/ 5 13/ 5 R1 R 1+1/5R3 0 0 0 2 R2 R3 0 5 9 22 0 5 9 22 0 0 0 2 Como la matriz tiene un renglón (0, 0, 0, 2) indica que el sistema no tiene solución ya que no existe un número que sea 2 y al
Más detallesy tenemos que f(x) > M < 1 M 1 f(x) < 1 M 3x 5 (x 2) 2 = +
Teorema. Suponga que f() > 0 ( 0 δ, 0 + δ) donde 0 es punto de acumulación del Dom f, Demostración. ( ) Supongamos que esto quiere decir f() = + 0 f() = + 0 0 M > 0 R δ > 0 A con 0 < 0 < δ f() > M si M
Más detalles5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.1. FUNCIONES Y
5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.1. FUNCIONES Y LÍMITES. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2010-2011 5.1.1. Las magnitudes variables: funciones. 5.1.1. Las magnitudes variables:
Más detallesSeries Sucesiones y series en C
Series En este capítulo vamos a estudiar desarrollos en serie de funciones holomorfas, para lo cual vamos en primer lugar a revisar resultados de la teoría de series, adaptándolos a series de términos
Más detallesSe desea estudiar el comportamiento de una función a medida independiente x se aproxima a un valor específico.
Tema: Límites de las funciones Objetivos: Comprender el concepto de límite de una función y las propiedades de los límites. Calcular el límite de una función algebraica utilizando las propiedades de los
Más detallesCONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. DERIVADAS
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. DERIVADAS EJERCICIOS RESUELTOS 3 si Si la función f está definida mediante f (), calcula a y b para que sea a b si > continua. La función es continua en (, ) (, ), pues en
Más detallesEjemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15)
Variable Compleja I (3 o de Matemáticas y 4 o de Doble Titulación) Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (04-5) Teoremas de Cauchy En estos apuntes, la palabra dominio significa, como es
Más detallesRepaso de Matemáticas
Repaso de Matemáticas Teoría Macroeconomica III Marcel Jansen Universidad Autónoma de Madrid En estas notas resumiremos algunas de las herramientas matemáticas que pueden encontrar útiles para este curso.
Más detallesMatriz asociada a una transformación lineal respecto a un par de bases
Matriz asociada a una transformación lineal respecto a un par de bases Objetivos Definir la matriz asociada a una transformación lineal respecto a un par de bases y estudiar la representación matricial
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS. Fracciones continuas, ecuación de Pell y unidades en el anillo de enteros de los cuerpos cuadráticos
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS E.A.P. DE. MATEMÁTICA PURA Fracciones continuas, ecuación de Pell y unidades en el anillo de enteros de los cuerpos cuadráticos
Más detallesBenemérita Universidad Autónoma de Puebla
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Facultad de Ciencias Físico Matemáticas Estudio de la Convergencia de Sucesiones Dobles y Algunas de sus aplicaciones Tesis que para obtener el título de: Licenciada
Más detallesEspacios Vectoriales www.math.com.mx
Espacios Vectoriales Definiciones básicas de Espacios Vectoriales www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 007-009 Contenido. Espacios Vectoriales.. Idea Básica de Espacio Vectorial.................................
Más detallesDistribuciones de Probabilidad Para Variables Aleatorias Continuas
Distribuciones de Probabilidad Para Variables Aleatorias Continuas Departamento de Estadística-FACES-ULA 20 de Diciembre de 2013 Introducción Recordemos la definición de Variable Aleatoria Continua. Variable
Más detallesDistribuciones de Probabilidad
Distribuciones de Probabilidad Variables Aleatorias Ahora se introducirá el concepto de variable aleatoria y luego se introducirán las distribuciones de probabilidad discretas más comunes en la práctica
Más detallesSeries aritméticas. ó La suma de los primeros n términos en una serie se representa por S n. . Por ejemplo: S 6
LECCIÓN CONDENSADA 9.1 Series aritméticas En esta lección aprenderás terminología y notación asociada con series descubrirás una fórmula para la suma parcial de una serie aritmética Una serie es la suma
Más detallesLOS NÚMEROS NATURALES
LOS NÚMEROS NATURALES INDUCCION MATEMÁTICA Existen diversas formas de sistematizar al conjunto de los números naturales y sus propiedades, la axiomática de Peano es aquella en que nos basaremos para deducir
Más detallesTema 11: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas
Tema 11: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas 1. Introducción Las integrales nos van a permitir calcular áreas de figuras no geométricas. En nuestro caso, nos limitaremos a calcular el área
Más detallesTema 8: Aplicaciones. Ecuaciones en. diferencias: modelos en tiempo discreto. 1 Modelo de crecimiento exponencial. 2 Sucesión de Fibonacci
8 de diciembre de 20 Contexto: Bloque de Álgebra Lineal Tema 6. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices. Tema 7. Valores y vectores propios. Tema 8. Aplicaciones del cálculo de los valores y vectores
Más detallesCurso Propedéutico de Cálculo Sesión 2: Límites y Continuidad
y Laterales Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 2: y Joaquín Ortega Sánchez Centro de Investigación en Matemáticas, CIMAT Guanajuato, Gto., Mexico y Esquema Laterales 1 Laterales 2 y Esquema Laterales
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES Dos ecuaciones lineales con dos
de SISTEMAS DE ECUACIONES ES Y MATRICES Dos m con n Sergio Stive Solano 1 Febrero de 2015 1 Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com de SISTEMAS DE ECUACIONES ES Y MATRICES Dos m con n Sergio Stive
Más detalles4.2. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
4.. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas En esta sección estudiaremos tres conceptos básicos sobre funciones. 4... Funciones inyectivas Definición 4.. Sea f una función de en. Diremos que f
Más detallesNotas de Análisis. Dr. Richard G. Wilson Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa comentarios: rgw@xanum.uam.
Notas de Análisis Dr. Richard G. Wilson Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa comentarios: rgw@xanum.uam.mx Marzo del 2005 2 Contenido 1 Topología de espacios métricos
Más detallesSe denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.
6. Sucesiones y series 6.1. Definición de sucesión Sucesiones Definición Sucesión Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Para denotar el n-ésimo elemento
Más detallesLímite de una función
CAPÍTULO 3 Límite de una función OBJETIVOS PARTICULARES. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que eista, el límite de una función mediante la aplicación
Más detalles