Liceo Experimental Bilingüe José Figueres Ferrer. Departamento de Matemática. Prof. Pamela Granados Vargas. Geometría - Undécimo Año

Transcripción

1 Liceo Experimental ilingüe José Figueres Ferrer epartamento de Matemática rof. amela Granados Vargas Geometría - Undécimo ño Unidad 1: írculo y ircunferencia Estudiante Sección

2 írculo y ircunferencia Undécimo ño 1 onceptos ásicos efinición: se llama circunferencia a una curva cerrada cuyos puntos están en un mismo plano y a la misma distancia r del punto fijo, que esta en el centro. ( r es un número positivo) y se denota como ( r, ) efinición: se denomina radio a cualquier segmento cuyos extremos sean un punto de la circunferencia y el centro de está. efinición: La ecuación de una circunferencia de centro (a, b) y radio r, es (x - a) + (y - b) = r, con (x,y) un punto cualquiera de la circunferencia. efinición: se llama cuerda de una circunferencia a un segmento cuyos extremos están en la circunferencia. efinición: se denomina diámetro a la mayor cuerda de la circunferencia, la cual pasa por el centro de ésta. efinición: se denomina círculo o región circular a la reunión de una circunferencia y su interior. efinición: el interior de una circunferencia es el conjunto de puntos coplanares a ésta, que se encuentran a una distancia del centro menor que el radio. Sea (x, y) un punto cualquiera y (x - a) + (y - b) = r la ecuación de una circunferencia de centro (a, b) y radio r, entonces se cumple que: unto Interior unto Exterior unto sobre la circunferencia (x - a) + (y - b) < r (x - a) + (y - b) > r (x - a) + (y - b) = r efinición: se llama secante de una circunferencia a cualquier recta que corta a ésta en dos puntos. efinición: una tangente a una circunferencia, es una recta en el mismo plano que interseca a la circunferencia en un solo punto, el cual se llama punto de tangencia o de contacto. efinición: se dice que una recta es exterior a una circunferencia si se encuentra en el mismo plano que ésta pero no la interseca. n l : cuerda l : secante m : diámetro : radio m: tangente : pto tangencia n: exterior : centro L.E.. José Figueres Ferrer rof. K. amela Granados V.

3 Undécimo ño Sea l una recta cualquiera de ecuación y = mx + b y (x - a) + (y - b) = r la ecuación de una circunferencia de centro (a, b) y radio r. Se sustituye la ecuación de la recta en la de la circunferencia para determinar si éstas se intersecan, para eso se analiza el discriminante de la ecuación resultante de la siguiente manera: Recta secante Recta Tangente Recta Exterior > 0 = 0 < 0 efinición: dos circunferencias son congruentes si sus radios son congruentes. Ejemplos: 1) etermine si los siguientes puntos son interiores, exteriores o se encuentran sobre la circunferencia de ecuación (x - ) + (y + 7) = 8 (,-3) (4,-5) (3,-7) ) etermine si las siguientes rectas son secantes, exteriores o interiores con respecto a la circunferencia de ecuación (x + ) + (y + 1) = y = x + 3 y = -3x - 1 x + y = -1 rcos de la ircunferencia Se llama arco de una circunferencia a una parte de la misma, entonces si y son dos puntos de una circunferencia, el arco se denota bserve que y son extremos de dos arcos distintos de la misma circunferencia, por lo que definimos dos tipos de arco. L.E.. José Figueres Ferrer rof. K. amela Granados V.

4 Undécimo ño 3 efinición: Sea una circunferencia de centro con, y puntos que están en, pero que no son los extremos de un diámetro, entonces: El arco menor es la unión de y con todos los puntos de que se encuentran entre y. El arco mayor es la unión de los puntos, y con todos los puntos de la circunferencia que se encuentran entre y, así como entre y. : centro semicircunferencia semicírculo efinición: Los puntos extremos de un diámetro dividen a la circunferencia en dos arcos congruentes llamados semicircunferencias. efinición: las porciones del círculo limitadas por el diámetro y la semicircunferencia se les denomina semicírculos. Ángulo entral: efinición: un ángulo central de una circunferencia es un ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia y los lados de éste son dos radios de dicha circunferencia. El Q es un ángulo central de la circunferencia de centro Se dice que el Q subtiende al Q. Q Medida de un Ángulo entral La medida en grados de un ángulo central es igual a la medida en grados de su arco menor y viceversa. La medida del arco mayor, en grados, es igual a la diferencia entre 360º y la medida en grados del arco menor. Ejemplo 1: El TR mayor, es un ángulo central de la circunferencia de centro. Si S es bisectriz del TR y el TR mide 85º, cuál es la medida de TS TSR? R/ 37,5º y 75º T R S L.E.. José Figueres Ferrer rof. K. amela Granados V.

5 Undécimo ño 4 Ejemplo : Si la m 17º, determine la medida de. R/ 34º : centro Ejemplo 3: En la figura es el centro de la circunferencia y RQ S. eterminar las medidas respectivas de los arcos RQ, RS RSQ R/60º, 10º y 300º R Q S osiciones Relativas entre dos ircunferencias os o más circunferencias pueden presentar diferentes posiciones entre sí. Exteriores: No tienen puntos en común, es decir no se intersecan. r 1 r d(,) > r 1 + r : centro : centro Interiores: Una de las circunferencias está contenida en la otra. r1 r d(,) < r 1 - r, r 1 > r y : centros oncéntricas: os o más circunferencias son concéntricas si comparten el mismo centro y son coplanares. r 1 r d(,) = 0 : centro de ambas circunferencias L.E.. José Figueres Ferrer rof. K. amela Granados V.

6 Tangentes: Se intersecan en un solo punto, se representan de dos maneras Undécimo ño 5 Tangentes exteriormente: os circunferencias son tangentes exteriormente, si una de ellas se encuentra en el exterior de la otra y se intersecan en un solo punto. r 1 r d(,) = r1 + r y : centros Tangentes interiormente: os circunferencias son tangentes interiormente, si una de ellas se encuentra en el interior de la otra y se intersecan en un solo punto. r 1 r d(,) = r 1 - r, r 1 > r y : centros Secantes: Se intersecan en dos puntos solamente. r r 1 Ejemplo 1: Si dos circunferencias tienen radios cuyas medidas son respectivamente 10cm y 5cm, hallar la medida del segmento de recta que une los dos centros si las circunferencias son 1) Tangentes exteriormente ) Tangentes interiormente 3) oncéntricas 4) istancia entre sí 6cm Ejemplo : verigüe, cuáles de los pares de circunferencias con centros y de radios R r son secantes, tangentes interiormente o exteriormente, concéntricas, interiores o exteriores, según sea el caso. 1) m 11 cm, r 6 cm R 8cm ) m 9 cm, r 8 cm R 18cm 3) d(, ) 6 cm, r cm R 4cm 4) d(, ) 1 cm, r 16 cm R 8cm L.E.. José Figueres Ferrer rof. K. amela Granados V.

7 Undécimo ño 6 Ejemplo 3: En la figura, cada una de las circunferencias con centros, y es tangente a las otras dos. Si 10 cm, 14 cm 18cm, determine la medida del radio de cada circunferencia. R/3, 7,11 Teoremas sobre las relaciones métricas entre segmentos y rectas del círculo Teorema 1: Un radio perpendicular a una cuerda biseca a dicha cuerda y viceversa. : centro Ejemplo 1: En una circunferencia de radio 5cm de longitud, se traza una cuerda que mide 48cm. uál es la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda? R/ 7cm Ejemplo : etermine la distancia del centro de una circunferencia de ecuación (x - 3) + (y - ) = 144 a la cuerda de longitud 8 cm. R/ 8 cm L.E.. José Figueres Ferrer rof. K. amela Granados V.

8 Undécimo ño 7 Ejemplo 3: etermine las coordenadas del centro de una circunferencia, si los puntos (-4.1,.3), (-1.3,5.1), (-4.1,1.7) y (-1.3,-1.1) pertenecen a ella y son los extremos de las cuerdas. R/(-1,) Teorema : Una recta perpendicular a un radio en su punto externo, es tangente a la circunferencia y viceversa. punto externo : centro Ejemplo 1: e acuerdo con los datos de la figura adjunta, si l es tangente a la circunferencia en el exterior del radio que mide 4ul. etermine el valor de x. R/ 1ul l 3x x : centro Ejemplo : etermine la ecuación de la recta tangente a la circunferencia de ecuación (x - 4) +(y +1) =10, si el punto de tangencia entre ambas figuras en (1,-) R/ x + 5y - 5=0 L.E.. José Figueres Ferrer rof. K. amela Granados V.

9 Undécimo ño 8 Ejemplo 3: esde un punto exterior a una circunferencia de centro, se traza una semirrecta cuyo extremo es el punto y que es tangente a la circunferencia en el punto Q. si el punto, está a 16cm del punto Q y el diámetro de la circunferencia es 4cm. etermine la distancia del punto al centro de la circunferencia. R/ 0 Teorema 3: onsidere los segmentos y Q tangentes a una circunferencia de centro en y Q respectivamente que se intersecan en el punto, entonces se cumple que: Q, es decir Las tangentes trazadas desde un mismo punto exterior a una circunferencia, son congruentes. es bisectriz del Q, es decir La recta que une al centro de la circunferencia con un punto exterior, es bisectriz del ángulo que forman las tangentes trazadas por ese punto a la circunferencia. Q Ejemplo 1: e acuerdo con los datos de la siguiente figura, si, Q son tangentes a la circunferencia de centro. Hallar la medida del Q. R/ 8cm Q = 6 cm = 14 cm R L.E.. José Figueres Ferrer rof. K. amela Granados V.

10 Undécimo ño 9 Ejemplo : e acuerdo con la figura adjunta Q son tangentes a la circunferencia de centro. Hallar la m Q, si m Q 35º. R/110º Q Teorema 4: En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, cuerdas de igual medida (congruentes) equidistan del centro y viceversa. E : centro E Ejemplo: En una circunferencia de centro, cuyo radio mide 10cm, trazamos dos cuerdas congruentes. Si la medida de cada una de estas cuerdas es de 16cm, determine la distancia respectiva de cada cuerda al centro de la circunferencia. R/ 6cm Ejemplos: En la figura adjunta, es el centro de la circunferencia y 1) Si m 10cm me 8cm me R/ 4 ) Si m 34cm m 30cm m R/3 34 E 3) Si m 6 cm, m 5cm me me m y m R/ 6 y 30 L.E.. José Figueres Ferrer rof. K. amela Granados V.

11 roposiciones sobre las relaciones métricas en la circunferencia Undécimo ño 10 roposición 1: En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes se cumple que arcos congruentes se oponen cuerdas congruentes y viceversa mayor arco le corresponde mayor cuerda y viceversa. ángulos centrales congruentes se oponen cuerdas congruentes y viceversa ángulos centrales congruentes subtienden arcos iguales. roposición : Todo diámetro perpendicular a una cuerda biseca la cuerda y los arcos que ésta determina. : centro Ejemplo: Una cuerda de 16cm de longitud está a 15cm del centro de la circunferencia, determine la medida del diámetro de la circunferencia. R/34cm roposición 3: Toda tangente es perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia. Ejemplo: e acuerdo con los datos de la siguiente figura, si el radio de la circunferencia es de 8cm, determine el área de la región sombreada, considerando que son rectas tangentes a la circunferencia en los puntos respectivamente. R/ (64 16 )cm roposición 4: rcos comprendidos entre paralelas son congruentes y viceversa : centro L.E.. José Figueres Ferrer rof. K. amela Granados V.

12 Medida de arcos y ángulos en radianes Undécimo ño 11 ara medir un ángulo en radianes, se traza una circunferencia con centro en el vértice del ángulo, para encontrar una relación entre el arco que subtiende a ese ángulo y el radio que se forma con los lados de éste, como se observa en la siguiente figura r r a m = a : centro La medida del ángulo central y la amplitud del arco subtendido en radianes es el cociente entre la longitud del arco en grados y el radio. m longitud arco a radianes longitud radio r onversión de grados a radianes y viceversa Si consideramos un ángulo central cuyo arco subtendido mide lo mismo que su radio tenemos que m longitud arco r 1 rad longitud radio r Si el arco mide el doble que su radio, entonces m r rad y así sucesivamente. r Entonces, cuál sería la medida de una revolución completa de 360º m r rad r El resultado anterior nos permitirá determinar una fórmula para convertir grados en radianes y viceversa, usando proporciones. medida en grd medida en rad 360º Entonces medida en grd medida en rad 180º or lo tanto m grd m rad 180º m rad m grd 180º Ejemplo1: etermine la medida en radianes para los ángulos cuyas medidas respectivas en grados son 1) 30º ) 5º 3) 175º 4) 53º L.E.. José Figueres Ferrer rof. K. amela Granados V.

13 Undécimo ño 1 Ejemplo: etermine la medida en grados para los ángulos cuyas medidas respectivas en radianes son 1) 5 6 ) 3) 3 4) 5 La longitud de un arco omo la longitud de la circunferencia es r y corresponde a una revolución completa (360º) se puede definir la siguiente razón: longitud r amplitud 360º e manera similar se puede establecer la razón para un arco de longitud arbitraria, cuya medida en grados es n º, ie nº Igualando ambas razones obtenemos la proporción r, entonces la longitud del arco esta dada por 360º nº rnº 180º La medida de un arco En una circunferencia de centro, la medida de sus arcos es la siguiente : centro m 360º m m m Ejemplo1: Si un ángulo central de 60º determina un arco en una circunferencia cuyo radio mide 3cm. uál es la longitud de dicho arco? R/ cm L.E.. José Figueres Ferrer rof. K. amela Granados V.

14 Ejemplo: Expresar la fórmula de la longitud de un arco está dada en radianes. Undécimo ño 13 rnº, cuando la amplitud del ángulo central 180º R/ r n Ejemplo 3: Una circunferencia de radio 10dm se ha dividido en 6 arcos congruentes, utilizando la longitud de su radio. Luego se ha trazado las seis cuerdas congruentes definiendo así un hexágono regular inscrito en dicha circunferencia ) Hallar la longitud de cada arco. R / dm 3 3.) Hallar la diferencia entre el perímetro del hexágono y la longitud de la circunferencia. R/,83dm Ángulos en la circunferencia Ángulo Inscrito: es un ángulo formado por dos cuerdas o secantes cuyo vértice se encuentra sobre la circunferencia. Mide en grados la mitad del arco que subtiende m m Ejemplo1: En la figura adjunta el ángulo central alfa mide 70º. uál es la medida del ángulo beta? R/35º L.E.. José Figueres Ferrer rof. K. amela Granados V.

15 Undécimo ño 14 Ejemplo: Hallar la medida en grados de los arcos que subtienden el ángulo menor y el ángulo mayor de los ángulos de un triángulo inscrito en una circunferencia, cuyos ángulos internos subtienden arcos que están en la razón 1::3 R/60º, 10º y 180º Ángulo semi-inscrito: es un ángulo cuyo vértice se encuentra sobre la circunferencia y está formado por una cuerda (puede ser una secante) y una tangente. Mide en grados la mitad del arco que subtiende m m Ejemplo: En la siguiente figura se tiene que es tangente a la circunferencia en, si la m 48º y, halle la medida del. R/ 66º Ángulo exterior: es un ángulo formado por dos tangentes o secantes o bien por una tangente y una secante, cuyo vértice se encuentra en el exterior de la circunferencia. Mide en grados la semidiferencia (mitad de la resta) de los arcos que subtiende m L.E.. José Figueres Ferrer rof. K. amela Granados V.

16 Undécimo ño 15 Si el ángulo exterior está formado por dos tangentes este se denomina ángulo circunscrito a la circunferencia. es un ángulo circunscrito : centro Ejemplo: En la figura son tangentes a la circunferencia en y Q respectivamente, si la m 56º m 8º, determine la medida del ángulo. R/ 68º 8º 56º Q Ángulo interior: es un ángulo formado por dos cuerdas o secantes que se intersecan en el interior de la circunferencia, su vértice se encuentra en el interior de la misma ya que es el punto de intersección entre las cuerdas o secantes. Mide en grados la semisuma de los arcos que subtiende m E E Ejemplo: En la figura adjunta son tangentes en y respectivamente. Si m E 50º, m 170º m 60º, determine la medida del, R/ 85º, 0º, 10º E L.E.. José Figueres Ferrer rof. K. amela Granados V.

17 Undécimo ño 16 Ejemplos 1. En la figura, se tiene que, E F, m 40º, m F 70º y es un diámetro. Halle x y, alpha, beta, gamma y m E R/ 140º x 40º E F 70º y. En la figura, es el centro de la circunferencia, m x m x.etermine la medida del en términos de x. R/ 3x 3. En la figura son tangentes a la circunferencia,, m 40º mef 50º. Halle la m m. R/ 10º F E 4. En la figura se tiene que m 60º m 0º, determine la medida del. R/50º M L.E.. José Figueres Ferrer rof. K. amela Granados V.

18 Teoremas Undécimo ño 17 Teorema 5: Un ángulo cualquiera inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto. : centro Ejemplo: e acuerdo con los datos de la siguiente figura, si = y es un diámetro, cuál es la medida del? R/ 150º : centro Teorema 6: Ángulos inscritos en el mismo arco son congruentes. : centro Ejemplo: onsidere la circunferencia de centro. Si m 35º, hallar la medida de los ángulos y. R/ 35º,70º Teorema 7: Si dos cuerdas se intersecan en el interior de una circunferencia, el producto de los segmentos definidos en una de ellas es igual al producto de los segmentos determinados sobre la otra. E E E E E L.E.. José Figueres Ferrer rof. K. amela Granados V.

19 Undécimo ño 18 Ejemplo: os cuerdas de un círculo se cortan en un punto, la longitud de una de ellas es de 44cm y las longitudes de la otra son 4cm y 16cm. etermine la longitud de las dos partes de la primera cuerda. R/ 1 y 3 Teorema 8: Si una tangente y una secante se intersecan en el exterior de la circunferencia, la tangente es medio proporcional 1 entre la secante y su segmento exterior. Ejemplo: ada la siguiente figura y sabiendo que es tangente, determine 1. si 9 cm 8cm R/ si 8 cm 0cm R/10 41 Teorema 9: Si dos secantes se intersecan en el exterior de una circunferencia, el producto de una de ellas por su segmento exterior es igual el producto de la otra por su segmento exterior E E 1 Si en una proporción los medios o los extremos son iguales, entonces éstos reciben el nombre de medio proporcional. L.E.. José Figueres Ferrer rof. K. amela Granados V.

20 Ejemplo: ada la siguiente figura, determine: Undécimo ño si 6 cm, 15 cm 8cm R/ 45 4 cm. si 4 dm, 16 dm 3dm R/ 1dm 3. si 0 ul, 1 ul 7ul R/ 3ul Ejemplos 1. En una circunferencia se consideran dos cuerdas 1 cm 15cm, las cuales se cortan en el punto medio de. alcule la longitud de los segmentos R/3cm y 1cm. L.E.. José Figueres Ferrer rof. K. amela Granados V.

21 Undécimo ño 0. Si GU es un diámetro de una circunferencia de centro Q, UV GR son rectas tangentes a la circunferencia tales que GV interseca a la circunferencia en W. Si el GW mide el doble que UW y el radio de la circunferencia mide 1cm, calcule la medida de GV. R/ onsidere una circunferencia de centro y 8cm de radio, y otra de centro y 10cm de radio. Si M es un punto en la circunferencia de centro, y N es un punto de de la circunferencia de centro, tales que la MN es tangente a ambas circunferencias. Si 4cm, calcule la medida de MN. R/ En la siguiente figura, es el centro de la circunferencia, además me 70º, m 5º y m E 60º. alcule la medida del arco menor E. R/170º E L.E.. José Figueres Ferrer rof. K. amela Granados V.

22 Undécimo ño 1 5. En la siguiente figura es un diámetro y la es tangente en a la circunferencia de centro E. 3 Si 10 cm, calcule la medida de R/ 8cm E 6. onsidere la circunferencia de centro, en la cual FH E y los arcos menores G GF son congruentes. Si EH 4 cm G 10cm, calcule la medida de FH. R/8cm G F H E Área y perímetro El área de un circunferencia de radio r y diámetro d está dada por dada por r d d 4 r y su longitud viene orciones del círculo efinición: La porción del plano comprendida entre dos circunferencias concéntricas recibe el nombre de corona circular o anillo. Su área se calcula con la fórmula ( R r ) : centro r: radio de la circunferencia menor R: radio de la circunferencia mayor L.E.. José Figueres Ferrer rof. K. amela Granados V.

23 Undécimo ño Ejemplo: El diámetro de un círculo de radio r se aumenta en 6cm. Halle el aumento de su área. R/ 3 (r 1) cm efinición: un sector circular es una fracción del círculo limitada por dos radios y el arco de la º circunferencia que ellos subtienden. Su área se calcula con la fórmula rn 360º : centro r: radio de la circunferencia n o : medida del ángulo central Ejemplo: alcular el área de un sector circular cuyo radio mide 5cm y su arco subtendido tiene una longitud de 16cm. R/ 40cm efinición: la región del círculo limitada por una cuerda y el arco cuyos extremos son los mismos de la cuerda recibe el nombre de segmento circular. : centro r: radio de la circunferencia n o : medida del ángulo central Si el arco menor que forma el segmento circular esta limitado por dos radios, entonces su área es la diferencia entre el área del sector y el triángulo que se forma entre los radios y la cuerda, es decir rn 360 El área del triángulo se puede calcular con cualquiera de las fórmulas conocidas. L.E.. José Figueres Ferrer rof. K. amela Granados V.

24 Undécimo ño 3 Ejemplo: e acuerdo con los datos de la figura adjunta, determine al área sombreada. R/ 4 cm r : centro, r =1cm efinición: la porción de una corona circular comprendida entre dos radios se denomina trapecio circular. Su área se calcula con la fórmula ( R r ) nº 360º : centro r: radio de la circunferencia menor R: radio de la circunferencia mayor n o : medida del ángulo central Ejemplo: e acuerdo con los datos de la figura, si R es el radio de la circunferencia mayor, los radios R rse encuentran en la razón 3: respectivamente y el área de la región sombreada es 45 cm, determine la medida de cada uno de los radios. R/ 18 cm y 7cm Ejemplos 1. Hallar el área de cada una de las siguientes regiones sombreadas. ) m 60º m 10º r 6dm R/ ( )dm L.E.. José Figueres Ferrer rof. K. amela Granados V.

25 Undécimo ño 4 m 1 m 16 m 7cm m 40º r 5cm R/ (100 96)ul R/ 4 cm 9. En la figura, y son centros de las circunferencias menores y E es un diámetro de la circunferencia de centro. Si el área de la región sombreada es 4 cm, calcule la me. R/1cm E L.E.. José Figueres Ferrer rof. K. amela Granados V.

26 Undécimo ño 5 3. En la figura adjunta el es equilátero, la longitud de cada uno de sus lados es de 6cm, los puntos, Q y R son los puntos medios de cada uno de los lados del triángulo. Los arcos Q, R QR tienen como centros los vértices del triángulo. etermine el área y el perímetro de la región sombreada. R/ cm, 3 cm 4. etermine el área de la región sombreada, considerando que las circunferencias tienen centro en el punto medio de los lados de un cuadrado de lado 8cm. R/ (3 64)cm 5. onsidere el siguiente cuadrado de lado 6cm. etermine el área de la región sombreada. R/ (9 18)cm Fuentes: Geometría y Trigonometría 11º, Reinaldo Jiménez Matemática 10º- Enseñanza prendizaje, Roxana Meneses Folleto de Geometría, ITR Matemática para la Enseñanza Media iclo iversificado, UR L.E.. José Figueres Ferrer rof. K. amela Granados V.