SEMANA 5 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y POSICIÓN

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1 Estadístca SEMANA 5 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y POSICIÓN

2 LOGRO DE APRENDIZAJE: Al fnalzar la sesón, el estudante estará en la capacdad de calcular e nterpretar meddas de tendenca central y poscón de un conjunto de datos sn agrupar y agrupados en tablas de frecuencas.

3 Meddas Estadístcas Frequency Meddas de Poscón o de Tendenca Central: son meddas estadístcas que representan el centro de la dstrbucón o la poscón de un conjunto de datos. 16 Frequency Meddas de Varabldad: son meddas estadístcas que muestran que tan concentrados o dspersos están los datos Frequency Meddas de Asmetría: son meddas estadístcas que muestran la dreccón de la dspersón de los datos respecto a su centro

4 Meddas de Resumen más usadas Meda Artmétca: Medana: Moda: NOTACIÓN M ( x) x Me Mo Percentles (o cuántles): P k

5 Meddas de Tendenca Central Meda Artmétca Es la suma de todas las observacones de una poblacón o muestra dvdda entre el tamaño de la poblacón o muestra. Meda poblaconal: Meda Muestral: Para calcular la meda artmétca muestral veamos prmero s los datos están agrupados (en una tabla de dstrbucón de frecuencas) o s son datos no agrupados. Meda de datos no agrupados X n X N X 1 Desventaja de la Meda Artmétca: Se ve afectada por valores extremos. N 1 X 1 n n Meda de datos agrupados k X f x k 1 x h

6 Meda Artmétca EJEMPLO 1: DATOS NO AGRUPADOS Los sguentes datos muestran el ngreso mensual (en soles) de 7 técncos en enfermería entrevstados de la empresa Omega: 1,540 1,450 1,320 1,280, 1,300, 1,480, 1,500 Calcular la meda artmétca del ngreso mensual o el promedo del ngreso mensual en este grupo de trabajadores de la empresa Omega. n X X = 1, , , ,280 +1,300 1 n +1,480 +1,500 =1,410 Interpretacón.- El ngreso promedo de los técncos en enfermería de la empresa Omega selecconados en la muestra, es: 1,410 soles.

7 7 EJEMPLO 2: VARIABLE DISCRETA La sguente tabla muestra la nformacón correspondente al número de hjos por famla para una muestra de 50 famlas. Calcular la meda artmétca. Número de hjos (X ) Número de famlas (f ) n= 50 X.f Total=127 X k 1 (0)(4) (1)(8) (6)(2) Xf 2.54 hjos. n 50 1 X k X f n 2.54

8 EJEMPLO 3: DATOS AGRUPADOS (VARIABLE CONTINUA) x La sguente tabla presenta nformacón correspondente al saldo en una muestra de 50 lbretas de ahorro. Calcular la meda artmétca. Saldo en lbretas (en mles de Soles) k 1 x n f X Número de lbretas (f ) F h H X.f [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ] TOTAL (1.55)(5) + (3.85)(8) +...+(15.35)(2) = mles de Soles 50 8 X k X f n 7.254

9 EJEMPLO 4: DATOS AGRUPADOS (VARIABLE CONTINUA) El ngreso de 100 famlas resdentes en el dstrto de la Molna, elegdas aleatoramente, ha sdo organzado en la sguente tabla de dstrbucón de frecuencas: a) Calcule el ngreso famlar promedo. x k 1 x n f Ingreso famlar mensual (Soles) X Número de famlas (f) Xf [4,000 6,000 > 5, ,000 [6,000 8,000 > 7, ,000 [8,000 10,000 > 9, ,000 [10,000 12,000 > 11, ,000 [12,000 14,000> 13, ,000 [14,000 16,000 > 15, ,000 [16,000 18,000> 17, ,000 n = , ,000 = 11,440 Soles 100

10 Medana La Medana, es aquel valor que dvde a las observacones ordenadas o tabuladas en dos partes aproxmadamente de gual tamaño de modo que el 50% de valores son guales o menores que el, y el otro 50% son mayores o superores a el. x 1 x 2 Propedades 50% 50% Me x 3 x n ( Datos ordenados) La medana es únca y sempre exste. No es afectada por los valores extremos. Esta propedad es conocda como robustez, sgnfca que la medana debe ser utlzada en lugar de la meda cuando se tenga datos con valores extremos que afectan a la meda. La medana puede asumr cualquer valor real.

11 Medana Datos no agrupados y datos dscretos Suponga que se tenen los sguentes datos: X, X, 2, 1 X n ordenados del sguente modo: entonces: X 1 X 2 X n Me X X n1 ( ) 2 n ( ) 2 2 X n ( 1) 2 s n es s mpar n es par

12 EJEMPLO: MEDIANA DATOS NO AGRUPADOS Calcular la medana para los sguentes conjuntos de datos En el prmer conjunto, la medana es X 4 9 y en el segundo conjunto X X

13 EJEMPLO: MEDIANA DATOS DISCRETOS La sguente tabla muestra la nformacón correspondente al número de hjos por famla para una muestra (n) de 50 famlas. Calcular la medana. Número de hjos (X ) Número de famlas (f ) Frecuenca acumulada (F ) Como n es par, la fórmula a utlzar es: m e n 2 X X X X hjos m e X 2 X n 1 2 Interpretacón.- Las famlas con frecuenca tenen 3 hjos aproxmadamente

14 Medana Datos contnuos agrupados S los datos están agrupados en una tabla de frecuencas de k categorías, el cálculo de la medana será el sguente: m e LI n F 2 f TIC LI ( 1) 5 0. H h ( 1) TIC donde es el número del ntervalo que contene a la medana. Cómo ubcar el Intervalo que contene a la Medana? Es el prmer ntervalo cuya frecuenca absoluta acumulada es gual o mayor a la mtad de observacones; o tambén es el prmer ntervalo cuya frecuenca relatva acumulada se gual o mayor al valor 0.5 (50% de los datos) Es decr, ubcar el prmer ntervalo donde: F n 2 ó H 0.5

15 15 EJEMPLO: MEDIANA DATOS CONTINUOS AGRUPADOS La sguente tabla presenta nformacón correspondente al saldo en una muestra de 50 lbretas de ahorro. Calcular la medana. Saldo en lbretas (en mles de Soles) X Númer o de lbretas (f ) F h H [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ] F me LI 3 TIC f3 14 H 0.5 La medana pertenece a la tercera categoría ya que esta contene una frecuenca relatva acumulada de 0.54 ( a la frecuenca relatva acumulada de 0.5). (31) mles de soles.

16 16 Moda Es el valor ó categoría que ocurre con mayor frecuenca en un conjunto de datos o en una sere de medcones. A dferenca de la meda y de la medana, la moda se puede hallar tambén de datos cualtatvos. Un conjunto de datos puede ser: unmodal, bmodal, multmodal o no tener moda. No se ve afectada por valores extremos.

17 EJEMPLO: MODA DATOS NO AGRUPADOS Se tene el Ingreso famlar de un grupo de famlas Mo =1300 (Unmodal) El ngreso modal es 1300 Soles Mo = 1200 y Mo = 1400 (Bmodal) (No hay moda)

18 EJEMPLO: MODA DATOS CUALITATIVOS Estado cvl de un grupo alumnos de la Escuela de Negocos S, C, S, C, S, C, S,C, S, S, S, S, S (S : soltero C : Casado) Mo = Soltero La mayoría de alumnos entrevstados son solteros.

19 EJEMPLO: MODA DATOS CUALITATIVOS El número de productos venddos en una cadena de empresas de artefactos eléctrcos durante el mes de dcembre del 2010, es como sgue: Producto Cantdad Televsores 50 Planchas 35 Lcuadoras 45 Mcroondas 12 La moda es: Mo= Televsores Interpretacón.- La cadena de artefacto eléctrcos con frecuenca vende televsores.

20 EJEMPLO : MODA DATOS DISCRETOS Calcular la moda para la varable número de hjos por famla, consderando una muestra de 50 famlas. Para la varable número de hjos, la moda es 3 hjos (es la categoría con mayor frecuenca, en este caso, una frecuenca de 15). Número de hjos (X ) Número de famlas (f )

21 Moda Datos agrupados contnuos S los datos están agrupados en una tabla de frecuenca con k categorías, la moda de la dstrbucón puede aproxmarse con la sguente expresón: m o LI d 1 d 1 d 2 TIC donde es el número del ntervalo que contene a la moda (ntervalo con mayor frecuenca), d 1 = f f -1 y d 2 = f f +1 Alternatvamente, d 1 y d 2 pueden defnrse por d 1 = h h -1 y d 2 = h h +1

22 EJEMPLO: MODA DATOS CONTINUOS AGRUPADOS Calcular la moda para la varable saldo en una muestra de 50 lbretas de ahorro. Saldo en lbretas (en mles de Soles) X Número de lbretas (f ) F h H [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ] Para la varable saldo en lbretas de ahorro, la moda se encuentra en la categoría 3, pues es la categoría con mayor frecuenca absoluta. Entonces se tene que: d 1 = f f d -1 d 1 = 14 8= 6 2 = f f +1 d 2 = 14 11= 3 d mles de soles mo LI 3 TIC d1d2

23 Relacón entre meda, medana y moda Un dstrbucón es smétrca s: X Me Mo X Me Mo

24 Relacón entre meda, medana y moda Una dstrbucón tene asmetría postva o es asmétrca de cola a la derecha s: X Me Mo Mo Me X

25 Relacón entre meda, medana y moda Una dstrbucón tene asmetría negatva o es asmétrca de cola a la nquerda s: X Me Mo

26 Meddas de Poscón no Central Los cuantles son utlzados para dvdr a un conjunto de datos ordenados en q subconjuntos de gual tamaño; los cuantles son los valores que determnan los límtes entre estos subconjuntos consecutvos. Cuantl Algunos cuantles recben nombres especales: Cuantles 4 son llamados cuartles. Cuantles 10 son llamados decles. Cuantles 100 son llamados percentles. Observacón: la medana es un cuantl, y corresponde al cuartl 2, al decl 5 y al percentl 50.

27 Cuartles Son valores que resultan ser casos partculares de los cuantles y que dvden al conjunto de observacones en 4 partes que contenen el msmo porcentaje de observacones. Tenemos en total tres cuartles : Cuartl 1 (Q 1 ), cuartl 2 (Q 2 ) y cuartl 3 (Q 3 ). Q 1 Q 2 Q 3 25% 25% 25% 25% Tambén Q 1 = P 25 Q 2 =P 50 =Me Q 3 =P 75. Donde: Q 3 - Q 1 = Rango ntercuartílco (aquí se encuentra el 50% de la muestra)

28 Percentl El percentl P q es el valor de la varable que dvde a un conjunto ordenado de observacones en un q % menores que P q y un (100 q) % mayores que P q Los Percentles Pq, permten dvdr a los datos en cen partes aproxmadamente guales, cada uno de los cuales contene el 1% de los datos. En total tenemos 99 percentles. P 1 : Percentl 1 P2: Percentl 2 P 99 : Percentl 99

29 PARA DATOS NO AGRUPADOS El percentl P q se calcula de la sguente manera: 1. Se ordenan los datos en forma ascendente. 2. Hallar la poscón del percentl buscado; esto es: Poscón Percentl q: Xn 1 q Luego ubcar el Percentl en la poscón ndcada s esta es un número entero y s no lo es calcularla en forma proporconal de la sguente manera: P q 0. 1 P X d X X q E E E Donde: E es la parte entera de y d es la parte decmal. MINITAB: Cal / Calculator / percentle (number, probablty) varable Valor de q% 29

30 Meddas de Poscón no Central Percentl PARA DATOS AGRUPADOS: P q LI nq 100 f F ( 1) TIC

31 EJEMPLO: PERCENTIL DATOS NO AGRUPADOS Consdere los sguentes datos para la varable volumen de venta en mles de soles regstrada en una muestra (n) de 36 establecmentos Calcule lo sguente: a) Percentl 62. Como no es un no. entero, entonces usar: P X 0. d X X 1 q E E E 0.94 P X X X X X mles de soles.

32 b) Percentl 30 c) Cuartl 3 P X X X 0.1 X X mles de soles. Q 3 = 0.75 P X X X X X mles de soles. d) Cuartl 1 X X Q 1 = P 25 = X 9.25( X X ) = ( ) = 4.85

33 EJEMPLO: PERCENTIL DATOS CONTINUOS AGRUPADOS A contnuacón de muestra los tempos de alquler (en mnutos) de computadoras que un grupo de personas realzaron en la avenda Wlson durante el últmo fn de semana. Tempos de alquler de computadoras (en mnutos) X Número de usuaros (f ) F h H [0 20> [20 40> [40 60> [60 80> [80 100> Total Fuente: Estadístca descrptva y probabldades (2012). Autores: Chue J., Barreno E., Castllo C., Mllones R, Vásquez F. Unversdad de Lma, Fondo de desarrollo Edtoral.

34 Se Pde Calcular: a)el valor mínmo del tempo correspondente al 25% de las personas que más tempo alqulan computadoras. b)el valor máxmo del tempo correspondente al 25% de las personas que menos tempo alqulan computadoras. c)el valor máxmo del tempo del 60% de las personas que menos tempo alqulan computadoras. d)el tempo tal que por encma se encuentra el 45% de las observacones.

35 a) La cuarta clase es la que tene el 75% de observacones o más acumuladas, porque H = P q LI nq 100 F f ( 1) TIC 60x75 37 = P Q El valor de P Q Interpretacón: El 75% de las personas que alqulan computadoras se demoran menos de 70 mnutos y el 25% se demora más de 70 mnutos.

36 b) La segunda clase es la que tene el 25% de observacones o más acumuladas, porque F = P q LI nq 100 F f ( 1) TIC = P Q 20 60x El valor de P Q Interpretacón: El 25% de las personas que alqulan computadoras se demoran menos de mnutos y el 75% se demora más de mnutos.

37 c) La tercera clase es la que tene el 60% de observacones o más acumuladas, porque F = P q LI nq 100 F f ( 1) TIC 60x60 17 = P El valor de: P Interpretacón: El 60% de las personas que alqulan computadoras se demoran menos de 59 mnutos y el 40% se demora más de 59 mnutos.

38 d) La tercera clase es la que tene el 55% de observacones o más acumuladas, porque F = P q LI nq 100 f F ( 1) TIC = P 40 60x El valor de: P Interpretacón: El 55% de las personas que alqulan computadoras se demoran menos de 56 mnutos y el 45% se demora más de 56 mnutos.

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