PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 5 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A

2 De la función f : R R definida por f ( ) = a + b + c + d se sabe que tiene un máimo en =, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa = y tiene un punto de infleión en el punto de abscisa =. Calcula a, b, c y d sabiendo, además, que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = tiene pendiente 9. MATEMÁTICAS II. 5. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A. Al ser polinómica la función f ( ) = a + b + c+ d su dominio es R, por lo tanto, es continua y derivable en R. Calculamos su derivada primera y segunda: f '( ) = a + b+ c ; f ''( ) = 6a+ b Máimo en = f '( ) = a b+ c= Corta al eje OX en = f ( ) = 8a+ 4b c+ d = Punto de infleión en = f ''() = b= La tangente en = tiene de pendiente 9 f '() = 9 a+ 4b+ c= 9 a b+ c= 8a+ 4b c+ d = Resolviendo el sistema formado por las 4 ecuaciones que hemos obtenido: b= a+ 4b+ c= 9 Resulta: a= ; b= ; c= ; d =

3 + Sea f la función definida para por f ( ) =. a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus etremos relativos o locales (puntos en los que se obtiene y los valores que alcanza la función). c) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 5. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) El dominio de la función f() es R { } Asíntotas Verticales: La recta = es una asíntota vertical ya que lim f ( ) =± Asíntotas Horizontales: No tiene ya que lim f ( ) = + Asíntota Oblicua: La ecuación es y = m + n : + lim m= = lim = ; n= lim lim lim = = = Luego es: y = b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: y ' = ; y '= = ± (, ) (,) (,) (, ) Signo y ' + + c) Función C D D C Máimo(, ) No eiste mínimo(,)

4 Sea f la función definida para por f ( ) =. a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Determina los intervalos de concavidad y de conveidad de f. d) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 5. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. e a) El dominio de la función f() es R { } Asíntotas Verticales: La recta = es una asíntota vertical ya que lim f ( ) =± e e Asíntotas Horizontales: lim f ( ) = = = lim = No tiene + + e lim f ( ) = = = y= Luego, y = es una asíntota horizontal cuando Al tener asíntota horizontal, no tiene asíntota oblicua. e ( ) b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: y ' = = = ( ) (,) (,) (, ) Signo y ' + Función D D C No eiste mínimo (, e ) c) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: e ( 4+ 5) y '' = = No ( ) (,) (, ) Signo y ' + Función Cn C No eiste

5 d)

6 Determina los puntos de la parábola de ecuación y = 5 que están más próimos al origen de coordenadas. Calcula la distancia entre los puntos obtenidos y el origen de coordenadas. MATEMÁTICAS II. 5. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Cualquier punto P de la parábola tendrá de coordenadasp= ( a,5 a ), y el origen de coordenadas es el punto O= (,). Queremos que sea mínima la distancia entre estos dos puntos, luego tiene que ser mínimo el módulo del vector que une esos dos puntos. = (,5 ) OP a a D a a a a 4 min = + (5 ) = a 8a D ' min = = = ; = ; = 4 a 9a + 5 Calculamos la segunda derivada para ver que valor de los obtenidos corresponde al mínimo. D '' = a a + a ( a 9a + 5) 4 9 D ''() = < Máimo 5 D 6 9 '' = > 9 mínimo 6 9 D '' = > 9 mínimo Luego los puntos que están a mínima distancia son: P =, yp, = La distancia es: 9 u

7 α sen Se sabe que lim es finito. Determina el valor de α y calcula el límite. MATEMÁTICAS II. 5. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. αsen Como lim =, le aplicamos la regla de L Hôpital αsen α cos α lim = = lim = Como nos dicen que el límite es finito deberíamos haber obtenido, con lo cual, α= α= Ahora, calculamos cuanto vale el límite para α= α sen α cos α sen lim = = lim = = = lim = =

8 Considera las tres funciones cuyas epresiones respectivas vienen dadas, para, por f ( ) = ; g( ) = e y h( ) = Ln siendo Ln la función logaritmo neperiano. a) Halla las ecuaciones de las asíntotas de las gráficas de f, g y h. b) Identifica, entre las que siguen, la gráfica de cada función, justificando la respuesta. Gráfica Gráfica Gráfica Gráfica 4 MATEMÁTICAS II. 5. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. El dominio de la función f() es R { } Asíntotas Verticales: La recta = es una asíntota vertical ya que Asíntotas Horizontales: No tiene ya que lim f ( ) = + Asíntota Oblicua: La ecuación es y = m + n : Luego es: y= lim f ( ) =± m lim + = = lim = ; n= lim lim lim = = = Por lo tanto, su dibujo corresponde a la gráfica 4. El dominio de la función g( ) es R { } Asíntotas Verticales: La recta = es una asíntota vertical ya que Asíntotas Horizontales: lim g( ) e ± = =, luego es y= Asíntota Oblicua: No tiene, ya que tiene asíntota horizontal. Por lo tanto, su dibujo corresponde a la gráfica. El dominio de la función h( ) es R { }. Asíntotas Verticales: La recta = es una asíntota vertical ya que Asíntotas Horizontales: No tiene ya que lim h( ) = + Asíntota Oblicua: No tiene, ya que tiene asíntota horizontal. ln m= lim = lim = No tiene Por lo tanto, su dibujo corresponde a la gráfica. lim g( ) =+ + lim h( ) =

9 a + b De la función f : (, + ) R definida por f ( ) = se sabe que la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa = viene dada por y=. a) Calcula a y b. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. MATEMÁTICAS II. 5. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Calculamos la derivada de la función. a ( a + b) a b f '( ) = = La recta tangente en = tendrá de ecuación: y f () = f '() ( ) y como nos dice el enunciado que esta recta es y=, se tiene que cumplir que: a+ b = f () = a= ; b= f '() = a b = + b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: y ' = ; y '= = ± Como el dominio dice que es (, + ), sólo tomamos el valor = (,) (, ) Signo y ' + Función C D Máimo (, )

10 4 + Sea f la función definida para por f ( ) = R E S O L U C I Ó N a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Calcula, si eisten, el máimo y el mínimo absolutos de f en el intervalo [; ) (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). MATEMÁTICAS II. 5. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) El dominio de la función f() es R { } Asíntotas Verticales: La recta = es una asíntota vertical ya que lim f ( ) =± Asíntotas Horizontales: No tiene ya que lim f ( ) = + Asíntota Oblicua: La ecuación es y = m + n : 4+ 4 lim + m= = lim = ; n= lim lim lim = = = Luego es: y= b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: 4+ 5 y ' = ; y ' = ( ) NO (, ) (, ) Signo y ' + + Función C C Luego la función es creciente en su dominio. c) Los etremos absolutos se pueden alcanzar en los puntos donde la función no es continua, donde no es derivable o en los etremos del intervalo [, ). En nuestro caso la función f ( ) es continua y derivable en. Luego sólo tenemos que estudiar en el punto =. En este punto tiene un mínimo absoluto y vale f () =

11 5+ 8 Sea f : R R la función definida por f ( ) = + + a) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes coordenados. b) Halla las asíntotas de la gráfica de f. c) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus etremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). d) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 5. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Punto de corte eje X y= = + ; =, Punto de corte eje Y = y= ; y= 8 (,8) b) El dominio de la función f() es R Asíntotas Verticales: No tiene Asíntotas Horizontales: lim f ( ) = lim = y= Asíntota Oblicua: No tiene ya que posee asíntota horizontal. c) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: y ' = = = y 5 6 ( + + ) 5 (, ) (, /5) ( /5, ) Signo y ' + d) Función D C D mínimo(, ) 5 Máimo, 5

12 De un terreno se desea vender un solar rectangular de.8 m dividido en tres parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo. Si se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas), determina las dimensiones del solar para que la longitud de la valla utilizada sea mínima. MATEMÁTICAS II. 5. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B. Llamamos a la longitud e y al ancho del solar. Paso : Escribimos la función que queremos que sea mínima: Lmin = + 4y Paso : Escribimos la relación entre las variables:.8 y=.8 ; y= Paso : Sustituimos:.8 5. Lmin = + 4y= + 4 = + 5. Paso 4: Derivamos e igualamos a cero: L ' min = = =± 6 Paso 5: Calculamos la ª derivada..4 L''( = 6) = '5 mínimo L '' = L''( = 6) = '5 Máimo Luego las dimensiones del solar son = 6 m ; y = 8 m

13 Sea f : R R la función definida por f ( ) = ( ) e a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula, si eisten, sus etremos relativos o locales y sus etremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). c) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 5. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. ( ) a) La funciónf ( ) =, no tiene asíntota vertical ya que no hay ningún valor de que anule el e denominador. Vamos a ver si tiene asíntota horizontal ( ) ( ) lim = = lim = = lim = = e e e Por lo tanto, la asíntota horizontal es y=. Como tiene asíntota horizontal, no puede tener asíntota oblicua. ( ) e ( ) e + 4 b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: y ' = = ( e ) e y ' = = ; = (,) (,) (, ) Signo y ' + Función D C D mínimo (,) Máimo (,4 e ) El punto (,), además de ser el mínimo relativo, es el mínimo absoluto. La función no tiene máimo absoluto.