DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD: BINOMIAL Y NORMAL

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1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD: BINOMIAL Y NORMAL Ejercicio nº.- Extraemos tres cartas de una baraja y anotamos el número de ases. Haz una tabla con las robabilidades y calcula la media y la desviación tíica. Los osibles valores de x i son 0,,,3. La tabla de la distribución de robabilidad es la siguiente: Calculamos la media y la desviación tíica: μ Σ i x 0,3 μ 0,3 i i σ Σ i x μ 0,36 0,09 0,7 0,5 σ 0,5 Ejercicio nº.- Para cada una de las situaciones que se te roonen a continuación, di si se trata de una distribución binomial y, en caso afirmativo, identifica los valores de n y : a) Se calcula que el 5% de los niños que nacen son varones. En una oblación de 00 recién nacidos, nos reguntamos or el número de niñas que hay. b) Un examen tio test tiene 30 reguntas a las que hay que resonder verdadero o falso. Para un alumno que conteste al azar, nos interesa saber el número de resuestas acertadas que tendrá. a) Es una distribución binomial con n 00, 0, 49 B b) Es una distribución binomial con n 30, B 30, ( 00; 0,49) Ejercicio nº 3.- Una urna contiene 5 bolas rojas, 3 blancas y verdes. Extraemos una bola, anotamos su color y la devolvemos a la urna. Si reetimos la exeriencia 5 veces, calcula la robabilidad de sacar:

2 a) Alguna bola verde. b) Menos de dos bolas verdes. Halla el número medio de bolas verdes extraídas. Calcula también la desviación tíica. Si llamamos x "número de bolas verdes extraídas", se trata de una distribución binomial con n 5, 0, B( 5; 0,) 0 a) 5 [ x > 0] [ x 0] 0,8 0,67 [ x > 0] 0, 67 b) 5 4 [ x < ] [ x 0] + [ x ] 0, , 0,8 0,737 [ x < ] 0, 737 Hallamos la media y la desviación tíica: μ n 5 0, bola verde ( or término medio) μ σ nq 5 0, 0,8 0,89 σ 0,89 Ejercicio nº 4.- La función de densidad de una variable continua, x, viene dada or: ( ) f x 0 si x < 0 x si 0 x 4 si < x 3 0 si x > 3 a) Rereséntala gráficamente. b) Calcula P x < y P x 4. [ ] [ ] a) La gráfica es la siguiente: b) El area bajo la curva es. P [ x < ] es el área de un triángulo de base y altura es. Por tanto: P[ x < ] P[ 0 x ] P[ x < ]

3 P [ x 4] es el área de un rectángulo de base y altura. Por tanto: P[ x 4] P[ x 3] P[ x 4] Ejercicio nº 5.- Halla las siguientes robabilidades en una distribución N(0, ): [ < ] [ 0,6 < z,34] [, <,] a) z,73 b) < c) z < [ <,73] [ z >,73] [ z <,73] 0,958 0, 048 a) z [ 0,6 < z <, 34] [ z <,34] [ z < 0,6] 0, , 734 0, 775 b) [, < z <, ] ( [ z <, ] 0,5) ( 0,8849 0,5) 0, 7698 c) Ejercicio nº 6.- La edad de un determinado gruo de ersonas sigue una distribución N(35, 0). Calcula la robabilidad de que una ersona de ese gruo, elegido al azar, tenga: a) Más de 40 años. b) Entre 3 y 47 años. x a) z 0 0 z 0,5 0,695 0, [ x > 40] > [ > 0, 5] [ ] 3085

4 b) 3 35 x z 0,8849 0,5 0, [ 3 < x < 47] < < [, < <, ] ( ) 7698 Ejercicio nº 7.- En una distribución N(5, 6), halla el valor de k en cada caso: [ x < k] 835 [ x > k] 006 a) 0, b) 0, x 5 k 5 k 5 a) k 5 0,96 k 0, x 5 k 5 k 5 b) [ x > k] > z > [ x < k] < z < 0, 835 k 30,76 k 5 k 5 z 0, 006 z 0, k 5,5 k, k 40 6 Ejercicio nº 8.- Un examen de 00 reguntas admite como resuesta en cada una de ellas dos osibilidades, verdadero o falso. Si un alumno contesta al azar, calcula la robabilidad de que acierte más de 60 resuestas. Si llamamos x " número de resuestas acertadas", entonces x es una binomial con n 00,, en la que tenemos que calcular: [ x > 60 ] (La media de x es n 50. Su desviación tíica es nq ). 5 La calculamos aroximando con una normal: x es B 00, x' es N ( 50, 5) z es N( 0, ) 60, [ x > 60] [ x' 60,5] z [ z, ]

5 [ <,] 0,98 0,079 [ > 60] 0, 079 z x Ejercicio nº 9.- Lanzamos tres dados y anotamos el número de cincos que obtenemos. a) Cuál es la distribución de robabilidad? b) Calcula la media y la desviación tíica. a) Los osibles valores de x i son 0,,, 3. La tabla de la distribución de robabilidad es la siguiente: 08 b) μ Σ x i i 0,5 μ 0, σ Σ i xi μ 0,65 σ 0, Ejercicio nº 0.- En cada una de estas situaciones, exlica si se trata de una distribución binomial. En caso afirmativo, di cuáles son los valores de n y : a) El 3% de las chinchetas que se hacen en una determinada fábrica salen defectuosas. Se emaquetan en cajas de 0 chinchetas. Estamos interesados en el número de chinchetas defectuosas de una caja elegida al azar. b) En una urna hay bolas rojas, 3 blancas y verdes. Extraemos una bola, anotamos su color y la devolvemos a la urna. Reetimos la exeriencia 0 veces y estamos interesados en saber el número de bolas de cada color que hemos obtenido. ( 0; 0 03) a) Es una distribución binomial con n 0, 0,03 B, b) No se trata de una binomial, ya que tenemos más de dos resultados osibles: rojo, blanco, verde. Ejercicio nº.- Lanzamos un dado siete veces y vamos anotando los resultados. Calcula la robabilidad de obtener:

6 a) Algún tres. b) Más de cinco treses. Halla el número medio de treses obtenidos y la desviación tíica. Si hallamos x "número de treses obtenidos", se trata de una distribución binomial con n 7, B 7, 6 6 a) 5 6 [ x > 0] [ x 0] 0,7 [ x > 0] 0, 7 [ x > 5] [ x 6] + [ 7] b) x , 0009 x Hallamos la media y la desviación tíica: 7 μ n 7,7 μ, σ nq 7 0,986 σ 0, [ > 5] 0, 0009 Ejercicio nº.- Una varible continua tiene como función de densidad: ( ) f x ( 4 x ) si x 0, resto a) Reresenta gráficamente f(x). b) Calcula P x > y P x. [ ] [ ] [ ] a) La gráfica es la siguiente: b) El área bajo la curva es. P [ x > ] es el área de un triángulo de base y altura es. Por tanto: 4

7 P[ x > ] P[ x 4] 4 P[ x > ] Entre y tenemos un traecio de bases y y altura. Por tanto: 8 4 P [ x ] P[ x ] Ejercicio nº 3.- Calcula, en una distribución N(0, ), las siguientes robabilidades: [ < ] [ 0, < z 3] [,8 < 0,5] a) z,3 b) < c) z < [ <,3] [ z >,3] [ z,3] 0,9893 0, 007 a) z [ 0, < z < 3] [ z < 3] [ z < 0,] 0,9987 0,5478 0, 4509 b) [,8 < z < 0,5] [ z < 0,5] [ z <,8 ] [ z < 0,5] [ >, 8] c) z [ < 0,5] ( [,8 ]) 0,5596 ( 0,964) 0, 537 z z Ejercicio nº 4.- Las ventas diarias, en euros, en un determinado comercio siguen una distribución N(950, 00). Calcula la robabilidad de que las ventas diarias en ese comercio: a) Sueren los 00 euros. b) Estén entre 700 y 000 euros.

8 a) x z z,5 0,8944 0, b) [ x > 00] > [ >, 5] [ ] x < z < 0,5 z < 0,5 z < [ 700 < x < 000] < < [ ] [ ] [ ] [ < 0,5] [ z > ] [ z < 0, 5] ( [ z ] ),5987 ( 0,843) 0, 44 z 0 Ejercicio nº 5.- Halla el valor de k en cada caso, sabiendo que z sigue una distribución N(0, ): [ < k] 939 [ k < z < k] 847 a) z 0, b) 0, (,49) 0,939 k, 49 [ k < z < k] ( [ z < k] 0,5) ( ( k ) 0,5) φ( k ) 0,936 k, 43 a) φ b) φ 0, 847 Ejercicio nº 6.- El 7% de los antalones de una determinada marca salen con algún defecto. Se emaquetan en caja de 80 ara distribuirlos or diferentes tiendas. Cuál es la robabilidad de que en una caja haya más de 0 antalones defectuosos? Si llamamos x "número de antalones defectuosos en una caja", entonces x es una binomial con n 80 ; 0,07, en la que hay que calcular [ x > 0]. La calculamos aroximando con una normal: La media de x es n 80 0, 07 5, 6; su desviación tíica es nq, 8. x es B ( 80; 0,07) x' es N( 5,6;,8) z es N( 0, ) 0,5 5,6 [ x > 0] [ x' 0,5] z [ z, 5],8 z <,5 0, 984 0, 058 x > 0 0, [ ] [ ] 058