CAPITULO 2: LENGUAJES

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1 CAPITULO 2: LENGUAJES 2.1. DEFINICIONES PREIAS SIMBOLO: Es una entidad indivisible, que no se va a definir. Normalmente los símbolos son letras (a,b,c,.., Z), dígitos (0, 1,.., 9) y otros caracteres (+, -, *, /,,.). los símbolos también pueden estar formados por varias letras o caracteres, así por ejemplo las palabras reservadas de un lenguaje de programación son símbolos de dicho lenguaje. a b c Z Símbolos + *? > ALFABETO O OCABULARIO: Conjunto finito de símbolos. Los alfabetos se definen por enumeración de los símbolos que contienen. Utilizaremos la letra para referenciar un alfabeto, para definir que un símbolo a pertenece a un alfabeto se utiliza la notación a ϵ. 1 = {a, b, c,., z} alfabeto castellano 2 = {0, 1} alfabeto binario 3 = {a, b} b a z d 2.3. CADENA SOBRE UN ALFABETO: Toda secuencia finita de símbolos tomados de un determinado alfabeto. Puede haber repetición, es decir, un símbolo puede aparecer varias veces dentro de la cadena. También se llama a la cadena, palabra, tira o string. Utilizaremos la letra s minúscula para referenciar una cadena. Secuencia: tienen un orden lineal, sucesión finita. Todos los símbolos tienen un sucesor excepto el último y todos tienen un predecesor excepto el primero. s1 = abcbz es una cadena del alfabeto 1 s2 = es una cadena del alfabeto 2 s3 = aaabab es una cadena del alfabeto 3 s4 = sintaxis es una cadena del alfabeto LONGITUD DE UNA CADENA s: Esta dada por la cantidad de apariciones u ocurrencias de símbolos en la cadena, es decir, cantidad de símbolos o letras que la componen. Se indica s 19

2 Ej = {a, b} s 1 = abbba s 1 = 5 s 2 = a s 2 = 1 = {a, b, c,......, z} s 1 = sintaxis s 1 = 8 s 2 = lenguajes s 2 = 9 s 3 = for s 3 = CADENA ACIA: Es una cadena especial de longitud cero, es decir, no posee símbolos. Se indica o representa con la letra Ɛ (épsilon). Ɛ = PARTES DE UNA CADENA: PREFIJO DE UNA CADENA s: toda cadena que resulta de eliminar 0 o más ocurrencias de símbolos de la cadena s desde el extremo derecho. Si no elimino ninguno me queda s, si elimino todos me queda Ɛ, por lo tanto, s y Ɛ son prefijos. Se define como prefijo propiamente dicho a aquel que no es ni s ni Ɛ. s = sintaxis sin SUFIJO: cadena que se obtiene eliminando 0 o más símbolos desde la izquierda. Sufijo propiamente dicho es aquel que no es ni s ni Ɛ. s = sintaxis taxis SUBCADENA DE UNA CADENA s: toda cadena que se obtiene al eliminar un prefijo y un sufijo de s. Subcadena propiamente dicha es aquella que no es ni s ni Ɛ. s = sintaxis inta SUBSECUENCIA DE s: cualquier cadena que se forma eliminando 0 o más símbolos, no necesariamente consecutivos, de s. s = sintaxis sinas Con un alfabeto finito puedo hacer infinitas cadenas s, tanto s como Ɛ son: prefijo, sufijo y subcadena 20

3 2.6. OPERACIONES ENTRE CADENAS CONCATENACION DE CADENAS: sean x e y dos cadenas cualesquiera sobre el alfabeto, se denomina concatenación de x e y y se representa x.y a una nueva cadena que se obtiene agregando y a x. Es decir, es la palabra formada al escribir los símbolos de la primera seguidos inmediatamente por los símbolos de la segunda. x = vice x. y = vicedirector por lo tanto y = director y. x = directorvice x. y y. x POTENCIA ENTERA n 0 DE UNA CADENA s s n : Estamos en presencia de una definición por recurrencia: s 0 = Ɛ s i = s i-1. s cadena vacía (con i > 0) = s.s.s s (i veces) s 3 = s 2. s = (s 1. s). s = ((s 0.s). s). s = ((Ɛ. s).s).s = (s. s). s = s. s. s s = ja s 3 = jajaja 2.7. LENGUAJE: Conjunto (finito o infinito) de cadenas que se pueden formar con un alfabeto (finito). Se representa con la letra L Lenguaje sobre un alfabeto es cualquier conjunto de cadenas sobre ese alfabeto. Lenguaje sobre es cualquier subconjunto de *. * conjunto de todas las palabras posibles obtenidas de incluyendo la palabra vacía (es un conjunto infinito ). Ɛ * cadenas * alfabeto es un lenguaje sobre es un lenguaje sobre cadenas de longitud 1 = alfabeto {Ɛ} es un lenguaje tiene una cadena que es vacía Ø o { } es un lenguaje conjunto vacío no tiene cadenas L * (L está contenido en * o es igual a * ) 21

4 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} L1() = {nº de 2 cifras} L2() = {todos los nº} L3() = {nº binarios} = {n, s, o, i, 3, 9} R = {no; si} S = {33; 9a} 2.8. LENGUAJE ACÍO: Existe un lenguaje denominado lenguaje vacío, que es un conjunto vacío y que se denota con Ø o { }. El lenguaje vacío no debe confundirse con un lenguaje que contenga una sola cadena y que esta sea la cadena vacía, es decir {Ɛ}, ya que el nº de elementos (cardinalidad) de estos dos conjuntos es diferente. Cardinal ({ Ø }) = 0 Cardinal {( Ɛ }) = OPERACIONES SOBRE LENGUAJES Union de L y M: L U M L U M = { s / s está en L o s está en M } Concatenacion de L con M: L. M L. M = { s / s = r. t con r en L y t en M } No es conmutativa Puedo concatenar un lenguaje consigo mismo, o sea, L. L es válido R. S = {no; si}. {33; 9a} = {no33; no9a; si33; si9a} S. R = {33; 9a}. {no; si} = {33no; 33si; 9ano; 9asi} R. R = {no; si}. {no; si} = {nono; sisi; nosi; sino} Potencia entera n 0 de un Lenguaje L L n L 0 = { Ɛ } conjunto que contiene la cadena vacía L i = L i-1. L (con i > 0) Cerradura o Clausura de Kleene de L L * L 0 = { Ɛ } L 1 = L 0. L = { Ɛ }. L = L L 2 = L 1. L = L. L 22

5 L 3 = L. L. L L n = L n-1. L L * = L 0 U L 1 U L 2 U U L n (Unión de todas las potencias del lenguaje de 0 en adelante) L * = { Ɛ } U L U L. L U (L.L).L U = U L i por lo tanto L * es un lenguaje infinito que contiene al propio lenguaje, y Ɛ siempre está en la cerradura. i = CERRADURA DE KLEENE DEL ALFABETO TOMADO COMO LENGUAJE * = 0 U 1 U 2 U 3 U (unión de todas las potencias enteras de de 0 en adelante) * = {Ɛ} U U. U.. U.. (conjunto de todas las cadenas que se pueden construir con los símbolos del alfabeto) {Ɛ} cadenas de longitud 0 cadenas de longitud 1. cadenas de longitud 2.. cadenas de longitud 3 Cuando tomo el alfabeto como lenguaje y hago la cerradura de Kleene del alfabeto lo que obtengo es el universo de todas las cadenas sobre CERRADURA POSTIA DE L L + L + = L 1 U L 2 U L 3 U (unión de todas as potencias positivas de L de 1 en adelante) L + = L U L. L U (L.L).L U = U L i L + U {Ɛ} = L * i = 1 L = { a, aab} M = { b, bb } L U M = { a, aab, b, bb } LM = { ab, aabb, abb, aabbb } L* = L 0 U L 1 U L 2 U... = { Ɛ, a, aab, aa, aaab, aaba, aabaab,... } L + = L* - { Ɛ } L 2 = { aa, aaab, aaba, aabaab } Imaginemos un alfabeto que contiene letras y dígitos 23

6 = { a, b, c,..., Z, 0, 1, 2,...,9 } y sobre este alfabeto los lenguajes: L = { A, B,..., Z, a, b,...z } D = { 0, 1,..., 9 } L U D = { conjunto de letras y dígitos } L. D = { conjunto de cadenas consistentes en 1 letra seguida por 1 dígito } L 4 = { conjunto de cadenas de 4 letras } L* = { conjunto de cadenas de 1 o más letras, incluída Ɛ } D + = { conjunto de cadenas de 1 o más dígitos } L. (L U D) = { conjunto de cadenas de letras y dígitos que empiezan con una letra} (L U D) * = { conjunto de cadenas de letras y dígitos, incluída la cadena vacía} L. (L U D) * = { conjunto de cadenas de letras y dígitos que empiezan con una letra, no incluye la cadena vacía } Los nombres de variables en Pascal son cadenas de este conjunto. Este es el lenguaje formal de los identificadores de Pascal. En Pascal: <identificador> dígito letra letra L. (L U D) + = {conjunto de cadenas de letras y dígitos de por lo menos longitud 2 y que empiezan con una letra, no incluye la cadena vacía} D + = {conjunto de cadenas de 1 o más dígitos} = {conjunto de los enteros positivos} también ϵ al Pascal: D + = D 1 U D 2 U D 3 U <entero sin signo> dígito 24

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