Programación TADs Arboles

Transcripción

1 Programación TADs Arboles 1

2 Arboles Una estructura árbol (árbol general) con tipo base T es, 1. O bien la estructura vacía 2. O bien un nodo de tipo T, llamado raíz del árbol, junto con un número finito de estructuras de árbol, de tipo base T, disjuntas, llamadas subárboles En un teórico anterior introdujimos algunos conceptos acerca de árboles. A continución presentamos los TADs Arbol Binario y Arbol Binario de Búsqueda. Pero antes queremos ver: cómo representamos árboles generales? 2

3 Conceptos básicos Hijo de la raíz del árbol Raíz del árbol... Subárboles del árbol Los elementos se llaman habitualmente nodos del árbol. 3

4 Un ejemplo de árbol general: estructura de directorios /usr* marcos* carlos* luis* libro* curso* basura.c agenda.c trabajo* curso* cap1.r cap2.r est_alg1* discreta* logica* prog1* Una aplicación: listar un directorio (recorridos de árboles) 4

5 Cómo representamos árboles generales? En un árbol general el número de hijos por nodo puede variar. Luego, una idea de representación consiste en pensar que cada nodo tiene una lista de árboles asociados (sus subárboles). Una manera de hacer esto es considerando que cada nodo se relaciona con su primer hijo y con su siguiente hermano, conformando una estructura de árbol binario. Esta forma de representación establece una equivalencia entre árboles generales y árboles binarios: todo árbol general puede representarse como uno binario y, todo árbol binario corresponde a un determinado árbol general. 5

6 Cada nodo tiene un núnero finitio de subárboles Arbol general - Arbol binario a b c d e f g h i j k. Representación como árbol binario: * primer hijo * siguiente hermano a b c d e f g h i j k. 6

7 Un TAD Arbol General particular Considere la siguiente definición de las operaciones del TAD ArbolesGenerales no vacíos y sin elementos repetidos, de un tipo genérico T: ArbolHoja: Dado un elemento genera un árbol que sólo contiene dicho elemento (como una hoja). Insertar: Dados un Arbol y dos elementos v y w, inserta a v como el primer hijo de w en el árbol (hijo más a la izquierda), siempre que w pertenezca al árbol y v no pertenezca al árbol. En caso contrario, la operación no tiene efecto. EsArbolHoja: Dado un árbol, retorna true si, y sólo si, el árbol es un árbol hoja (con un solo elemento). Pertenece: Dados un árbol y un elemento, retorna true si y sólo si el elemento pertenece al árbol. 7

8 Un TAD Arbol General particular (cont.) Borrar: Dados un árbol y un elemento, elimina al elemento del árbol siempre que éste pertenezca al árbol, no sea la raíz del mismo y no tenga ningún hijo. En caso contrario, la operación no tiene efecto. Otras operaciones o variantes de las anteriores Se pide: a) Especifique en C++ el TAD ArbolesGenerales. b) Implemente el TAD ArbolesGenerales. Considere la representación de árboles generales basada en árboles binarios, como una estructura de datos ( primer hijo siguiente hermano ). 8

9 Otras variantes Qué cambiaría en la especificación si el árbol general permitiera elementos repetidos, siempre y cuando no sean hermanos? La noción de ruta absoluta (como en los file systems) sería útil? Y si se permitieran elementos repetidos en cualquier parte del árbol? La noción de identificadores (como en los manejadores de versiones) sería útil? Cómo podría ser la especificación de un árbol general con posiciones implícitas (rutas relativas en vez de rutas absolutas en el caso de los file systems) 9

10 TAD Arbol Binario (AB) El tipo abstracto de datos Arbol Binario de elementos de tipo Etype especifica la noción de un conjunto finito de nodos tal que: o bien es vacío o consiste de un elemento de Etype (llamado raíz) y dos árboles binarios de tipo Etype disjuntos llamados subárbol izquierdo y derecho de la raíz 10

11 Arbol Binario (AB) 11

12 Operaciones del TAD AB (una alternativa...) Se definen seis operaciones asociadas al TAD AB. Constructoras: Vacio y CreoAB. La primera operación permite construír un árbol vacio. Dados un elemento de tipo Etype y dos árboles binarios, CreoAB construye un árbol no vacío. Predicado: EsVacio. Esta operación es usada para testear si un árbol es o no vacío. Selectoras: Raiz, SubArbIzq y SubArbDer. Estas operaciones permiten seleccionar la raíz, el subárbol izquierdo y el derecho, respectivamente, de un árbol no vacío. 12

13 Operaciones binarias y árboles binarios Consideremos la fórmula El cálculo de izquierda a derecha de esta expresión primero efectúa la suma de 4 y 5, obteniendo el valor 9, y luego se calcula la suma de 9 y 7, obteniendo el valor final 16. El siguiente árbol binario refleja la estructura del cómputo + ( + (4, 5), 7)

14 Operaciones binarias y árboles binarios (cont) El siguiente árbol binario refleja la estructura de la expresión * Esta estructura describe un cálculo de derecha a izquierda de la expresión ya que las reglas de precedencia de los operadores aritméticos indican que la multiplicación debe efectuarse antes que la suma. * 3 14

15 Operaciones binarias y árboles binarios (cont) El siguiente árbol binario refleja la estructura de la expresión a + (x + y + z) * 3 + 'a' * 'x' 'z' 'y En este caso la parentización fuerza una mezcla de computaciones izquierda-derecha y derechaizquierda. Además algunas de las hojas son caracteres que identifican los nombres que forman parte de la expresión original. 15

16 Operaciones binarias y árboles binarios (cont) Notar que cada operador es la raíz de un árbol cuyos subárboles son no vacíos y naturalmente también reflejan la estructura de una expresión. No es este el caso de los valores e identificadores. Cómo quedaría expresado este último árbol si usamos los constructores del TAD AB para elementos de un tipo char, por ejemplo? Qué problemas genera la codificación y decodificación de los datos si los elementos son char, por ejemplo? 16

17 Operaciones binarias y árboles binarios (cont) Notar que si el tipo de los elementos es refinado como char (podría también ser *char) tenemos una disminución en el nivel de abstracción. Al procesar un árbol de expresiones es bastante natural pensar que las acciones a tomar van a ser fuertemente guiadas por los elementos que ocurren en las raíces de los subárboles que componen al árbol principal. La uniformización de la representación de estos elementos implica un esfuerzo extra de procesamiento (discriminación y conversión). 17

18 Operaciones binarias y árboles binarios (cont) Si las hojas fueran construídas de tal forma que se pudiera directamente recuperar no solamente la información que almacenan sino además qué tipo de información es, el procesamiento de estos elementos se vería simplificado. Una posible solución es refinar el tipo T de los elementos a una unión discriminada de la forma: typedef int Valor; typedef char Operador; typedef char Ident; union E {Valor Val; Operador Op; Ident Id;}; enum TipoExpr {EsVal, EsOpComp, EsId}; struct T {E exp; TipoExpr tipo;}; 18

19 Operaciones binarias y árboles binarios (cont) Sin embargo, la anterior modificación no soluciona el problema de redundancia de información que se genera al construír el nodo correspondiente a un valor o a un identificador. Esto queda claro por ejemplo al crear un valor: 3 La construcción de la hoja que denota el valor 3 tiene que reflejar el hecho de que estamos construyendo un nodo del árbol binario. 19

20 Operaciones binarias y árboles binarios (cont) Un punto importante en el proceso de abstraer la noción de expresión aritmética lineal a la de una forma particular de árbol es el de reflejar que estamos considerando componentes que poseen estructuras diferentes y que proveen a su vez distintos tipos de información. Este análisis es el que motiva la decisión que hemos tomado al definir el TAD Expre de expresiones: 20

21 TAD Expre // Constructores Expre ValorExpre(Valor Val) // Crea una expresión atómica a partir de un valor Expre VariableExpre(Ident id) /* Crea una expresión atómica a partir de un identificador de variable */ Expre OperExpre (Expre exp1, Expre exp2, Operador op) /* Crea una expresión compuesta aplicando un operador a dos expresiones */ 21

22 TAD Expre // Discriminador (predicado) TipoExpr QueTipoExpre(Expre e) // retorna el tipo de la expresión // Selectoras Expre SubExpreIzq(Expre e) /* pre-condición: la expresión es compuesta. Retorna la sub expresión izquierda */ Expre SubExpreDer(Expre e) /* pre-condición: la expresión es compuesta. Retorna la sub expresión derecha */ 22

23 TAD Expre Operador MainOper(Expre e) /* pre-condición: expre es una expresión compuesta Retorna el operador principal */ Valor DarValor(Expre e) /* pre-condición: la expresión es simple (un valor) Retorna el valor que construye esa expresión */ Ident DarIdent(Expre e) /* pre-condición: la expresión es un Identificador Retorna el identificador */ void DestruirExpre(Expre & e) /* destruye la expresión e y libera la memoria asociada */ 23

24 #ifndef _ABB_H #define _ABB_H Especificación de un ABB struct RepresenatcionABB; typedef RepresentacionABB* ABB; void crearabb (ABB &abb); /* Devuelve en abb el arbol vacio. */ bool agregarabb (T t, ABB &abb); /* Agrega el elemento t en abb y devuelve 'true' si t no esta en abb. En otro caso no hace nada y devuelve 'false'. */ bool esvacioabb (ABB abb); /* Devuelve 'true' si abb es vacio, 'false' en otro caso. */ T valorabb (ABB abb); /* Devuelve el valor de la raiz de abb. Precondicion:! esvacioabb(abb). */ 24

25 Especificación de un ABB ABB arbolizquierdo (ABB abb); /* Devuelve el subarbol izquierdo de abb. Precondicion:! esvacioabb(abb). */ ABB arbolderecho (ABB abb); /* Devuelve el subarbol derecho de abb. Precondicion:! esvacioabb(abb).*/ void destruirabb (ABB &abb); /* Libera toda la memoria ocupada por abb.*/ #endif /* _ABB_H */ 25

26 #include "ABB.h" #include <stddef.h> #include <assert.h> Implementación de un ABB struct RepresentacionABB { RepresentacionABB* der; RepresentacionABB* izq; T valor; }; void crearabb (ABB & abb) { abb = NULL; } bool esvacioabb (ABB abb) { return (abb == NULL); } 26

27 Implementación de un ABB bool agregarabb (T t, ABB &abb) { bool result; if (esvacioabb (abb)) { abb = new RepresentacionABB; abb->der = NULL; abb->izq = NULL; abb->valor = t; result = true; } else if (esmayor (abb->valor, t)) { result = agregarabb (t, abb->izq); } else if (esmenor (abb->valor, t)) { result = agregarabb (t, abb->der); } else result = false; return result; } 27

28 Implementación de un ABB T valorabb (ABB abb) { assert (!esvacioabb (abb)); return abb->valor; } ABB arbolizquierdo (ABB abb) { assert (!esvacioabb (abb)); return abb->izq; } ABB arbolderecho (ABB abb) { assert (!esvacioabb (abb)); return abb->der; } 28

29 Implementación de un ABB void destruirabb (ABB &abb) { if(abb!= NULL) { destruirabb(abb->izq); destruirabb(abb->der); delete(abb); } } 29

30 ABB - Análisis Consideremos un AB (o ABB) completo: n = h = 2 h+1-1 Luego, la altura es O(log 2 n) en el caso de un árbol completo, pero O(n) de un árbol arbitrario. Por qué? Qué podemos concluir de éste análisis sobre la eficiencia en tiempo de ejecución de las operaciones sobre un ABB? 30

31 ABB - Análisis Insertar, Buscar y Borrar tienen tiempo de ejecución proporcional a log 2 n (siempre se recorre un sólo camino del árbol) si el árbol es completo pero, la eficiencia puede caer a orden n si el árbol se degenera (el caso extermo es una lista) n 31

32 ABB - Análisis Si bien el orden de tiempo de ejecución promedio de las operaciones citadas para ABB s es O(log 2 n), el peor caso es O(n). La idea es entonces tratar de trabajar con ABB s que sean completos, o al menos que estén balanceados Tratando de refinar esta idea es que surgen los AVL 32

33 Arboles AVL Un árbol AVL (Adelson-Velskii y Landis) es una ABB con una condición de equilibrio. Debe ser fácil mantener la condición de equilibrio, y ésta asegura que la profundidad del árbol es O(log (n)). La condición AVL: para cada nodo del árbol, la altura de los subárboles izquierdo y derecho puede diferir a lo más en 1 (hay que llevar y mantener la información de la altura de cada nodo, en el registro del nodo). 33

34 Arboles AVL Así, todas las operaciones sobre árboles se pueden resolver en O (log(n)), con la posible excepción de la inserción (si se usa eliminación perezosa - recomposición AVL tardía). AVL Tree AVL Tree 34

35 Arboles AVL (cont) Cuando se hace una inserción es necesario actualizar toda la información de equilibrio para los nodos en el camino a la raíz. La razón de que la inserción sea potencialmente dificíl es que insertar un nodo puede violar la propiedad de árbol AVL ABB y AVL ABB pero no AVL 35

36 Arboles AVL: rotaciones Al insertar (según la inserción ABB) el 7 en el AVL anterior se viola la propiedad AVL para el nodo 9. Si éste es el caso, se tiene que restaurar la propiedad AVL antes de dar por culminado el proceso de inserción. Resulta que esto se puede hacer siempre con una modificación al árbol, conocida como rotación (simple y doble). 36

37 Arboles AVL (cont) A k B l Rotación simple C A k B l C Ambos son ABB s? Qué implica una rotación con una implementación dinámica del árbol? Qué punteros cambian? Qué pasa con las alturas de los subárboles A, B y C? Coinciden los recorridos In-order de ambos árboles? 37

38 Arboles AVL (cont) Insertar los elementos 1 al 7 a partir de un AVL vacio. Luego, insertar los elementos 8 al 15 en sentido inverso. NOTA: al insertar el 14, una rotación simple no recompone la propiedad AVL. Cuando el elemento insertado se encuentra entre los valores correspondientes a los nodos del árbol a rotar (por violación de la propiedad AVL), una rotación simple no recompone la propiedad AVL. Solución: usar una rotación doble, que involucra 4 subárboles en vez de 3. 38

39 Arboles AVL: rotación doble A k m l D m Izq-Der k l A B C D B C A l m k D m Der-Izq l k A B C D B C 39

40 Arboles AVL: inserción Completar la inserción del 14 al 8 en sentido inverso. Algoritmo de inserción: insertar como en los ABB y luego iniciar en el nodo insertado y subir en el árbol, actualizando la información de equilibrio en cada nodo del camino. Acabamos si se llega a la raíz sin haber encontrado ningún nodo desiquilibrado. Si no, se aplica una rotación (simple o doble, según corresponda) al primer nodo desiquilibrado que se encuentre, se ajusta su equilibrio y ya está (no necesitamos llegar a la raíz, salvo que se use eliminación perezosa). 40

41 Rebalanceando árboles AVL Inserciones del tipo ABB que no conducen a un árbol AVL 4 casos y 4 son similares 2 y 3 son similares 41

42 Rebalanceando árboles AVL Caso 1 solucionado por rotación simple Caso 4 es similar 42

43 Rebalanceando árboles AVL Caso 2 necesita una rotación doble Caso 3 es similar 43

44 Arboles AVL: supresión Algoritmo de supresión: el algoritmo de eliminación que preserva la propiedad AVL para cada nodo del árbol es más complejo. En general, si las eliminaciones son relativamente poco frecuentes, puede utilizarse una estrategia de eliminación perezosa. La pertenencia es igual que para los ABB. Por más detalles y el código de las operaciones para una implementación de AVL con estructuras dinámicas ver el libro de Mark Allen Weiss. 44