1 Repaso. Cálculo I. 1 o Matemáticas. Curso 2002/2003. Cálculo de Primitivas. (5x 6) f(x) 1 2 f (x) dx, que es inmediata: + 1 x 1

Transcripción

1 Cálculo I. o Matemáticas. Curso /. Cálculo de Primitivas Repaso (5 6) d = 5 (5 6) 5 d = 5 (5 6) + C. Nota: Si f() = 5 6 su derivada es 5. En la primera igualdad multiplicamos y dividimos por 5. Así tenemos una integral del tipo f() f () d, que es inmediata: 8 ( + ) d = 8 d = C = + C. ( + ) d = 8 ( + ) + C = 8 Nota: Si f() = + su derivada es. La integral queda del tipo f() f () d, que es inmediata: sen d = ( ) cos 5 Nota: Es de la forma d = + C = + C. sen cos d = sen + C. Nota: f() = sen, f () = cos, 4 ( 4 + ) d = 4 (cos ) 5 ( sen ) d = 4 (cos ) 4 + C = ( + ) + C. 4 cos 4 + C. f() 5 f () d = 4 f() 4 + C. Quiénes son f, f?. 4 Nota: Quiénes son f() y f ()? r r + 6 dr = Nota: Una primitiva de d = + C. 4 ( 4 + ) d = C. r r + 6 dr = r C. f () f() es f().

2 7.- cos( π ) d = π Nota: Una primitiva de cos(f()) f () es sen(f()). sen cos d = Nota: De dónde sale 8? sen d = Nota: Quiénes son f() y f ()?. cos( π ) π d = sen( π ) + C. π (sen ) cos( ) d = 8 (sen ) 4 + C. sen d = cos + C. Nota: Es del tipo f() f () d. ( ) + C. d = f () f() Nota: Es del tipo sen cos d = sen + C. Nota: Es del tipo f() f () d. sen.- sec tan d = cos d = (cos ) + C. Nota: Ver la nota de. g() g ().- d = ( + g() ) g() g () d = ( + g() ) + C. + g().- ( ) d = ( ) ( ) d = Nota: Es del tipo f() f () d. 4.- log( + a) 5.- d = + a Nota: Quiénes son f y f?. d = log + C. d = log f() + C. log( + a) + a d = (log( + a)) + C. 6.- ( ) a d = ( b) a d ( b) d = log a + ( b) + C. Nota: De qué tipo es cada una?

3 7.- + d = Nota: Es del mismo tipo que 4. ( ) + d = log ( ) + + C. e tan( ) sec ( ) d = etan( ) + C. Nota: Es del tipo anterior. Quién es f()?. De dónde sale el?. e a d = + e a a ( a + b y + ) y + sec d = ( + e a ) a e a d = a log ( + e a ) + C. dy = b (a + b y + ) (sec ) d = tan + C. Nota: Una primitiva de sec (f()) f () es tan(f())..- + cotan cosec d = Nota: Es del tipo f() f () d. sec d = log + tan + C. + tan Nota: Ver nota de 4. Quiénes son f, f?. sen(4 7) d = cos(4 7) + C. Nota: De donde sale?. 8.- e d = e d = e + C. Nota: Es del tipo e f() f () d = e f() + C tan(log ) 6.- d = b y + dy = b ( ) a + b y + + C. (+cotan ) ( cosec ) d = (+cotan ) +C. cos(log ) ( sen(log )) d = log cos(log ) + C. Nota: Una primitiva de f () f() es log f(). Quiénes son f, f?.

4 Cambio de variable Integral indeterminada: f(φ()) φ () d = f(t) dt, usando el cambio de variable { t = φ() dt = φ () d Integral determinada: b f(φ()) φ () d = φ(b) a φ(a) f(t) dt, usando el cambio de variable { t = φ() dt = φ () d.- Calcular e + e d. Usando el cambio de variable obtenemos.- Calcular a e + e d = y a y dy. Sea t = a y. Entonces, t = e = dt = e d, dt + t = arctan t + C = arctan(e ) + C. t = a y = dt = y dy. Además, { y = t = a y = a t =. Así, a y a y dy = a a y y dy = a t dt = a t dt = t t=a t= = a..- Calcular 5 d. Poniendo t =, se obtiene dt = d y { = t = = t =. De este modo, 5 d = = = ( ) d = ( t) t dt ( t + t ) t dt = (t 5 t + t ) dt [ t t t 7 7 ] =... = 8 5.

5 4.- Calcular ( ) 7 d. Usamos el cambio de variables t =. De esta forma, dt = d y ( ) 7 d = ( ) 7 d = (t + ) t 7 dt = (t 74 + t 7 ) dt = ( ) t t74 + C = ( ) ( ) 75 + ( ) 74 + C Integración por partes u dv = u v v du..- Calcular e d. Tomando { u = du = d dv = e d v = e } se sigue que e d = e e d = e e + C..- Calcular e Definimos las partes log d. u = log du = d Así.- Calcular e log d = log d. dv = d v =. ] e e [log e d = [ 4 ] e = e +. 4 Usamos las partes De esta forma, u = log du = d dv = d v =. log d = log d = log + C. 4.- Calcular de igual forma, arctan d, arcsen d. 5

6 π 5.- Calcular 5 sen( ). Hacemos primero el cambio de variable t =, y esta integral se convierte en π 5 sen = π t sen t dt. Para calcular ahora la integral se usan las partes: { u = t du = t dt dv = sen t dt v = cos t. Entonces, π t sen t dt = ( [t ( cos t) ] π ) π π ( cos t) t dt = π + t cos t dt. De nuevo hay que integrar por partes: u = t, dv = cos t dt y se tiene du = dt, v = sen t. De esta forma π ( 5 sen = π [t + ] π ) π sen t sen t dt = π + + [ cos t ] π = π. 6.- Calcular e sen d. Usamos las partes u = sen, dv = e d: e sen d = e sen e cos. Volvemos a integrar por partes, pero ahora con u = cos, dv = e d: e sen d = e sen e cos = e sen e cos e sen d. Obsérvese cómo la integral que queremos calcular aparece de nuevo en el lado derecho. Si la pasamos al lado izquierdo se obtiene e sen d = e (sen cos ), y por tanto e sen d = e (sen cos ) + C. 4 Funciones racionales. Fracciones simples Dada una función racional (cociente de polinomios) P () Q() seguiremos el siguiente método para descomponerla en fracciones simples: 6

7 (i) Dividir si gr(p ) gr(q), para obtener P () Q() = (un polinomio) + P () Q(), con gr(p ) < gr(q). (ii) Factorizar el denominador en factores de la forma (p + q) n, y (a + b + c) m, donde a + b + c no tiene raíces reales (b 4ac < ). (iii) Factores lineales. Por cada factor de la forma (p+q) n, la descomposición en factores simples debe incluir la suma de n fracciones: A (p + q) + A (p + q) A n (p + q). n (iv) Factores cuadráticos. por cada factor de la forma (a + b + c) m, la descomposición en factores simples debe incluir la suma de m fracciones: B + C (a + b + c) + B + C (a + b + c) B m + C m (a + b + c). m Por ejemplo, si N() es un polinomio de grado menor que 5, la función racional N() tendrá una descomposición en fracciones simples de la forma: N() = N() ( )( + ) ( + ) = A + B + + Los coeficientes A, B, C, D y E quedarán determinados al conocer N() d Como = ( ) ( ), escribimos = A + B C ( + ) + D + E +. Para determinar A y B de forma que la igualdad sea válida para todo, multiplicamos esta ecuación por el mínimo denominador común, ( ) ( ), obteniendo la ecuación = A ( ) + B ( ), para todo. Los valores = y = en esta ecuación nos dan B = y A =, respectivamente. Así, ( d = + ) d = d + d = log log + C = log + C 7

8 d Como + + = ( + + ) = ( + ), se tiene = A + para todo. Multiplicando por ( + ) : B + + C ( + ) = A ( + ) + B ( + ) + C, para todo. Los valores =, = y, por ejemplo, =, nos dan A = 6, C = (5 + 6) = 9 ( por qué?). Conociendo A y C, con =, B = ( ) 4 A C =, de donde B =. De esta forma, d = 6 d + + d + = log C. ( 4 8 A ( ) ( + 4) d = + B + C + D ) d + 4 Multiplicando por ( ) ( + 4) e igualando numeradores, tenemos 9 ( + ) d 4 8 = A ( ) ( + 4) + B ( + 4) + (C + D) ( ). Con = se obtiene 4 A = 8, y A =. Con =, se sigue que = 5 B, y así B =. Para calcular C y D podríamos dar otros dos valores a y resolver el sistema lineal en C y D producido. Para ilustrar otro método desarrollamos el miembro derecho de la igualdad anterior (con A = y B = ) llegando a la igualdad de polinomios 4 8 = C (C D + ) D 8 de donde C = y D = 4. Finalmente, ( 4 8 ( ) ( + 4) d = ) d + 4 ( = ) + 4 = log log + log( + 4) + arctan + C. d ( + ) d. Incluimos una fracción simple por cada potencia de ( + ): 8 + ( + ) = A + B + + C + D ( + ). 8

9 Multiplicando por el mínimo común denominador, ( + ), llegamos a la igualdad 8 + = (A + B) ( + ) + C + D. Desarrollando el miembro derecho y agrupando obtenemos 8 + = A + B + ( A + C) + ( B + D), y así A = 8, B =, C = y D =. Por tanto, 8 ( + 8 ( + ) d = + + ) d = 4 log( + ) + ( + ) ( + ) + C. A 5.- Una variación de este tipo de integrales es d cuyas primitivas son una a + b + c función arcotangente. Para resolverlas se completan cuadrados en el denominador para escribirlo en la forma (m + n) + p, se reescribe como p(( m+n p ) + ), y finalmente se ajustan las constantes. Veamos un ejemplo para ilustrar el método: + + d = ( + ) + d = 4 ( ) 4 + d + /4 = 4 ( ) d = ( + ) + d = ( ) + arctan + C. 5 Funciones trigonométricas Vamos a calcular integrales de la forma sen m cos n d y sec m tan n d con m o n un entero positivo. Las pautas para las primeras son las siguientes: (i) Si la potencia del seno es positiva e impar: sen k+ cos n d = = (sen ) k cos n sen d ( cos ) k cos n sen d. El cambio de variable t = cos, dt = sen d convierte al integrando en un polinomio o una función racional: sen k+ cos n d = ( cos ) k cos n sen d = ( t ) k t n ( ) dt 9

10 (ii) Si la potencia del coseno es positiva e impar: sen m cos k+ d = sen m (cos ) k cos d = sen m ( sen ) k cos d. Usando el cambio de variable t = sen, dt = cos d sen m cos k+ d = sen m ( sen ) k cos d = t m ( t ) k dt, y queda la integral de un polinomio o de una función racional. (iii) Si las potencias de ambos son pares y no negativas, usamos las identidades: sen = cos(), cos = + cos() quedando en el integrando potencias impares de la función coseno..- sen cos 4 d = = (sen ) cos 4 sen d = (cos 4 cos 6 ) sen d. ( cos ) cos 4 sen d El cambio de variable t = cos, dt = sen d nos lleva a sen cos 4 d = (t 4 t 6 ) ( ) dt = t7 7 t5 5 + C = cos7 7 cos5 5 + C..- cos sen d = = (cos ) cos d = (sen ) sen ( sen ) cos d (sen sen ) cos d. El cambio de variable t = sen, dt = cos d nos lleva a cos d = t + t dt = t + sen 5 t 5 + C = sen + 5 sen 5 + C..- ( ) + cos( ) cos 4 d = d = ( ) cos( ) + + cos ( ) d 4 4

11 Utilizamos de nuevo la epresión cos + cos( α) α =, esta vez para cos (): ( ) cos 4 cos( ) d = + + cos ( ) d 4 4 [ cos( ) = + + ( )] + cos(4 ) d 4 4 = d + cos( ) d + 4 cos(4 ) d 8 4 = 8 + sen( ) 4 + sen(4 ) + C. Para las segundas integrales planteadas, seguiremos el siguiente esquema: (i) Si la potencia de la secante es positiva y par: sec k tan n d = (sec ) k tan n sec d = ( + tan ) k tan n sec d; El cambio de variable t = tan, dt = sec d proporciona sec k tan n d = ( + tan ) k tan n sec d = ( + t ) k t n dt, y se tiene que hacer una integral de un polinomio o de una función racional. (ii) Si la potencia de la tangente es positiva e impar: sec m tan k+ d = sec m (tan ) k (sec tan ) d = sec m (sec ) k (sec tan ) d; y por el cambio de variable t = sec, dt = sec tan d, se obtiene: sec m tan k+ d = sec m (sec ) k (sec tan ) d = t m (t ) k dt (iii) Si no hay secantes y la potencia de la tangente es positiva y par: tan k d = tan k tan d = tan k (sec ) d = tan k sec d tan k d = tan k k tan k d; y repetir el proceso si es necesario. (iv) En otro caso, reescribir el integrando en términos de senos y cosenos.

12 .- Potencia de la tangente positiva e impar: tan d = (sec ) tan d = (sec ) tan (sec tan ) d sec = (sec ) (sec ) (sec tan ) d = [(sec ) (sec ) ] (sec tan ) d = (sec ) + (sec ) + C..- Potencia de la secante positiva y par: sec 4 ( ) tan ( ) d = sec ( ) tan ( ) sec ( ) d = ( + tan ( )) tan ( ) ( sec ( )) d = (tan ( ) + tan 5 ( )) ( sec ()) d = [ ] tan 4 ( ) + tan6 ( ) + C Potencia par de la tangente: tan 4 d = = = tan = tan tan tan d = tan (sec ) d tan sec d tan d (sec ) d tan + + C. 4.- Reescribiendo en senos y cosenos: sec ( ) ( cos ) tan d = d = cos sen (sen ) cos d = + C = cosec +C. sen