Control Moderno. Ene.-Jun Diseño de controlador por retroalimentación de estado. Dr. Rodolfo Salinas. mayo 2007

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Control Moderno. Ene.-Jun Diseño de controlador por retroalimentación de estado. Dr. Rodolfo Salinas. mayo 2007"

Felipe Espinoza Aguirre
hace 6 años
Vistas:

2007 Diseño de controlador por retroalimentación de estado

1 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Control Moderno Ene.-Jun Diseño de controlador por retroalimentación de estado Dr. Rodolfo Salinas mayo 2007 Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas

2 Retroalimentación de estado Diseño de un controlador por retroalimentación de estado. Lazo abierto y lazo cerrado Para los casos en donde un sistema inestable se quiera llevar hacia la estabilidad. Se utiliza asingación de polos (colocación de polos) del sistema. Esta acción se realizará mediante el diseño de un controlador por retroalimentación de estado en la entrada del sistema. Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 1

3 Lazo abierto y lazo cerrado u x = Ax+Bu y = Cx+Du y Lazo Abierto ẋ = Ax + Bu y = Cx No existe retroalimentación de la salida hacia la entrada B = 0 El control no está dada como una función de la salida del sistema u = 0 ẋ = Ax + Bu. La matriz del sistema en lazo abierto sera A Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 2

4 u x = Ax+Bu y = Cx+Du y K Lazo Cerrado ẋ = Ax + Bu ; u = Kx = Ax + BKx = (A + BK)x Se cierra el lazo de retroalimentación de la salida-entrada u = Kx, donde K es una matriz de ganancias K R 1 n que multiplican a cada una de las variables de estado x R n 1 En general u = Ky, pero si y = x, u = Kx, y = Cx, C = I La matriz de lazo cerrado del sistema de esta manera es A c = A + BK Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 3

5 Controlabilidad Propiedad de acoplamiento entre la entrada u y el estado x de un sistema dinámico. ẋ = Ax + Bu involucra las matriz del sistema A y de entrada B Controlabilidad: propiedad que determina si es posible llevar un sistema dinámico de una posición inicial x(t 0 ) al origen x(t f ) = 0 en tiempo finito t 1 ; t 1 > t 0 mediante una entrada u(t). Condición: C = B AB A 2 B A n 1 B ρ(c) = n Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 4

6 Asignación de polos Procedimiento que consiste en determinar las ganancias K de la retroalimentación de estado tal que los polos del sistema en lazo cerrado tengan ciertos valores deseados. Valores propios del sistema de lazo cerrado son las raices de polinomio característico (λ) = det si A + BK = 0 Condición: si y solo si el sistema de lazo abierto (A, B) es controlable, se puede lograr tener los valores propios deseados Γ = {λ 1, λ 2,..., λ n } Ec. caract. de lazo cerrado (con retro) se iguala a ec. caract. deseada det si A + BK = 0 (s λ 1 )(s λ 2 ) (s λ n ) = 0 k 1, k 2,..., k n Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 5

7 Diseño de controlador por retroalimentación de estado 1. Verificar si el sistema es controlable 2. Obtener la ecuación característica del sistema y sus valores propios 3. Expresar la matriz lazo cerrado A c y su ecuación característica 4. Determinar ecuación característica deseada polos deseados 5. Encontrar ganancias de retroalimentación K por asignación de polos igualar términos similares de ec. caract. de lazo cerrado y deseada resolver para las ganancias de retro. K R n desconocidas 6. Escribir el control por retroalimentación de estado u = Kx y comprobar Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 6

8 Ejemplo 1 Suponga que se tiene un sistema ẋ = 1 2 x Ecuación característica del sistema det si A = 0. det si A = det s s 2 = 0 = (s 1)(s 2) 1 = 0 = s 2 3s + 1 = 0 s 1 = 2.618, s 2 = Las raices del sistema estan en semiplano derecho sistema es inestable. Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 7

9 El sistema expresado en la ecuación de estado anterior es equivalente a ẋ = x + 0 pregunta pensar : cómo se puede hacer que este sistema sea estable? Respuesta : no es posible estabilizarlo sin disponer de una entrada u. Para tratar de estabilizar es necesaria una matriz de entrada B 0 0. Por ejemplo, podemos considerar el sistema ẋ = x + 0 u u el cual sabemos de antemano que es inestable (matriz A). Diferencia es que cuando aparece la u existe la posibilidad de alterar esta propiedad del sistema utilizando una entrada u = Kx = k 1 k 2 x. Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 8

10 Controlabilidad Si deseamos colocar polos tal que sistema sea estable, la condición necesaria es controlabilidad verificar que el rango de C sea = dimensión del sistema n = 2 C = B AB, verificar si sistema es controlable, ρ(c) = 2? AB = C = B AB = = 1 1 det(c) = 1 ρ(c) = n Asi se verifica que este sistema si es controlable y se satisface condición para asignar los polos en posiciones nuevas mediante un controlador. Siguiente paso: considerar sistema en lazo cerrado y efectuar diseño de Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 9

11 control. ẋ = Ax + Bu, A = 1 2, B = 1 0, K = k 1 k 2 El procedimiento anaĺıtico consta d primero obtener la ecuación de estado en lazo cerrado y la matriz del sistema en lazo cerrado A c ẋ = Ax + B( Kx) = Ax BKx = (A BK)x = ( 1 2 = k k matriz lazo cerrado A c = Siguiente paso: deseados k 1 k 2 )x = x 1 k k k1 k )x realizar asignación de polos de acuerdo a los valores Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 10

12 Asignación de polos Polos de lazo cerrado se determina por medio de ec. caract. de A c det si A c = det s (1 k 1) 1 + k 2 1 s 2 = 0 = (s 2)(s (1 k 1 )) ( 1)( 1 + k 2 ) = 0 = s 2 (1 k 1 ) + 2s + ( 1 + k 2 ) + 2(1 k 1 ) = 0 = s 2 + (k 1 3)s (1 2k 1 + k 2 ) = 0 Diseñe un control por retroalimentación de estado (buscar k 1 y k 2 ) para que asumiendo que se desea los polos de este sistema en s = 5 y s = Obtener ecuación característica del sistema con dichos valores multiplicando los factores correspondientes a cada uno de ellos. Ecuación característica de polos deseados (deseada) Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 11

13 (s + 5)(s + 6) = 0 s s + 30 = 0 2. Comparar con ecuación característica del sistema en lazo cerrado s 2 + (k 1 3)s + (1 2k 1 + k 2 ) = 0 comparando términos similares, se obtienen el sistema de ecuaciones algebráicas y se resuelve para k 1 y k 2 k 1 3 = 11 k 1 = 14, 1 2(14) + k 2 = 30 k 2 = k 1 + k 2 = 30 K = hacen que sistema sea estable con polos en los lugares deseados mediante una retroalimentación de estado u = Kx. Para comprobar que k 1 y k 2 hacen su función, substituir en ecuación característica de lazo cerrado y obtenier ecuación característica deseada, o multiplicarlas para encontrar ecuación característica del sistema. Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 12

14 Ejemplo 2 Hay casos en el que el sistema ya sea estable, pero se quiere una respuesta del estado mas dinámica Suponga que se tiene un sistema ẋ = 4 3 x se desea colocar los polos en s = 7 y s = 5. Ecuación característica det si A = 0. det si A = det s s + 3 = 0 = (s 1)(s + 3) ( 4) = 0 = s 2 + 2s + 1 = 0 s 1 = 1, s 2 = 1 estable Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 13

15 Controlabilidad 0 2 AB = = C = B AB = 2 6 Para este sistema ρ(c) = n = 2? det(c) = 4 ρ(c) = 2 Ecuación característica de lazo cerrado ẋ = Ax + B( Kx) = Ax BKx = (A BK)x 0 = ( k k 2 )x = 4 3 = x 4 2k 1 3 2k )x 2k 1 2k 2 matriz lazo cerrado A c = 4 2k 1 3 2k 2 Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 14

16 Asignación de polos Obtener ecuación característica de lazo cerrado det si A c = det s k 1 s k 2 = 0 = (s 1)(s k 2 )) k 1 ) = 0 = s 2 + 3s + 2k 2 s s 3 2k k 1 = 0 = s 2 + (2 + 2k 2 )s k 1 2k 2 = 0 Ecuación característica de polos deseados (deseada) (s + 5)(s + 7) = 0 s s + 35 = 0 Comparando términos similares en ambas ecuaciones se obtiene 2 + 2k 2 = 12 k 2 = 5, 1 + 2k 1 2(5) = 35 = k 1 = k 1 2k 2 = 35 Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 15

17 K = 22 5 u = Kx. u = Kx = 22 5 x1 x 2 = 22x 1 5x 2 Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 16

18 Ejemplo 3 Suponga que se tiene un sistema ẋ = Ax + Bu, x R 3 1, u R 1 1 ẋ = x Diseñar controlador por retroalimentación de estado para asignar los polos en s = 2 + j4, s = 2 j4 y s = 10. Matriz de controlabilidad C = B AB A 2 B AB = = A 2 B = A A B = = Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 17

19 C = B AB A 2 B = Para este sistema ρ(c) = n = 3? det(c) = 1 0 ρ(c) = 3 Matriz del sistema de lazo cerrado A c ẋ = Ax + B( Kx) = Ax BKx = (A BK)x, A c = A BK ( = ) 0 k 1 k 2 k 3 x ( = ) x k 1 k 2 k 3 = k 1 5 k 2 6 k 3 x Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 18

20 0 1 0 matriz lazo cerrado A c = k 1 5 k 2 6 k 3 Asignación de polos Ecuación característica de lazo cerrado det si A c = det s = det s s k k 2 s k k 1 5 k 2 6 k 3 = 0 = s 2 (s k 3 ) k ( s(5 + k 2 ) ) = 0 = s 3 + s 2 (6 + k 3 ) + s(5 + k 2 ) k 1 = 0 Ecuación característica deseada (s + 10)(s + 2 j4)(s 2 j4) = 0 s s s = 0 6+k 3 = 14 k 3 = 8, 5+k 2 = 60 k 2 = 55, 1+k 1 = 200 k 1 = 199 Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 19

21 Simplificando ecuación característica deseada: (s + 10)(s + 2 j4)(s 2 j4) = (s + 10)(s 2 + 4s + 4 j 2 (16)) = 0 (s + 10)(s 2 + 4s + 20) = (s + 10)(s 2 + 4s + 20) = 0 s 3 + 4s s + 10s s = s s s = 0 El controlador que coloca los polos del sistema en lazo cerrado en los lugares deseados de s = 2 ± j4, y s = 10 es u = Kx = x 1 x 2 x 3 = 199x 1 55x 2 8x 3 Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 20

Documentos relacionados

Control Moderno. Ene.-Jun. 2007 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN. Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica. Dr. Rodolfo Salinas.

Control Moderno. Ene.-Jun. 2007 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN. Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica. Dr. Rodolfo Salinas. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Control Moderno Ene.-Jun. 2007 Dr. Rodolfo Salinas abril 2007 Control Moderno N1 abril 2007 Dr. Rodolfo Salinas Modelo Ecuación